Eigenschaften von Relationen

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StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften von Relationen
Hallo,

beschäftige mich zur Zeit mit dein Eigenschaften von Relationen, Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation.

Ich schnalle ich diese "Sprache" nicht.

Bei folgender Aufgabe soll ich ausprobieren, ob die Relation Eigenschaften wie Reflexivität, Symmetrie, Transitivität, Antisymmetrie oder Asymmetrie aufweist.
Und begründen.

Menge M sind natürliche Zahlen.
aRb genau dann, wenn a = b^4

So, wie schreibe ich das korrekterweise?

a ist nicht reflexiv, da (a,b) nicht Element von R ist.
a ist nicht symmetrisch, denn es gilt (a,b) E R, aber (b,a) nicht E von R.

Ist der Ansatz soweit richtig?

Danke für Informationen und Hilfe.

Gruß
Lars
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du zeigen willst, dass etwas nicht zutrifft, dann genügt es ein konkretes Zahlenpaar anzugeben, das die Eigenschaft nicht erfüllt.
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von Relationen
Zitat:
Original von StudyStaff
a ist nicht reflexiv, da (a,b) nicht Element von R ist.
a ist nicht symmetrisch, denn es gilt (a,b) E R, aber (b,a) nicht E von R.

verwirrt
Vielleicht solltest du dir nochmal genauer anschauen, welche Eigenschaften mit Reflexivität bzw. Symmetrie verbunden sind.

Zitat:
Original von StudyStaff
aRb genau dann, wenn a = b^4

So, wie schreibe ich das korrekterweise?

Schreibweisen hängen davon ab, was ihr vereinbart habt.
Wichtiger ist, die dahinter stehende Aussage zu verstehen.
Vielleicht hilft es, wenn man das so ausdrückt:

a steht in Relation zu b, genau dann, wenn gilt a = b^4.

Oder:
Das Paar (a,b) gehört zur Relation R, genau dann, wenn gilt a = b^4.

Was muß nun bei Reflexivität gelten?
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, kann das den reflexiv sein?
Damit R reflexiv ist, muss doch gelten, das jedes Element zu sich selbst in Relation steht. Und das tut es hier doch nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre eine Idee. Und wie therisen schon sagte, könntest du das durch ein geeignetes Beispiel untermauern.
 
 
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich probiers nochmal:

R ist nicht reflexiv, da (a,a) nicht Element von R.

R ist nicht symmetrisch, da zwar (a,b) Element von R, aber nicht (b,a) Element von R.

R ist nicht transitiv, da zwar (a,b) Element von R ist, aber nicht (b,c) Element von R ist, somit auch nicht (a,c) Element von R.

R ist auch nicht antisymmetrisch, da zwar (a,b) Element von R ist, aber x ungleich y ist.

R ist asymmetrisch, da aus (a,b) Element von R ist und daraus automatisch (b,a) nicht Element von R gilt.

Ist das soweit richtig?

Gruß
Lars
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von Relationen
Zitat:
Original von StudyStaff
Menge M sind natürliche Zahlen.
aRb genau dann, wenn a = b^4



Nein, das ist genau so wenig ein Beweis wie dein erster Beitrag. Konkrete Zahlen nehmen:

R ist nicht symmetrisch, da zwar 16R2, aber nicht 2R16 gilt, denn , wie man leicht einsieht smile
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Äh, die Aufgabe lautet so. Das ist kein Beweis. ;-)

Also nochmal:

Aufgabe:

Menge M sind die natürlichen Zahlen.
R ist Teilmenge von MxM definiert durch aRb genau dann, wenn a = b^4 ist.

Jetzt dürfte es klarer sein, oder? Sorry fürs undeutliche.
Bin nur etwas genervt, weil ich das nicht schnalle.

Ok, jetzt zu Deinem Beispiel, therisen.

Du hast da jetzt "einfach" Zahlen eingesetzt um das deutlich zu machen?

