Reihe auf Konvergenz untersuchen

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cmenke Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe auf Konvergenz untersuchen
Hallo!

Wir schlagen uns gerade mit Folgen und Reihen und deren Kon- bzw. Divergenz sowie Grenzwerten rum. Jetzt haben wir folgende Reihe gegeben:



und sollen diese auf Konvergenz oder Divergenz "untersuchen" (-> Beweis). Ich kann sofort sagen dass die Reihe konvergiert, weil der Nenner schneller wächst als der Zähler und die Folge der Partialsummen somit eine Nullfolge ist.
Wenn ich das hinschreibe, gewinne ich aber keinen Blumentopf.
Ich muss das irgendwie mit Hilfe der Konvergenzkriterien beweisen. Ein Kommilitone meinte, das ginge bestimmt mit dem Majoranten-Kriterium, aber ich sehe/kenne keine konvergente Reihe, bei der die jeweiligen Partialsummen immer größer sind.
Jetzt weiß ich nicht weiter und brauche einen Schubs, damit ich mal einen Anfang gemacht kriege und etwas habe, womit ich weiter machen kann.
Und vielleicht noch Tipps, wie man solche Aufgaben überhaupt in den Griff kriegt.... "das muss man einfach sehen!" zählt nicht!

traurig

Gruß,

cmenke
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

so mien tipp weis aber nicht ob der dir weiter hillft

 
 
cmenke Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, das sieht ja schon fast aus wie die harmonische Reihe . Allerdings muss ich jetzt wahrscheinlich belegen, dass der Nenner gegen unendlich geht. Wenn der Nenner gegen Null ginge, ginge das ganze ja gegen unendlich. *grübel*
Vielleicht bin ich auch frech und schreibe "es ist leicht einzusehen, dass dies die gleiche Entwicklung wie die harmonische Reihe hat"... oder sowas *frechgrins*
cmenke Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade auf, dass wenn ich die harmonische Reihe leicht modifiziere:

dass sie dann für alle natürlichen n über der Reihe oben liegt... und dann könnte ich doch sagen Majoranten-Kritierium, oder? Dass die immer noch konvergiert wird er mir ja wohl glauben.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

1. die harmonische Reihe konvergiert nicht.
2. der Tipp von Anaiwa hilft nicht sonderlich, abgesehen von der Überlegung, dass (n^4)/(3^n) notwendigerweise gegen 0 konvergieren muß, wenn die Reihe konvergieren soll.
3. ich würde es mal mit dem Quotientenkriterium versuchen
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anaiwa
so mien tipp weis aber nicht ob der dir weiter hillft



Das darfst Du so nicht aufschreiben!
Bevor Du schreibst muß klar sein, dass dieser auch existiert!

Zur Konvergenzuntersuchung der Reihe:
Das Quotientenkriterium bietet sich hier an.

cmenke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
1. die harmonische Reihe konvergiert nicht.


Ach ja, das war ja die Reihe bei der ich nicht einsehen kann, warum sie nicht konvergieren soll... die entsprechende Folge ist doch eine Nullfolge, wie kann es dann sein dass die Reihe nicht konvergiert?!

Aber davon ab.... Quotientenkriterium haben wir als:


Ich lese das als "Für alle Partialsummen der Reihe soll gelten, dass der Betrag der Partialsumme kleiner als der Betrag der vorhergehenden Partialsumme ist."
("Partialsumme" bei Reihe ist doch das gleiche wie "Glied" bei Folge?)

