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\begin{document}
\section{Aufgabe 1}

Diskutieren Sie die Funktion $f(x)=x^3-x$ vollständig!

\section{Musterlösung}
1) Definitionsbereich

$D=\mathbb R$ 

2) Symmetrie

$f(-x)=(-x)^3-(-x)=-(x^3-x)=-f(x)$

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

3)Verhalten für betragsgroße x

$\lim_{x \to +\infty } f(x)=+ \infty $
$\lim_{x \to -\infty } f(x)=- \infty $

4) Nullstellen
f(x)=0

$x^3-x=0$
$x(x^2-1)=x$

Nebenrechnung

$x^2-1=0 \Leftrightarrow  x=1 \vee x=-1$

$x^3-x=0$
$x=0 \vee x=1 \vee x=-1$

An den Stellen -1,0 und 1 liegen Nullstellen vor.


5) Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(0)=0$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt $P\left( 0|0\right)$

6) Lokale Extrema

$f(x)=x^3-x$

$f'(x)=3x^2-1$

$f''(x)=6x$

Notwendiges Kriterium für lokale Extrema $f'(x)= 0$

$3x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=\frac{1}{3} \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{3}}\vee x=-\sqrt{\frac{1}{3}}$

An den Stellen $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ und $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ könnten lokale Extrema vorliegen.

Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema $f''(x)\neq 0$

$f''(\sqrt{\frac{1}{3}})\approx 3,46$

$f''(-\sqrt{\frac{1}{3}})\approx -3,46$

An der Stelle $\sqrt{\frac{1}{3}}$ liegt ein lokales Minimum und an der stelle $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ ein lokales Maximum vor.

7) Wendestellen

$f'''(x)=6$

Notwendiges Kriterium für Wendestellen $f''(x)=0$

$6x=0 \Leftrightarrow x=0$

An der Stelle 0 könnte eine Wendestelle vorliegen.

Hinreichendes Kriterium für Wendestellen $f'''(x)\neq 0$

$f'''(0)=6$

An der Stelle 0 liegt eine Wendestelle vor.

8)Graph

%keine Ahnung wie ich den einbinden soll%

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\begin{document}
\section{Aufgabe 1}

Diskutieren Sie die Funktion $f(x)=x^3-x$ vollständig!

\section{Musterlösung}
\begin{enumerate}
\item{Definitionsbereich}

$D=\mathbb R$ 

\item{Symmetrie}

$f(-x)=(-x)^3-(-x)=-(x^3-x)=-f(x)$

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

\item{Verhalten für betragsgroße x}

$\lim_{x \to +\infty } f(x)=+ \infty $
$\lim_{x \to -\infty } f(x)=- \infty $

\item{Nullstellen}
f(x)=0

$x^3-x=0$
$x(x^2-1)=x$

Nebenrechnung

$x^2-1=0 \Leftrightarrow  x=1 \vee x=-1$

$x^3-x=0$
$x=0 \vee x=1 \vee x=-1$

An den Stellen -1,0 und 1 liegen Nullstellen vor.


\item{Schnittpunkt mit der y-Achse}

$f(0)=0$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt $P\left( 0|0\right)$

\item{Lokale Extrema}

$f(x)=x^3-x$

$f'(x)=3x^2-1$

$f''(x)=6x$

Notwendiges Kriterium für lokale Extrema $f'(x)= 0$

$3x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=\frac{1}{3} \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{3}}\vee x=-\sqrt{\frac{1}{3}}$

An den Stellen $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ und $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ könnten lokale Extrema vorliegen.

Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema $f''(x)\neq 0$

$f''(\sqrt{\frac{1}{3}})\approx 3,46$

$f''(-\sqrt{\frac{1}{3}})\approx -3,46$

An der Stelle $\sqrt{\frac{1}{3}}$ liegt ein lokales Minimum und an der stelle $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ ein lokales Maximum vor.

\item{Wendestellen}

$f'''(x)=6$

Notwendiges Kriterium für Wendestellen $f''(x)=0$

$6x=0 \Leftrightarrow x=0$

An der Stelle 0 könnte eine Wendestelle vorliegen.

Hinreichendes Kriterium für Wendestellen $f'''(x)\neq 0$

$f'''(0)=6$

An der Stelle 0 liegt eine Wendestelle vor.

\item{Graph}

keine Ahnung wie ich den einbinden/zeichnen soll
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\documentclass[10pt,oneside,a4paper]{scrartcl}

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\usepackage[left=3cm,right=4cm,top=3cm,bottom=6cm,includeheadfoot]{geometry}

%neue Rechtschreibung
\usepackage{ngerman}

%Umlaute ermöglichen
\usepackage[latin1]{inputenc}

%Kopf- und Fußzeile
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
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%Linie oben
\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}

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\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}



\usepackage{latexsym}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wasysym}

\begin{document}
\section{Aufgabe 1}

Diskutieren Sie die Funktion $f(x)=x^3-x$ vollständig!