Wie ist das bei reflexivität?
Nimm ich doch gleich mal Deine 16.
Da ja für die Reflexivität gilt, das jedes Element zu sich selbst in Relation steht. Müsste es hier gelten 16R16, was aber nicht stimmt.

Zur Transitivität:
Wenn aus aRb und bRc stets auch aRc folgt, dann ist die Relation Transitiv.

Aus 16R2 folgt 2R1,1892 und da 1,1892 keine natürliche Zahl ist, ist die Relation nicht transitiv.

Danke für Korrektur und Erklärungen.

Gruß
Lars
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StudyStaff
Du hast da jetzt "einfach" Zahlen eingesetzt um das deutlich zu machen?

Ja, hat er. Prinzip: widerlege eine Aussage durch ein geeignetes Gegenbeispiel.

Zitat:
Original von StudyStaff
Da ja für die Reflexivität gilt, das jedes Element zu sich selbst in Relation steht. Müsste es hier gelten 16R16, was aber nicht stimmt.

So ist es.

Zitat:
Original von StudyStaff
Aus 16R2 folgt 2R1,1892

Verständnisproblem. Wieso sollte aus 16R2 2R1,1892 folgen? verwirrt
Du mußt zeigen oder widerlegen:
Wenn aRb und bRc gilt, dann auch aRc.
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Autsch, sorry, verschrieben und auch noch einen Fehler gemacht:

Ich schreibs richtig so:

Aus 16R2 und 2R1,1892 folgt 16R1,1892, was hier aber falsch ist, deswegen nicht transiv.

Die 1,1892 ist keine Zahl der Menge der natürlichen Zahlen.

Jetzt stimmt dies hier.

Gruß
Lars
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Nochmal klar und deutlich:
2R1,1892 ist kein Element der Relation. Daher kannst du damit auch kein Gegenbeispiel konstruieren.

Deswegen nochmal: du mußt 2 gültige Elemente (a,b) und (b,c) aus der Relation nehmen und dann zeigen, daß (a,c) kein Element der Relation ist.
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Oh stimmt, hast Recht.

Ich vermute ganz stark, das ich nicht verstehe, wo (b,c) ist.
Also ich erkenne das nicht.

Es heißt ja hier a = b^4.
Und wo ist da c, damit die Paare (b,c) gebildet werden können?

Gruß
Lars
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das Paar (b, c) fällt jetzt einfach mal aus der Luft. Augenzwinkern
Was muß dann gelten, wenn es die Relation erfüllt?
off Auf diesen Beitrag antworten »

Als Erklärung: In der Mathematik kommt es häufig vor das man sich bestimmte Objekte einfach auswählt, seien es irgendwelche allgemeineren Konstrukte, wie ich wähle alle natürlichen Zahlen > 120 oder seien es expliziete Objekte, ich wähle 4 und 4,2 aus Q aus.
Man muss natürlich schauen das diese Objekte auch existieren.

In Deinem Fall willst Du widerlegen das diese Relation eine Äquivalenzrelation ist. Eine mathematische Aussage widerlegt man am besten in dem man sich ein Gegenbeispiel auswählt. Du willst also zeigen das die transitivität nicht gilt, zunächst musst Du sicherstellen das die beiden Objekte der Menge existieren. Das hat klarsoweit damit ausgedrückt das es gültige Elemente der Menge sind.

Wichtig ist eigentlich nur das Dir klar wird das man bei solchen Sachen einfach beliebig etwas auswählen kann, solange es in dem Sachverhalt der betrachtet wird existiert. Ein sehr triviales Beispiel wäre etwa:

Alle ganzen Zahlen sind größer als 0. Die Grundmenge sind die ganzen Zahlen. Nun möchte ich die Aussage wiederlegen. Das werde ich mittels Gegenbeispiel machen. Als esrtes die Existenz:

-1 ist eine ganze Zahl. (ein gültiges Element der Menge die wir betrachten)

-1 < 0, das widerspricht der Aussage, daraus folgt das die Aussage falsch ist, da -1 ein gültiges Element ist. Beispielsweise wäre mit -1,5 < 0 nicht widerlegt das alle ganzen Zahlen größer als Null sind, da -1,5 keine ganze Zahl ist. Das ist in etwa so das Du behauptest alle Äpfel sind rot und Du möchtest das gerne mit einer Birne widerlegen.

