Nullstellen der Legendre Polynome

19.04.2007, 17:11

tigerbine

Nullstellen der Legendre Polynome

Servus,

mit dem Nachweis, dass das Legendre Polynom $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ (ein Polynom vom Grad n) n verschiedene einfache Nullstellen im Intervall (-1,1) hat bin ich nun durch.

Wie werden nun diese Nullstellen aber konkret berechnet?
Gibt es eine explizite Formel, wie z.B. bei den Tschebyscheff-Polynomen?

Danke,

tigerbine Wink

19.04.2007, 23:02

kingskid

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hallo,
also wir hatten nur zu den tschebeyscheff polys eine formel für die NS. Für die Legendre Polys hatten wir eine Tabelle im Skript mit den entsprechenden Werten...

aber vielleicht weiß hier ja noch jemand mehr smile

viele grüße
kingskid

20.04.2007, 10:52

tigerbine

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Ja danke, nur das hilft mir im Moment leider nicht weiter. Es kommen noch ein paar Fragen hinzu. Wie kann man aus der Definition

$\begin{eqnarray*} P_n(x):=\frac{1}{2^n~n!}~\frac{d^n}{dx^n}~(x^2-1)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_0(x)=1 \end{eqnarray*}$

folgende Eigenschaften zeigen:

1. $\begin{eqnarray*} P_n(1)=1 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} P_n(-x)=(-1)^nP_n(x) \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} P_{2n+1}(0)=0 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank,
tigerbine Wink

20.04.2007, 13:51

therisen

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Zitat:

Original von tigerbine
3. $\begin{eqnarray*} P_{2n+1}(x)=0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt doch überhaupt nicht. $\begin{eqnarray*} P_1(x) = x \neq 0 \end{eqnarray*}$ (auch für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist es falsch)

20.04.2007, 13:53

tigerbine

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Es muss auch x=0 heißen. Tippfehler Hammer

Ich ändere das mal. Hast Du sonst eine Idee, Link wie man die Eigenschaften zeigt?

20.04.2007, 14:12

tigerbine

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Es müßte ja 3 eigentlich aus 2 folgen, oder?

$\begin{eqnarray*} P_{2n+1}(-0)=(-1)^{2n+1}\cdot P_{2n+1}(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{2n+1}(0)=(-1) \cdot P_{2n+1}(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P_{2n+1}(0)=0 \end{eqnarray*}$

21.04.2007, 15:30

tigerbine

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Induktion?
Es gilt für die Legendre Polynome folgende Drei-Term-Rekursionsformel:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2n+1}\cdot P_{n+1}(x) = x\cdot P_n - \frac{n}{2n+1}\cdot P_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$

Aus der Definition kann man sich ja nun noch die ersten beiden bestimmen und erhält:

$\begin{eqnarray*} P_0(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_1(x)=x \end{eqnarray*}$

Überprüfung zeigt, dass für beide gilt:

$\begin{eqnarray*} P_0(1) = P_1(1) =1 \end{eqnarray*}$

Mit der DTK-Formel folgt dann:

$\begin{eqnarray*} P_2(x) &&=\frac{3}{2} \cdot [(x-0)\cdot x - \frac{1}{3}\cdot 1]= \\&& = \frac{1}{2}\cdot (3x^2-1) \end{eqnarray*}$

Und auch hier ist:

$\begin{eqnarray*} P_2(1) = 1 \end{eqnarray*}$

Allgemein folgt aus der Annahme, dass die Behauptung richtig ist für (k-1) und (k):

$\begin{eqnarray*} P_{k+1}(1) && = \frac{2k+1}{k+1}\cdot 1\cdot P_k(1)-\frac{2k+1}{k+1}\cdot \frac{k}{2k+1} \cdot P_{k-1}(1) = \\&&=\frac{2k+1}{k+1}\cdot P_k(1) - \frac{k}{k+1}\cdot P_{k-1}(1) = \\ && = \frac{2k+1-k}{k+1} = \frac{k+1}{k+1} =\\&&=1 \end{eqnarray*}$

Ist das eine gültige Induktion? verwirrt

21.04.2007, 15:51

tigerbine

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noch ne Induktion?
Wenn das mit der Induktion so ginge, könnte man ja auch 2 damit begründen.

Im Grunde sagt 2, dass es sich im ungeraden Fall um eine Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs handelt und im geraden um eine Achsensymmetrie zur y-Achse. Bei Polynomen ist dies ja gleichbedeutend damit , dass entweder nur ungerade oder nur gerade Potenzen von x auftreten.

Nimmt man wieder die ersten 3 Polynome

$\begin{eqnarray*} P_0(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_1(x)=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2(x) = \frac{1}{2}\cdot (3x^2-1) \end{eqnarray*}$

So genügen diese offensichtlich der Bedingung. Sei also die Behauptung richtig für k-1 und k so folgt für

(k-1) ungerade und damit k gerade, aus der DTR-Formel

$\begin{eqnarray*} P_{k+1}(x) && = \frac{2k+1}{k+1}\cdot x\cdot P_k(x)-\frac{2k+1}{k+1}\cdot \frac{k}{2k+1} \cdot P_{k-1}(x) \end{eqnarray*}$

dass $\begin{eqnarray*} P_{k+1} \end{eqnarray*}$ nur ungerade Potenzen von x enthält. Anlaog argumentiert man für k-1 gerade, k ungerade.

23.04.2007, 16:22

tigerbine

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Fast alles zurück auf Anfang
ich bin's nochmal. Schön dass diese Induktionen so richtig sind, leider kann ich sie aber in meinen Konzept nicht verwenden, da ich im Beweis der Rekursionsformel auf die Symmetrieeigenschaft der Polynome verwende. Also muss ich dass irgendwie anders zeigen.

Da alles auf die Aussage "gerade"/"ungerade" Funktion hinausläuft, kann man den Koeffizenten in der Definition ja zunächst einmal vernachlässigen. Es ist:

$\begin{eqnarray*} (x^2-1)^n = \sum_{k=0}^{n}~\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix} ^\cdot (x^2)^{n-k} \cdot 1^k = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix}\cdot x^{2(n-k)} \end{eqnarray*}$

Somit handelt es sich um eine gerade Funktion (Polynom). Die n-te Ableitung ist demnach für gerades (ungerades) n eine gerade (ungerade) Funktion.

Richtig? smile

23.04.2007, 18:23

therisen

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RE: Fast alles zurück auf Anfang

Zitat:

Original von tigerbine
Es ist:

$\begin{eqnarray*} (x^2-1)^n = \sum_{k=0}^{n}~\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix} ^\cdot (x^2)^{n-k} \cdot 1^k = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix}\cdot x^{2(n-k)} \end{eqnarray*}$

Hallo Bine,

es ist $\begin{eqnarray*} (x^2-1)^n = \sum_{k=0}^n{n\choose k}(-1)^k x^{2(n-k)} \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

23.04.2007, 18:25

tigerbine

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RE: Fast alles zurück auf Anfang
Ja, da hast Du recht. Ich hab das "-" vergessen. Kommt davon, wenn man zu schnell was abschreibt ( böse

über mich selbst).

Danke Wink

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