\section{Musterlösung}
\begin{enumerate}
\item{\textbf{\textit{Definitionsbereich}}}

$D=\mathbb R$ 

\item{\textbf{\textit{Symmetrie}}}

$f(-x)=(-x)^3-(-x)=-(x^3-x)=-f(x)$

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

\item{\textbf{\textit{Verhalten für betragsgroße x}}}

$\lim_{x \to +\infty } f(x)=+ \infty $
$\lim_{x \to -\infty } f(x)=- \infty $

\item{\textbf{\textit{Nullstellen}}}
f(x)=0

$x^3-x=0$
$x(x^2-1)=x$

Nebenrechnung

$x^2-1=0 \Leftrightarrow  x=1 \vee x=-1$

$x^3-x=0$

$\Leftrightarrow x=0 \vee x=1 \vee x=-1$

An den \textbf{Stellen -1,0 und 1} liegen \textbf{Nullstellen} vor.


\item{\textbf{\textit{Schnittpunkt mit der y-Achse}}}

$f(0)=0$

Der Graph schneidet die \textbf{y-Achse} im \textbf{Punkt $P\left( 0|0\right)$}

\item{\textbf{\textit{Lokale Extrema}}}

$f(x)=x^3-x$

$f'(x)=3x^2-1$

$f''(x)=6x$

Notwendiges Kriterium für lokale Extrema $f'(x)= 0$

$3x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=\frac{1}{3} \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{3}}\vee x=-\sqrt{\frac{1}{3}}$

\textbf{An den Stellen $\sqrt{\frac{1}{3}}\approx 0,58$ und $-\sqrt{\frac{1}{3}}\approx -0,58$ könnten lokale Extrema vorliegen.}

Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema $f''(x)\neq 0$

$f''(\sqrt{\frac{1}{3}})\approx 3,46$

$f''(-\sqrt{\frac{1}{3}})\approx -3,46$

\textbf{An der Stelle $\sqrt{\frac{1}{3}}$ liegt ein lokales Minimum und an der Stelle $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ ein lokales Maximum vor.}

\item{\textbf{\textit{Wendestellen}}}

$f'''(x)=6$

Notwendiges Kriterium für Wendestellen $f''(x)=0$

$6x=0 \Leftrightarrow x=0$

\textbf{An der Stelle 0 könnte eine Wendestelle vorliegen.}

Hinreichendes Kriterium für Wendestellen $f'''(x)\neq 0$

$f'''(0)=6$

\textbf{An der Stelle 0 liegt eine Wendestelle vor.}

\item{\textbf{\textit{Graph}}}

\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
$x$ & -3 & -2 & -1 & -0,58 & 0 & 0,58 & 1 & 2 & 3    \\
\hline
$f(x)$ & -24 & -6 & 0 & 0,38 & 0 & -0,38 & 0 & 6 & 24 
\end{tabular}
\end{enumerate}
\begin{figure}[h]
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		\includegraphics{C:/abbildungen/plotter.jpg}
	\label{fig:plotter}
\end{figure}

 
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\section{Aufgabe 1}

Diskutieren Sie die Funktion \[f(x)=x^3-x\] vollständig!

\section{Musterlösung}
\begin{enumerate}
\item{\textbf{\textit{Definitionsbereich}}}
\begin{align*}
& D=\mathbb R
\end{align*}
\item{\textbf{\textit{Symmetrie}}}
\begin{align*}
& f(-x)=(-x)^3-(-x)=-(x^3-x)=-f(x)
\end{align*}
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
\item{\textbf{\textit{Verhalten für betragsgroße x}}}
\begin{align*}
& \lim_{x \to +\infty } f(x)=+ \infty \\
& \lim_{x \to -\infty } f(x)=- \infty
\end{align*}
\item{\textbf{\textit{Nullstellen}}}
\begin{align*}
& f(x)=0\\
& x^3-x=0\\
& x(x^2-1)=x
\end{align*}
Nebenrechnung
\begin{align*}
& x^2-1=0 \Leftrightarrow  x=1 \vee x=-1\\
& x^3-x=0\\
& \Leftrightarrow x=0 \vee x=1 \vee x=-1
\end{align*}
\end{enumerate}
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\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{align*}
rechtsbuendig & = linksbuendig & rechtsbuendig & = linksbuendig\\
adfhshasdf & = asfshd & adfbsadfb & = asdfgsdf
\end{align*}
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Package: scrkbase 2007/03/07 v2.97a KOMA-Script package (basics and keyval use)


("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\graphics\keyval.sty"
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\KV@toks@=\toks14
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("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\koma-script\scrlfile.sty"
Package: scrlfile 2007/03/07 v2.97a KOMA-Script package (loading files)

Package scrlfile, 2007/03/07 v2.97a KOMA-Script package (loading files)
                  Copyright (C) Markus Kohm

)) ("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\base\fleqn.clo"
File: fleqn.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (flush left equations)
\mathindent=\dimen102
)
Package scrkbase Info: You've used the obsolete option `10pt'.
(scrkbase)             \KOMAoptions{fontsize=10pt} will be used instead.
(scrkbase)             You should do this change too on input line 659.
Class scrartcl Info: File `size10.clo' used to setup font sizes on input line 9
12.