Die Sache ist das man sich Gegenbeispeile überlegen muss, Du musst Dir Die Grundmenge anschauen und nachdenken.
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit
Wenn aRb und bRc dann folgt daraus aRc.

Nun habe ich doch aber nur a und b. Und das c, bzw. die Paare (b,c)?

Mir ist klar, auch wenn die tatsächlichen Flüge nicht so sind:
Wenn (Hamburg R Frankfurt) und (Frankfurt R Tokio), dann folgt (Hamburg R Tokio). Rein von meiner Logik.

Aber wie sehe ich in der Relation das (Frankfurt R Tokio) = bRc ist?
Oder nehme ich das einfach an, das ich in der Relation schaue, was dazu passt, Hauptsache ich habe eine Verbindung?

@off
Danke für Deine Erklärung.

Das man sich bestimmte Werte auswählt, das habe ich mittlerweile kapiert, also das ich was für a oder b einsetze.
Aber was ist mit c?

Ja, das mit den gültigen Elementen der Menge war schlampig. Ist aber jetzt verstanden.

Gruß
Lars
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StudyStaff
Nun habe ich doch aber nur a und b. Und das c, bzw. die Paare (b,c)?

Wenn das Hirn ein PC wäre, würde ich sagen, daß es irgendwo innendrin zu einer Adreßschutzverletzung gekommen ist und jetzt ein Reboot fällig ist. Augenzwinkern

Ich hole mal etwas weiter aus:
Wir nehmen irgendein Zahlenpaar (a,b). Dieses Zahlenpaar erfüllt die Relation R, wenn gilt: a = b^4. Beispiele für gültige Zahlenpaare gibt es reichlich:
(1, 1), (16, 2), (81, 3), etc.

Wenn ich mir von den vielen Zahlenpaaren ein beliebiges rausgreife, dann nenne ich es (a, b) und weiß, daß dann a = b^4 gilt. Ich könnte es aber auch (x, y) nennen. dann muß eben x = y^4 gelten. Oder ich nenne es (b, c).

Bei der Transitivität nehmen wir nun 2 beliebige Zahlenpaare, eins nennen wir (a,b) und das andere (b, c). Jetzt müssen wir schauen, ob auch das Zahlenpaar (a, c) die Relation erfüllt.
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Klarsoweit,

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von StudyStaff
Nun habe ich doch aber nur a und b. Und das c, bzw. die Paare (b,c)?

Wenn das Hirn ein PC wäre, würde ich sagen, daß es irgendwo innendrin zu einer Adreßschutzverletzung gekommen ist und jetzt ein Reboot fällig ist. Augenzwinkern

Jo, so fühle ich mich auch, wie nach einem Reset. ;-)


Zitat:

Ich hole mal etwas weiter aus:
Wir nehmen irgendein Zahlenpaar (a,b). Dieses Zahlenpaar erfüllt die Relation R, wenn gilt: a = b^4. Beispiele für gültige Zahlenpaare gibt es reichlich:
(1, 1), (16, 2), (81, 3), etc.

Würde sagen: Klar soweit. ;-)

Zitat:

Wenn ich mir von den vielen Zahlenpaaren ein beliebiges rausgreife, dann nenne ich es (a, b) und weiß, daß dann a = b^4 gilt. Ich könnte es aber auch (x, y) nennen. dann muß eben x = y^4 gelten. Oder ich nenne es (b, c).

Bei der Transitivität nehmen wir nun 2 beliebige Zahlenpaare, eins nennen wir (a,b) und das andere (b, c). Jetzt müssen wir schauen, ob auch das Zahlenpaar (a, c) die Relation erfüllt.

Also picke ich mir "einfach" ein anderes Paar aus der vorhandenen Relation raus?
Also, was vorher (a,b) war, wird zu (b,c).
Wichtig dabei, das die Verbindung b vorhanden ist.
Richtig?

