sigma algebra(2)

21.04.2007, 15:02	sipungora	Auf diesen Beitrag antworten »
sigma algebra(2) Z.B. $\begin{eqnarray} \Omega = \{1,2,3,4\} \end{eqnarray}$ . Wieviele verschiedene $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ -Algebren gibt es auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ?
21.04.2007, 23:05	PrO	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sigma algebra(2) 2^n, also hier: 2^4 = 16.
22.04.2007, 01:13	sipungora	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sigma algebra(2) Zuerst Danke schön. Ich habe es geahnt. Aber ich war mir nicht sicher, dass es gleich $\begin{eqnarray} \lvert \wp(\Omega) \rvert \end{eqnarray}$ ist. Ich habe gedacht, dass es mehr gibt, weil man nicht nur alle Teilmengen von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , sondern auch ihre Kombinationen zählen muss. Vielleich sagt mir jemand, wo ist mein Denkfehler?
22.04.2007, 09:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Antwort 16 ist auch nicht richtig. Tatsächlich ist eine Sigma-Algebra über einer endlichen Menge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ eineindeutig charakterisiert durch eine Partition von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ in atomare (d.h. innerhalb der Sigmaalgebra nicht mehr teilbare) Teilmengen. Und die Anzahl dieser Partitionen ist für große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ nicht so einfach angebbar, siehe Wikipedia. Jedenfalls ist sie hier gleich $\begin{eqnarray} B_4=15 \end{eqnarray}$ .
22.04.2007, 11:11	sipungora	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst vielen Dank. Unter "für große n ist nicht so einfach angebbar" meinst du, dass ich alle Sigma-Algebren bilden und zählen muss? So hast du auf 15 gekommen? Wenn ja, versuche ich es auch.
22.04.2007, 12:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so schlimm nun auch wieder nicht - lies dir doch den von mir verlinkten Artikel über Partitionen mal durch! Wichtig ist da z.B. die Rekursion dieser Bell-Zahl: $\begin{eqnarray} B_{n+1} = \sum_{k=0}^n ~\binom{n}{k} B_k \end{eqnarray}$ mit Start $\begin{eqnarray} B_0=1 \end{eqnarray}$
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22.04.2007, 15:53	sipungora	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst vielen Dank, und nun versuche ich es zu kapieren.

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