Du (Gast) hast offenbar durch geteilt und dadurch kommst du auf als Bedingung. Soweit OK.
Dann muss man wohl einsetzen und da komme ich auf:



Jetzt Nenner des Zählers in den Zähler des Nenners und Nenner des Nenners in den Zähler des Zählers:



Und wie du jetzt auf



kommst, verstehe ich nicht. unglücklich
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nur mal was ganz allgemeines:
das die folge über der die reihe gebildet wird eine nullfolge sein muss, ist eine notwendige (und leicht einzusehende) bedingung dafür, dass die ganze reihe konvergiert, aber sie ist eben nicht hinreichend.
du kannst dir das ja so vorstellen, dass du eben unendlich viele summenglieder aufsummierst, die gegen 0 konvergieren.
aber im grenzfall "unendlich mal 0" kann eben vieles sein....

mfg jochen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cmenke
Ich lese das als "Für alle Partialsummen der Reihe soll gelten, dass der Betrag der Partialsumme kleiner als der Betrag der vorhergehenden Partialsumme ist."

häää? was du damit sagen willst, habe ich nicht verstanden.

Zitat:
Original von cmenke

unglücklich

schau genau hin, was a_(n+1) bzw. a_n ist, irgendwie sind Zähler und Nenner vertauscht!

kleine Ergänzung wegen der Divergenz der harmonischen Reihe:
Im Prinzip macht man folgende Überlegung:
Die Reihe lautet: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ....
Nun schätzt man 1/3 nach unten mit 1/4 ab und 1/5, 1/6 und 1/7 nach unten mit 1/8 ab, usw.
Dann ist die Reihe größer als: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + ...
Wie man sieht, erhält man immer wieder Summanden, die genau 1/2 ergeben.
Diese Reihe ist aber divergent, da sie jede beliebige Grenze überschreitet.
Also hat die harmonischen Reihe eine divergente Minorante.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Anmerkung:

Das Quotientenkriterium ist viel leistungsfähiger, wenn du es so formulierst:



Dass das schon ab (wie bei dir) gilt, ist gar nicht nötig, und in vielen Fällen auch noch nicht erfüllbar.
cmenke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von cmenke
Ich lese das als "Für alle Partialsummen der Reihe soll gelten, dass der Betrag der Partialsumme kleiner als der Betrag der vorhergehenden Partialsumme ist."

häää? was du damit sagen willst, habe ich nicht verstanden.

Da hatte ich versucht, mir das Quotientenkriterium "auf Deutsch" aufzuschreiben... also als normalen Text mit normalen Worten. Bei diesen mathematischen Formulierungen dauert es bei mir immer, bis ich verstehe, was es bedeutet.
Und was ich sagen wollte war: Die Partialsummen werden immer kleiner. Ich habe behauptet, dass die Aussage

äquivalent ist zu
.
So, das war jetzt mathematisch :-)

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von cmenke

unglücklich


schau genau hin, was a_(n+1) bzw. a_n ist, irgendwie sind Zähler und Nenner vertauscht!

Ja, da hab ich einen Fehler gemacht. Leider kann ich es aber auch nicht umformen, wenn ich es richtig rum schreibe.

Zitat:
Original von klarsoweit
kleine Ergänzung wegen der Divergenz der harmonischen Reihe:
Im Prinzip macht man folgende Überlegung:
Die Reihe lautet: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ....
Nun schätzt man 1/3 nach unten mit 1/4 ab und 1/5, 1/6 und 1/7 nach unten mit 1/8 ab, usw.
Dann ist die Reihe größer als: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + ...
Wie man sieht, erhält man immer wieder Summanden, die genau 1/2 ergeben.
Diese Reihe ist aber divergent, da sie jede beliebige Grenze überschreitet.
Also hat die harmonischen Reihe eine divergente Minorante.

Das klingt ja einleuchtend, die Anzahl der Glieder die man braucht wird zwar immer größer, aber das macht ja nichts, es gibt ja unendlich viele.