Also egal welche Paare einer Relation, nehme ich einfach zwei, die die korrekte Verbindung b habe gut ist?

*fragenddenlehreranschau* ;-)

Gruß
Lars
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StudyStaff
Also picke ich mir "einfach" ein anderes Paar aus der vorhandenen Relation raus?
Also, was vorher (a,b) war, wird zu (b,c).
Wichtig dabei, das die Verbindung b vorhanden ist.
Richtig?

Also egal welche Paare einer Relation, nehme ich einfach zwei, die die korrekte Verbindung b habe gut ist?

Vielleicht meinst du das richtige. Deswegen erläutere ich nochmal:

Du pickst 2 Paare heraus, nämlich (a,b) und (b,c). Entscheidend ist, daß das 2. Element des 1. Paares gleich dem 1. Element des 2. Paares ist.
Beispiel: (65526,16) und (16,2).
Jetzt prüfe die Transitivität. Falls sie nicht gilt, haben wir ein Gegenbeispiel. Falls sie gilt, freuen wir uns, aber wir wissen dann nicht, ob die Transitivität dann allgemein gilt. Das wäre dann noch zu zeigen.
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von StudyStaff
Also picke ich mir "einfach" ein anderes Paar aus der vorhandenen Relation raus?
Also, was vorher (a,b) war, wird zu (b,c).
Wichtig dabei, das die Verbindung b vorhanden ist.
Richtig?

Also egal welche Paare einer Relation, nehme ich einfach zwei, die die korrekte Verbindung b habe gut ist?

Vielleicht meinst du das richtige. Deswegen erläutere ich nochmal:

Du pickst 2 Paare heraus, nämlich (a,b) und (b,c). Entscheidend ist, daß das 2. Element des 1. Paares gleich dem 1. Element des 2. Paares ist.
Beispiel: (65526,16) und (16,2).

Ja, das meine ich mit der Verbindung b. Das ist ja im zweiten Paar das erste Element und im ersten Paar, das zweite Element.
Hier also die 16.


Zitat:

Jetzt prüfe die Transitivität. Falls sie nicht gilt, haben wir ein Gegenbeispiel. Falls sie gilt, freuen wir uns, aber wir wissen dann nicht, ob die Transitivität dann allgemein gilt. Das wäre dann noch zu zeigen.

Glücklicherweise gilt sie bei dem Beispiel nicht. Deswegen nicht transitiv.

Gut, das ist jetzt hoffentlich auch bei mir angekommen. ;-)


Jetzt stellt sich mir allerdings die Frage, da die Relation ja vermutlich einige Paare drin hat. Was wenn das jetzt gestimmt hätte? Muss ich dann solange Testen, bis ich ein einzigen Gegenbeweis gefunden habe oder alle Tests sich als richtig rausgestellt haben? Was, bei einer Menge mit ein Hundert Paaren?

Wie kommt man denn dann am schnellsten darauf, den Gegenbeweis zu bringen oder alle Testmöglichkeiten durchzugehen?

Gruß
Lars
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Tschuldigung.

Ich meinte Transitiv.

Da ja die 16 die Verbindung ist.

Gruß
Lars
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StudyStaff
Glücklicherweise gilt sie bei dem Beispiel nicht. Deswegen nicht transitiv.

So ist es. Freude

Zitat:
Original von StudyStaff
Jetzt stellt sich mir allerdings die Frage, da die Relation ja vermutlich einige Paare drin hat. Was wenn das jetzt gestimmt hätte? Muss ich dann solange Testen, bis ich ein einzigen Gegenbeweis gefunden habe oder alle Tests sich als richtig rausgestellt haben? Was, bei einer Menge mit ein Hundert Paaren?

Wie kommt man denn dann am schnellsten darauf, den Gegenbeweis zu bringen oder alle Testmöglichkeiten durchzugehen?

Prinzipiell muß man so vorgehen:
Das "mathematische Feingefühl" sagt einem, ob Transitivität vorliegt oder nicht.

