Schnittpunkte Ebenen und Geraden, Körper und Geraden

19.04.2007, 18:09

Dorika

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Schnittpunkte Ebenen und Geraden, Körper und Geraden

Hey

Wink

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=t\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Der Schnittpunkt ist bei mir der Ursprung

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Der Scnittpunkt ist P(4;1;0)

jetzt ist so ein gebilden gegeben, dass mit einer ecke auf dem Ursprung liegt und die quadratische grundseite hat eine kantenlänge von 6 cm.
Die Höhe beträgt 5 cm und die kantenlänge der oberen quadratischen fläche 5 cm.

A(0;0,0) B(6;0;0) C(6;6;0) D(0;6;0)
E(1;1;5) F(5;1;5) G(5;5;5) H(1;5;5)

1. dann sollte man den schnittpunkt der raumdiagonalen, auf der B und H liegen, mit dem Trapez CDEF bestimmen

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+k \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, als Schnittpunkt hab ich dann S(3;3;3), was iegtnlich auch sehr sinnvoll aussieht.

2. sind die schnittpunkte einer parallelen zum $\begin{eqnarray*} \vec{FG} \end{eqnarray*}$ gefragt, die durch den oben bereits errechneten Punkt S verläuft.

$\begin{eqnarray*} p:\vec{x}= \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} +k\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1:\vec{x}=r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_1(1;1;3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2:\vec{x}= \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + j\cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix} +i\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_2(5,4;5,4;3) \end{eqnarray*}$

hoffe, jemand erbarmt sich smile

smile

-> viel spass

19.04.2007, 18:32

riwe

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RE: Schnittpunkte Ebenen und Geraden, Körper und Geraden
wenn du möchtest, dass ich mir das anschaue, dann schicke bitte die originalaufgabe.
zum raten was und wo und wie habe ich keine lust.

werner

19.04.2007, 18:42

Dorika

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ok, zu der letzten aufgabe gibt es eine skizze im buch, zu den ersten nicht. möchtest du trotzdem die aufgabenstellung haben?

bild kommt gleich, falls das klappt.

19.04.2007, 18:44

riwe

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ich brauche kein bild,
aber zb. schnittpunkt, womit denn usw.
werner

19.04.2007, 18:50

Dorika

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Oh, tut mir leid.
Das Bild ist eh viel zu groß.

Also, bei den ersten Aufgaben handelt es sich immer um Schnittpunkte von Ebene und Gerade.

Bei der Aufgabe, bei der zu Beginn so viel Text steht, handelt es sich bei 1) um den Schnittpunkt der Geraden durch die Punkte B und H, also praktisch der Raumdiagonale un einer Ebene E, die die beiden Seitendiagonalen, also von f zu c und von E zu D als naja, Stützvektoren hat.

Den hab ich versucht zu errechnen und hab zuvor erst die Gleichungen aufgestellt, die unten stehen.

19.04.2007, 18:59

riwe

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Zitat:

Original von Dorika
Oh, tut mir leid.
Das Bild ist eh viel zu groß.

Also, bei den ersten Aufgaben handelt es sich immer um Schnittpunkte von Ebene und Gerade.

Bei der Aufgabe, bei der zu Beginn so viel Text steht, handelt es sich bei 1) um den Schnittpunkt der Geraden durch die Punkte B und H, also praktisch der Raumdiagonale un einer Ebene E, die die beiden Seitendiagonalen, also von f zu c und von E zu D als naja, Stützvektoren hat.

Den hab ich versucht zu errechnen und hab zuvor erst die Gleichungen aufgestellt, die unten stehen.

so schlau war ich schon vorher. Big Laugh

Big Laugh

na macht nix,
wenn du es nicht eintippen kannst,
kann ich es nicht lesen
auch gut
werner

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19.04.2007, 19:14

Dorika

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Hey, hab dir eine pn geschickt, aber auch nciht schlimm. Was genau soll ich denn bitte tun?

19.04.2007, 19:28

Snowfan

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Zitat:

Original von Dorika
Was genau soll ich denn bitte tun?

Ich glaube, Werner hätte gern die komplette vollständige Aufgabe... So versteh ich das zumindest...

LG Wink

Wink

SF

19.04.2007, 19:37

Dorika

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klar, kommt sofort

Figur 1 Zeigt éinen Pyramidenstumpf mit quadratischer Grundfläche.

1. Die Gerade durch die Punkte B und H schneidet das Trapez CDEF im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S.

2. Die Punkte F und G legen eine Gerade fest. Die Parallele zu dieser Geraden duch den Punkt S schneidet das Trapez ABFE und CDHG in den Punkten S_1 und S_2. Berechnen die die Koordinaten von S_1 und S_2.