Nur hab ich jetzt irgendwie das Gefühl, dass jede Reihe divergiert. verwirrt

Arthur Dent, danke für den Tipp mit "ab einem bestimmten n0", das macht es irgendwie viel einsetzbarer. Sonst würde es ja für diese Reihe auch gar nicht funktionieren, weil die Partialsummen am Anfang ja doch größer werden.
Nur wie kriege ich das Mistding jetzt so umgeformt, dass wirklich bewiesen ist, dass das Quotientenkriterium gilt???
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast



Also dann noch mal elementare Termumformungen (in der HöMa meines Erachtens zwar deplaziert ... seis drum):
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cmenke
Und was ich sagen wollte war: Die Partialsummen werden immer kleiner. Ich habe behauptet, dass die Aussage

äquivalent ist zu
.

also die a_n sind keine Partialsummen, sondern Folgenglieder, die schlicht einfach noch summiert werden.
Entscheidend ist nicht nur , das wäre ja bei der harmonischen Reihe auch der Fall,
sondern dass es definitiv ein q mit 0 < q < 1 gibt, für das ab einem n > N0 gilt:


Zitat:
Original von cmenke
Nur hab ich jetzt irgendwie das Gefühl, dass jede Reihe divergiert. verwirrt

nee, wieso? konvergiert, was man sich auch leicht überlegen kann.

Die Term-Umformung von Gast ist verstanden?
cmenke Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, beim besten Willen nicht. Elementare Termumformungen sollen das sein?! Da muss ich wohl von Klasse 7-13 konsequent gefehlt haben, soso. Komisch, dass ich mein Abi habe und das mit Mathe-LK.
Sorry, Gast, aber es sind nicht alle so ein Umformungsgott wie du.

*grmbl*

Diese "trivial!"-Scheisse kann ich langsam nicht mehr hören! Mann! Argh!

Also, nochmal in Ruhe. Das hier ist klar. "Bruch durch Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrwert multipliziert:"



So und jetzt hört's bei mir auf. Im nächsten Schritt hat er das umgeformt zu



und das ist mir überhaupt nicht klar.

Stop. Jetzt hat es gerade klick gemacht. Er macht:



Und jetzt kommt glaube ich ein Trick, den mein Prof auch schon ein paar mal gemacht hat: ist ja und da weiß er dass es für n+1 genau eine 3 mehr sein muss, also ist das ein Drittel!
Richtig so?
Ich hoffe. Puh, das war ja ne Geburt.
Achso: Lieber Herr Gast, das ist verdammte Axt keine "elementare Termumformung"! Wir haben sowas in der Schule im Leistungskurs jedenfalls nicht als selbstverständlich hingenommen!
Trotzdem Danke für die Hilfe. Nur bitte nächstes mal nicht drauf rumreiten wenn jemand etwas nicht kann. Es gibt Leute, für die sind solche Umformungen alles andere als einfach... und bei denen sorgt man damit nur für noch mehr Frustration.
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cmenke
Nein, beim besten Willen nicht. Elementare Termumformungen sollen das sein?! Da muss ich wohl von Klasse 7-13 konsequent gefehlt haben

Nein keineswegs!
Die Potenzgesetze kommen bereits in Klasse 5 oder 6 dran.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cmenke
Nur bitte nächstes mal nicht drauf rumreiten wenn jemand etwas nicht kann. Es gibt Leute, für die sind solche Umformungen alles andere als einfach... und bei denen sorgt man damit nur für noch mehr Frustration.

ok, manche spitze Bemerkung ist nicht so bös gemeint, wie sie klingt. Die Kenntnis der Potenzgesetze wird hier vorausgesetzt. Wir sind schließlich hier in höherer Mathematik. Wenn etwas nicht verstanden wird, bitte konkret beschreiben, was es ist. Dann kann man auch genauer antworten.
cmenke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast
Die Potenzgesetze kommen bereits in Klasse 5 oder 6 dran.


Klasse 5 ist Punkt-vor-Strich und Klammern, Klasse 6 ist Bruchrechnung.
Aber davon abgesehen merke ich gerade, dass man ja wirklich stumpf nach das n da rausstreichen kann und im Zähler bleibt ne 0 und im Nenner ne 1 als Exponent der 3 stehen.
Da braucht man wirklich überhaupt nicht rumtricksen und hohe Uni-Mathe anwenden. Irgendwie hab ich es geschafft, das bis gerade eben nicht zu sehen. Hast gewonnen, das hätte ich wirklich können sollen.... bitte nicht Forum Kloppe
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