Konvergenz und Grenzwert BW

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Faith Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Grenzwert BW
Guten Morgen,

weiß zufällig jemand von euch wie man zeigen kann, dass alle durch
X(n+1) = 0.5(Xn + 2/Xn) induktiv definierten Folgen mit beliebigem ersten Folgenglied X1>0 konvergieren und was dann der Grenzwert wäre? Xn und X(n+1) sind Folgen und n und n+1 sollen der index sein. Oki, ich wäre euch für eine Antwort sehr dankbar Hilfe .

Viele liebe Grüße, Faith
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bei solchen Aufgaben ist Orientierung erstmal wichtig. Nimm an, die Folge sei konvergent und finde erstmal heraus, was dann der Grenzwert ist. Ich nenne ihn mal g. Das geht, indem du einfach für und g einsetzt und anschließend ausrechnest (umstellen). Jetzt hast du eine Orientierung für den Grenzwert.
1. Schritt: Zeige jetzt, dass für alle n aus N (vollständige Induktion!).
Unterscheide dann zwei Fälle:

I.

II.

2. Schritt: Zeige für I. bzw. II., dass bzw. für alle n aus N gilt (wieder vollständige Induktion!).

3. Schritt: Forme für I. bzw. die jeweilige Ungleichung nach um. Du erhältst eine Aussage, die du schon im 2. Schritt bewiesen hast und da das alles äquivalente Umformungen sind, hast du damit die Monotoie bewiesen.

4. Schritt: Für I. und II. kannst du folgern: Folge monoton und beschränkt konvergent.

5. Schritt: Da du jetzt bewiesen hast, dass die Folge konvergiert, kannst du jetzt auch das oben genannte Verfahren zur Berechnung des Grenzwertes benutzen, denn jetzt darfst du das anwenden, weil du ja bewiesen hast, dass der Grenzwert existiert.

6. Schritt: Ausruhen smile
Faith Auf diesen Beitrag antworten »

Gott Hey, vielen Dank für deine Hilfe, vor allem für deine ausführliche Erklärung. Ich wünsche dir noch eine schöne Woche.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte bitte smile
Hast du es denn schon alles geschafft?
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