("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\base\size10.clo"
File: size10.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\koma-script\typearea.sty"
Package: typearea 2007/03/07 v2.97a KOMA-Script package (type area)

Package typearea, 2007/03/07 v2.97a KOMA-Script package (type area)
                  Copyright (C) Frank Neukam, 1992-1994
                  Copyright (C) Markus Kohm, 1994-

\ta@bcor=\skip41
\ta@div=\count79
Package scrkbase Info: You've used the obsolete option `a4paper'.
(scrkbase)             \KOMAoptions{paper=a4} will be used instead.
(scrkbase)             You should do this change too on input line 425.
\ta@hblk=\skip42
\ta@vblk=\skip43
\ta@temp=\skip44
Package typearea Info: These are the values describing the layout:
(typearea)             DIV  = 8
(typearea)             BCOR = 0.0pt
(typearea)             \paperwidth      = 597.50793pt
(typearea)              \textwidth      = 373.44246pt
(typearea)              DIV-departure   = -4/100
(typearea)              \evensidemargin = 39.76274pt
(typearea)              \oddsidemargin  = 39.76274pt
(typearea)             \paperheight     = 845.04694pt
(typearea)              \textheight     = 538.0pt
(typearea)              \topmargin      = 0.36087pt
(typearea)              \headheight     = 15.0pt
(typearea)              \headsep        = 18.0pt
(typearea)              \topskip        = 10.0pt
(typearea)              \footskip       = 42.0pt
(typearea)              \baselineskip   = 12.0pt
(typearea)              on input line 879.
)
\c@part=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\abovecaptionskip=\skip45
\belowcaptionskip=\skip46
\c@pti@nb@sid@b@x=\box26
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\bibindent=\dimen103
) ("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\german\ngerman.sty" v2.5e 1998-07-08
Package: ngerman 1998/07/08 v2.5e Support for writing german texts (br)
\grmnU@D=\dimen104
ngerman -- \language number for naustrian undefined, default 4 used.
)
("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\base\inputenc.sty"
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks15
\inpenc@posthook=\toks16

("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\base\latin1.def"
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
))
("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\amsmath\amsmath.sty"
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip47

For additional information on amsmath, use the `?' option.
("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\amsmath\amstext.sty"
Package: amstext 2000/06/29 v2.01

("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\amsmath\amsgen.sty"
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks17
\ex@=\dimen105
))
("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\amsmath\amsbsy.sty"
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen106
)
("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\amsmath\amsopn.sty"
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count88
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count89
\leftroot@=\count90
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count91
\DOTSCASE@=\count92
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box27
\strutbox@=\box28
\big@size=\dimen107
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count93
\c@MaxMatrixCols=\count94
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count95
\dspbrk@lvl=\count96
\tag@help=\toks18
\row@=\count97
\column@=\count98
\maxfields@=\count99
\andhelp@=\toks19
\eqnshift@=\dimen108
\alignsep@=\dimen109
\tagshift@=\dimen110
\tagwidth@=\dimen111
\totwidth@=\dimen112
\lineht@=\dimen113
\@envbody=\toks20
\multlinegap=\skip48
\multlinetaggap=\skip49
\mathdisplay@stack=\toks21
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
)
("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\amsfonts\amssymb.sty"
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d

("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\amsfonts\amsfonts.sty"
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
))
No file LaTeX1.aux.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 6.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 6.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 6.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 6.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 6.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 6.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 6.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 6.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 6.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 6.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 6.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 6.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 9.
("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\amsfonts\umsa.fd"
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 9.

("J:\LaTeX\MiKTeX 2.5\tex\latex\amsfonts\umsb.fd"
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
! Undefined control sequence.
l.42 		\includegraphics
                       [width=0.90\textwidth]{Bilder/plotter}
The control sequence at the end of the top line
of your error message was never \def'ed. If you have
misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
and I'll forget about whatever was undefined.

! Missing number, treated as zero.
<to be read again> 
                   ]
l.42 		\includegraphics[width=0.90\textwidth]
                                             {Bilder/plotter}
A number should have been here; I inserted `0'.
(If you can't figure out why I needed to see a number,
look up `weird error' in the index to The TeXbook.)

! Illegal unit of measure (pt inserted).
<to be read again> 
                   ]
l.42 		\includegraphics[width=0.90\textwidth]
                                             {Bilder/plotter}
Dimensions can be in units of em, ex, in, pt, pc,
cm, mm, dd, cc, nd, nc, bp, or sp; but yours is a new one!
I'll assume that you meant to say pt, for printer's points.
To recover gracefully from this error, it's best to
delete the erroneous units; e.g., type `2' to delete
two letters. (See Chapter 27 of The TeXbook.)

[1

] (LaTeX1.aux)

LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right.

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 2029 strings out of 95420
 23606 string characters out of 1187548
 87700 words of memory out of 1088840
 5138 multiletter control sequences out of 60000
 6899 words of font info for 27 fonts, out of 1000000 for 2000
 14 hyphenation exceptions out of 8191
 36i,8n,36p,222b,180s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,32768s

Output written on LaTeX1.dvi (1 page, 1804 bytes).

1:

\usepackage{graphicx}