Trifft man die Annahme, daß keine Transitivität vorliegt, braucht man nur ein Gegenbeispiel angeben. Da heißt es fleißig suchen.

Trifft man die Annahme, daß Transitivität vorliegt, dann macht man entweder einen allgemein gültigen Beweis oder man geht - wenn nur eine überschaubare endliche Anzahl von Paaren die Relation erfüllen - alle Kombinationen durch und weist die Transitivität nach.
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Moment!

Hier schreibst Du:
Zitat:
Original von klarsoweit
Du pickst 2 Paare heraus, nämlich (a,b) und (b,c). Entscheidend ist, daß das 2. Element des 1. Paares gleich dem 1. Element des 2. Paares ist.
Beispiel: (65526,16) und (16,2).



Aber hier ist doch das 2. Element des 1. Paares (= 16) gleich dem 1. Element des 2. Paares (= 16).


Wie Du vielleicht gesehen hast, hatte ich mich verschrieben.
Dieser Vergleich ist transitiv.

Und wenn dieser nicht transitiv ist, dann verstehe ich es nicht, denn 16 vom ersten Paar ist das Verbindungsstück 16 beim zweiten Paar.

Gruß
Lars
Trompi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube er meinte 16=2^4 ; 65526=16^4 aber ist denn 2^4 = 65526 ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StudyStaff
Aber hier ist doch das 2. Element des 1. Paares (= 16) gleich dem 1. Element des 2. Paares (= 16).

Das ist erstmal die Eingangsbedingung. Man nehme 2 Paare (a,b) und (b,c) die beide die Relation erfüllen, hier beispielweise (65526,16) und (16,2). Jetzt muß man prüfen, ob auch das Paar (a,c) - hier also (65526,2) - die Relation erfüllt. Wenn ja, dann transitiv, wenn nicht, dann nicht.

Zitat:
Original von StudyStaff
Wie Du vielleicht gesehen hast, hatte ich mich verschrieben.
Dieser Vergleich ist transitiv.

Nein. Siehe oben.
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Jupp, ich glaube jetzt habe ichs.


Aus der Relation nehme ich zwei Paare, die Erfüllen, das das 2. Element des 1. Paares mit dem 1. Element des zweiten Paaren.

Wie jetzt dieses Beispiel:
(65526,16) und (16,2)

Hier ist ja die 16 das Verbindungsstück.

So, nun, um zu prüfen, ob das stimmt, muss ja auch die Geleichung a=b^4 stimmen, also muss 2^4 = 65526 sein.
Und da das ganz offensichtlich falsch ist, stimmt das nicht, die Relation ist nicht transitiv.

Richtig?

Gruß
Lars
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StudyStaff
So, nun, um zu prüfen, ob das stimmt, ...

Ist im Prinzip richtig. Du solltest aber genauer beschreiben, was gelten müßte. Unter der Formulierung "das stimmt" kann man alles mögliche reininterpretieren.

Sauber formuliert wäre dies:
Ich wähle die Paare (a,b):=(65526, 16) und (b,c):=(16, 2)
Diese erfüllen jeweils die Relation. Für Transitivität müßte auch (a,c)=(65526, 2) die Relation erfüllen. Es müßte also 65526 = 2^4 sein, was offensichtlich nicht der Fall ist.
StudyStaff Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Klarsoweit.

Wow, DAS ist die Erklärung, auf die ich abfahre und vorallem: Verstehe.

Super!!!!

Tausend Dank, das war das i-Tüpfelchen.

Gott

So einfach kann Mathematik tatsächlich sein. Irre!!!

Puh. Wow, ich freue mich. Tanzen Tanzen Tanzen

Ich denke, jetzt ist es eindeutig.

Werde mal meine Aufgaben weiter machen und zur Sicherheit nochmal was anderes Posten. Ich brauche dann einfach nur noch die Bestätigung, das es tatsächlich stimmt.

Schönen Tag noch.

Gruß
Lars
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