Additionstheorem für Cos durch Cauchy-Produkt

06.12.2004, 23:54	e1337on	Auf diesen Beitrag antworten »
Additionstheorem für Cos durch Cauchy-Produkt Wir sollen mittels des Cauchy-Produkts beweisen, dass $\begin{eqnarray} \cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\sin(z)\sin(w)\quad z,w\in\mathbb C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(z+w)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(z+w)^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(z)\cos(w)-\sin(z)\sin(w)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}~\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{w^{2k}}{(2k)!}~-~\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}~\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{w^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{n=0}^\infty(\sum_{k=0}^n(-1)^n\frac{z^{2k}w^{2(n-k)}}{(2k)!(2(n-k))!})~-~\sum_{n=0}^\infty(\sum_{k=0}^n(-1)^n\frac{z^{2k+1}w^{2(n-k)+1}}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!}) \end{eqnarray}$ und jetzt? $\begin{eqnarray} =\sum_{n=0}^\infty(\sum_{k=0}^n(-1)^n\frac{(2k+1)z^{2k}(2(n-k)+1))w^{2(n-k)}}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!})~-~\sum_{n=0}^\infty(\sum_{k=0}^n(-1)^n\frac{z^{2k+1}w^{2(n-k)+1}}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{n=0}^\infty(\sum_{k=0}^n(-1)^n\frac{(2k+1)z^{2k}(2(n-k)+1))w^{2(n-k)}~-~z^{2k+1}w^{2(n-k)+1}}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!}) \end{eqnarray}$ geht das? wie komme ich weiter? stimmt der Ansatz überhaupt?
07.12.2004, 13:57	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Additionstheorem durch Cauchy-Produkt Uuuuuups! Ich würde mit dem Multiplikationssatz für unendliche Reihen zeigen daß: $\begin{eqnarray} e^{x+y}=e^x\cdot e^y \end{eqnarray}$ Damit lässt sich dann auch die angegebene Identität zeigen.
07.12.2004, 15:56	e1337on	Auf diesen Beitrag antworten »
hab ich schon, das war teilaufgabe i) und ii) verlangt, dass man das ganze mit den cauchy-produkt macht und irgendwie hab ich net groß Plan wie das gehen soll
07.12.2004, 22:11	e1337on	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Additionstheorem durch Cauchy-Produkt ok, $\begin{eqnarray} \cos(z+w)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(z+w)^{2k}}{(2k)!}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{1}{(2k)!}~\sum_{n=0}^{2k}\begin{pmatrix}2k \\ n\end{pmatrix} z^{2k-n}w^n= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{k=0}^\infty(\sum_{n=0}^{2k}(-1)^k\frac{z^{2k-n}w^n}{n!(2k-n)!} \end{eqnarray}$ ? Zu meiner Verwirrung kommt wahrscheinlich hinzu, dass k und n der linken seite nicht gleich dem k und n der rechten seite sind, oder?
08.12.2004, 15:22	BuzzDee	Auf diesen Beitrag antworten »
hehe noch n regensburger student habe ähnliche probleme wie du. komme auch mit den n's und k's durcheinander. ich setz mich jetz nochma hin und schau ob ichs check. die andren aufgaben auf dem jetzigen blatt sind ja auch net grad viel leichter... :S grüße edit: da es in der angabe heisst dass man das additionstheorem über die definition des COSINUS und der funktionalgl. der exp.funktion beweisen soll, darf man dann die def. des SINUS überhaupt als gegeben betrachten?? eigtl müsste man sich die doch erst herleiten oder?...
08.12.2004, 17:11	e1337on	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition des Sinus nochmal herzuleiten halte Ich für wenig sinnvoll, hatten wir ja alles in der Vorlesung gemacht. Bin leider immer noch nicht weiter mit der Aufgabe... muss erstmal Physik anschauen.
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08.12.2004, 20:26	BuzzDee	Auf diesen Beitrag antworten »
puh hab ne lösung in nem mathe-buch gefunden (analysis I von schulz). der beweis is mir zu krass. hab leider grad keine zeit den hier ins latex reinzuquestschen (würd denk ich mal 2 stunden dauern ^^) und mein scanner spinnt grad... also wie du angesetzt hast (bis "und jetzte?") das stimmt schon. aber danach check ich den beweis im buch nimma wirklich. er haut dann mit binomialkoeffizienten um sich und hmmm kein plan... kannst dir ja evtl mal in der bücherei anguggn gruß, Buzz

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