3. Liegt der Punkt Punkt S auf der Geraden durch die Punkte E und C?
(noch nicht bearbeitet)

4. Liegen die Punkte S_1 und S_2 in der Ebene, die duch die Punkte C, E und H festgelegt wird? (ebenfalls noch nciht bearbeitet)

19.04.2007, 20:27

riwe

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genau so ist es, ich wollte einfach den KOMPLETTEN aufgabentext.

na dann will ich mal schauen, was ich davon kapiere.
dann melde ich mich in kürze wieder
werner

19.04.2007, 20:32

Dorika

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prima, vielen, vielen dank und bis hoffentlich später, ansonsten morgen

19.04.2007, 20:44

riwe

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na dann fangen wir einmal an mit dem pyramidenstumpf,
der aufgabenteil darüber, den machen wir wohl später:

$\begin{eqnarray*} S(3/3/3) \end{eqnarray*}$ habe ich auch,
dürfte also richtig sein.
und jetzt gib mir bitte den vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{FG} \end{eqnarray*}$
werner

edit: die beiden schnittpunkte der 1. teilaufgabe sind richtig

die schlechte nachricht: überprüfe die vektoren von p, E1 und E2

19.04.2007, 21:32

riwe

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ich hätte alles beisammen
und warte auf deine antwort zum weiter machen
werner

19.04.2007, 21:38

Dorika

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schade, aber das hatte ich mir bei den dezimalzahlen schon fast gedacht..., also mein vektor

$\begin{eqnarray*} \vec{FG}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + k\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.04.2007, 21:57

riwe

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bist halt bockig unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} F(5/1/5) \quad{ } G(5/5/5)\to \overrightarrow{FG}=\begin{pmatrix} 5-5 \\5-1 \\ 5-5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und ddaher die gerade durch F und G:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} =\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder hast du jetzt andere werte verwirrt

verwirrt

nun bitte E1 und E2

werner

edit: kennst du das vektorprodukt schon?

20.04.2007, 16:07

Dorika

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Danke für die Antwort.

Hatte die Koordinaten falsch in meinen Collegeblock geschrieben Big Laugh

Big Laugh

ähm, wie kommst du von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, ich kenne das Vektorprodukt nicht, ist es das, was oben steht?

dann ergibt sich für

$\begin{eqnarray*} p:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} +k\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

passt das soweit?

warum bin ich bockig? Tanzen

Tanzen

Edith sagt, ich solle noch die Ebenengleichungen für die Trapeze reinstellen, also

Trapez ABEF

$\begin{eqnarray*} E\vec{x}= r\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Trapez CDHG
$\begin{eqnarray*} E_2:\vec{x}= \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix} +p\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.04.2007, 17:26

riwe

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zur 1.frage: es kommt ja nur auf die RICHTUNG an, und beide vektoren zeigen in dieselbe richtung, deiner ist halt 4 mal so lang, aber mit 1 multiplizieren ist halt einfacher.

zur 2. frage: warum bockig,
genau darum
du stellst wieder das alte zeug rein, ohne meinen beitrag zu lesen unglücklich

unglücklich

EDITH hat vollkommen recht, aber so wie vorher: ich habe dir doch schon geschrieben, dass du auch bei den ebenen die vektoren prüfen sollst, die sind auch fehlerhaft.
und ich habe meine zettel gerade nicht bei der hand, überprüfe den aufpunkt von E2, ich glaube da stimmt auch eine koordinate nicht.

also bitte noch einmal, dann gehts weiter zu den schnittpunkten

werner

20.04.2007, 17:58

Dorika

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ok das mit dem vektorprodukt ist klar, nur wann darf ich das benutzen?

bei E2 habe ich vektor OC als stützvektor gewählt und komme dann auf das, was unten steht, denn C(6;6;0)

oh man, hab endlich den fehler bei E1 gefunden!
die x3 koordinate des einen spannvektors muss nicht 6 heißen, sondern 0, der andere spannvektor passt aber.

