Char. Polynom, Minimalpolynom etc.

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abcuser Auf diesen Beitrag antworten »
Char. Polynom, Minimalpolynom etc.
Guten Tag,

ich bräuchte ein paar Hilfestellungen zur 1. LA Hausaufgabe im 2. Semester.

Zunächst geht es darum, das eine Matrix gegeben ist


Bestimmen Sie charakteristisches Polynom, Eigenwerte, Eigenräume.

Das wäre alles halb so schlimm, habe mir das ganze jetzt für n=2 und n=3 mal aufgezeichnet und das Polynom soweit auch bestimmen können. Mir ist aufgefallen, das Null immer ein Eigenwert ist und möglicherweise auch die Spur, aber wie macht man das ganze allgemein?! Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

2. Minimalpolynom dieser Matrix in bestimmen



Char. Polynom kenne ich, aber wie genau bestimmt man das Minimalpolynom, habt ihr da ne Idee???

Vielen Dank
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Char. Polynom kenne ich, aber wie genau bestimmt man das Minimalpolynom, habt ihr da ne Idee???


Es gilt , also das Minimalpolynom ist ein Teiler des char. Polynoms. Was Du nun machst, ist einfach Faktoren des char Polynoms zu entfernen und nachzusehen ob von diesem neuen Polynom q immernoch q(A) = 0 gilt.

Zitat:
das Null immer ein Eigenwert ist


Ich nehme mal an Du meinst an dieser Stelle das Tensor (Kronecker) Produkt. Du hast eine Matrix aus n Spalten , und jede Spalte ist ein a-Faches von b, d.h wirklich jede Spalte ist paarweise linear abhängig, damit ist die Matrix die rauskommt nicht invertierbar und damit 0 ein Eigenwert!

Wir haben das Tensorprodukt übrigens anders definiert, bei uns wäre



Ein Vektor mit n² zeilen. Ich hoffe ich habe diesbezüglich



richtig interpretiert.
abcuser Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mazze,

ja das hast du! Bei uns ist das Tensorprodukt ebenfalls damit gemeint. Es heißt also

Null ist sicher ein Eigenwert und wie finde ich alle anderen, es gibt anscheinend mehr je in Abhängigkeit von n. Die Schwierigkeit ist eben, das Polynom allg. zu formulieren und damit dann allg. die Eigenvektoren und Eigenräume zu finden. Sehe ich richtig, dass die Eigenräume immer dimension = 1 haben?

Danke dir soweit
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache ist, das bei dieser speziellen Matrix wirklich jede Matrix den Rang kleinergleich 1 hat. D.h das insbesondere noch höchstens 1 nicht null Eigenwert existiert. (Das kannst Du dir daran klar machen das bei Ähnlichkeitstransformation der Rang erhalten bleibt).

D.h insbesondere Folgendes:

Die JNF von ist eine Nullmatrix wo über der Hauptdiagonalen irgendwo eine 1 steht, oder aber die JNF ist eine Diagonalmatrix wo ein Nichtnulleigenwert drauf ist. Das char. Polynom beibt unter Ähnlichkeit übrigens auch gleich. D.h man kann direkt auf die Form des char. Polynoms schliessen.

edit:

Denk noch dran das die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist Augenzwinkern
abcuser Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Minimalpolynom Aufgabe habe ich jetzt ein Lösung, vielleicht schaust du mal kurz drüber. Ich habe zunächst das char. Polynom ausgerechnet. Es lautet:



Also ist doch mein Minimalpolynom:



Bin ich da richtig der Annahme?


Deine Beschreibung zum anderen Problem mit Hilfe der JNF bringt mir leider nichts. Ich habe mir nämlich gestern schon für n=2 n=3 und n=4 die Matrix erstellt mit beliebigen Zahlenwerten. Bei n=2 und n=3 hatte ich neben der Null auch noch die Spur als Eigenwert, dass hat bei n=4 jedoch nicht mehr funktioniert, habe mir schon gedacht da etwas erkannt zu haben, aber war wohl nicht so. Habe das auch extra 2mal nachgerechnet.
Mir ist klar, dass unsere Matrix eine Rang-1 Matrix ist und somit die Determinante Null ist. Kann ich also oBdA auch die Rang 1 Matrix nach Eigenwerten untersuchen? Weil die Eigenwerte bleiben ja nach Anwendung von Gauss-Algorhitmus erhalten, nur die Vektoren würden sich ändern... Bei einer Rang-1 Matrix hätte ich doch dann als Char. Polynom einfach


Also ist der Eigenwert Null und das ganze n-mal, aber warum kam ich dann gestern auch noch auf andere mit meinem Zahlenbeispielen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rang bleibt unter Ähnlichkeitstransformation gleich, das heisst die Jordannormalform der Matrix hat ebenfalls Rang 1. Das bedeutet die Matrix hat n-1 Nullzeilen und genau eine Nichtnullzeile. Diese Nichtnullzeile kann entweder:

Ein nichtnull-Eigenwert auf der Diagonalen sein, dann ist die Matrix in Diagonalgestalt, oder auf der Nebendiagonalen steht irgendwo eine 1. Das char. Polynom ist dann natürlich

. Das geht natürlich nur so wenn ihr wirklich definiert habt.

Ob dein Minimalpolynom richtig ist, kannst Du einfach selber überprüfen, in dem Du weitere Faktoren wegnimmst und schaust ob dann nicht mehr Null herauskommt beim Einsetzen der Matrix.
 
 
abcuser Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mazze,

muss nochmal auf die Aufgabe mit dem Tensorprodukt zurück kommen. Wir haben das Tensorprodukt wirklich genauso definiert wie du es hier beschreibst. Daher weiß ich auch, dass es sich unter dem Gauß-Algorhitmus schnell zu einer Rang - 1 Matrix transformiert. Die Eigenwert bleiben ja beim Gauß-Algorithmus erhalten nicht wahr? Das heißt also ich hätte dann genau das char. Polynom wo du bereits bechrieben hast.

Inwiefern kann man aber jetzt Aussagen über die Eigenräume machen? Und wie findet man diese allgemein im R^n?

Gruß abcuser
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Inwiefern kann man aber jetzt Aussagen über die Eigenräume machen? Und wie findet man diese allgemein im R^n?


Wie gesagt, der Rang der Jordannormalform (Diagonalgestalt = spezialfall davon) hat den selben Rang wie Deine Ausgansmatrix. Das heißt für eine 3x3 Matrix kann bis auf Umordnung der Diagonal- und Nebendiagonallemente die JNF nur so aussehen:



Eine andere Möglichkeit für eine Jordannormalform mit Rang 1 gibt es nicht, es sei denn Du ordnest die diagonalen um aber das wäre für das Problem nicht weiter relevant.

Im ersten Fall gibt es eine Basis von Eigenvektoren das heißt



im zweiten Fall ist die Matrix nicht diagonalisierbar und es gilt:



D.h insbesondere die Dimension des Eigenraumes der Ausgangsmatrix zum Eigenwert 0 ist immer n-1. Um an die Eigenvektoren sleber zu kommen müsstest Du den Kern der Matrix berechnen.
abcuser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze

. Das geht natürlich nur so wenn ihr wirklich definiert habt.

.


Welche Bedeutung, hat das bei dir? Meinst du damit den Eintrag ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist der Eigenwert auf der Diagonalen. Der ist entweder Null oder ungleich Null (dafür könnte man mich verhauen ;D). Die Eigenwerte bleiben unter Ähnlichkeit invariant, d.h man kann das char. Polynom von der JNF ablesen, und das ist dann natürlich wie oben beschrieben.
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