Wenn E1 so stimmt, bekomme ich für S1(3;0,6;3)

20.04.2007, 18:31

riwe

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Freude

Freude

S1 ist richtig
so jetzt schreib mir noch E2 und eventuell S2 her

zum vektorprodukt:
das produkt von 2 vektoren ist wieder ein vektor, der senkrecht auf BEIDE steht.
damit kann man z.b den normalenvektor einer ebene bestimmen, und dann geht es einfacher mit koordinatenform der ebene und parameterform der geraden den schnittpunkt zu bestimmen

auch zur flächen- und volumsberechnung ist es bestens geeignet usw.

werner

20.04.2007, 18:53

Dorika

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Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

$\begin{eqnarray*} E_2:\vec{x}= \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + h\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + i\begin{pmatrix} -1 \\ -1\ 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber meinen fehler gefunden, denn 0-0 ist ja wohl nciht -6 Big Laugh

Big Laugh

P2(3;6;3)
sieht gut aus, vielen dank

den rest der nr probier ich mal, sonst poste ich wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2007, 19:10

Dorika

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also bei nr 3 (prüfen, ob s auf der geraden durch E und C liegt) habe ich raus, dass er darauf liegt

und bei nr 4 liegt nur P2 in/auf der ebene von C, E und H.

vielen danke werner, du bist wirklich super geduldig

20.04.2007, 20:17

riwe

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hallo tina,
zunächst Freude

Freude

S und S1 stimmen.
auch der rest Freude

Freude

da aber E2 nicht stimmt - nach meiner erinnerung, siehe oben - stimmt auch S2 nicht.
prüfe das bitte noch einmal nach
aber du machst dich gut!
frage: wer ist edith verwirrt

verwirrt

werner

edit:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{CH}=(1-6/5-6/5-0)^{T}=(-5/-1/5)^{T} \end{eqnarray*}$
oder verwirrt

verwirrt

doch bockig Big Laugh

Big Laugh

20.04.2007, 21:04

Dorika

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Ok, schade traurig

traurig

Ähm, also $\begin{eqnarray*} C(6/6/0), D(0/6/0), H(1/5/5), G(5/5/5) \end{eqnarray*}$

dann $\begin{eqnarray*} E_2:\vec{x}=\vec{OC}+r\cdot \vec{CD}+k\cdot \vec{CG} \end{eqnarray*}$

1. Du kennst Edith nicht? schlimm

2. Ich bin nicht bockig, nur frustriert, weil ich bei der nächsten Aufgabe wieder stecke, immerhin nicht ganz am Anfang...

3. Was hast du denn als Stützvektor gewählt?

21.04.2007, 00:24

riwe

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entschuldige, da haben wir nur verschiedene punkte genommen, ich H und du G. Gott

Gott

darum arbeite ich viel lieber mit der koordinatenform, die ist EINDEUTIG.

mit dem vektorprodukt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \equiv\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}- 1 \\- 1 \\ 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\5 \\ 1 \end{pmatrix} \to E_2: 5y+z=30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\3 \\ 3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

einsetzen liefert bei mir

$\begin{eqnarray*} t=2.4\to S_2(3/5.4/3) \end{eqnarray*}$

so gott will
also noch einmal, pardon für meine schlamperei Gott

Gott

damit liegt (bei mir) auch dieser punkt in der ebene wie S1.

werner

21.04.2007, 16:47

Dorika

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pk, das kann ja keiner ahnen, wenn ich immer so bockig bin.

aber warum kommst du dann auf andere koordianten als ich?

jedenfalls danke, jetzt kenn ich das vektorprodukt so halbwegs...

lg tina

21.04.2007, 16:53

riwe

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Zitat:

Original von Dorika
pk, das kann ja keiner ahnen, wenn ich immer so bockig bin.

aber warum kommst du dann auf andere koordianten als ich?

jedenfalls danke, jetzt kenn ich das vektorprodukt so halbwegs...

lg tina

entweder habe ich mich verrechnet oder du Big Laugh

Big Laugh

frag doch edith!

im ernst: rechne es bitte noch einmal nach,
ich habe halt mit g => E:

$\begin{eqnarray*} 5\cdot (3+t) + 3 = 30 \to t=2.4 \end{eqnarray*}$

werner

21.04.2007, 17:10

Dorika

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also Edith findet keinen Fehler....

0-6=-6 5-6=-1
6-6=0 5-6=-1
0-0=0 5-0=5

Hm, komisch... Hier noch mal die Koordinaten der Punkt:

C(6/6/0) D(0/6/0) H(1/5/5) G(5/5/5)

21.04.2007, 17:21

riwe

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edith und du suchen an der falschen stelle Big Laugh

Big Laugh

mit deinem zeugs Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +h\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +i\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hast du aus der letzten zeile

$\begin{eqnarray*} 5i=3\to i=0.6 \end{eqnarray*}$

damit in zeile 2:

$\begin{eqnarray*} 6-0.6=3+4t\to t=0.6 \end{eqnarray*}$

und damit S aus g berechnen

$\begin{eqnarray*} S(3/3+2.4/3) \end{eqnarray*}$

sei nicht so bockig unglücklich

unglücklich

werner

22.04.2007, 20:17

Dorika

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bin ich nicht, habs auch, man sollte schon rechnen können...

prima, vielen dank Mit Zunge

Mit Zunge

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