Vollständige Induktion, Ungleichung

22.04.2007, 22:54

Nels

Vollständige Induktion, Ungleichung

Beweise mittels vollständiger Induktion folgende Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

- Induktionsanfang: ist klar...
- Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n \Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$
- Induktionsvoraussetzung:
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
- Induktionsbehauptung:
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\geq\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

(Stimmen die Reihenfolge und die Bezeichnungen dieser "Induktionsschritte" eigentlich? Ich finde immer wieder Beispiele wo die Schritte entweder fehlen bzw. vertauscht oder anders benannt sind - was ist denn letzendlich nun richtig?)

Jedenfalls bin ich bei diesem Beispiel ziemlich ratlos, wie ich es anpacken soll. Was mich ehrlichgesagt irritiert ist die Summe auf der linken Seite - ich weiß nicht, wie ich damit umgehen soll. Wäre sehr dankbar, wenn ihr mir Tipps geben könntet.

Viele Grüße,
Nels

22.04.2007, 23:03

n00ki3

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Hiho
Hallo und guten Abend .

Aufgabe D 8 ähnelt deiner Aufgabe sehr ... vllt hilft dir das :
http://www.emath.de/Referate/induktion-a...n-loesungen.pdf

23.04.2007, 08:57

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion, Ungleichung

Zitat:

Original von Nels
(Stimmen die Reihenfolge und die Bezeichnungen dieser "Induktionsschritte" eigentlich? Ich finde immer wieder Beispiele wo die Schritte entweder fehlen bzw. vertauscht oder anders benannt sind - was ist denn letzendlich nun richtig?)

Die Bezeichnungen sind ok.
Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung gilt:

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... +\frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \geq \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \cdot (\sqrt{n+1} \cdot \sqrt{n} + 1) \geq \frac{1}{\sqrt{n+1}} \cdot (\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} + 1) \end{eqnarray*}$

Rest ist klar. Im übrigen gilt die stärkere Aussage:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

23.04.2007, 10:22

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Zitat:

Original von klarsoweit
Im übrigen gilt die stärkere Aussage:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Zumindest für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ kann ich was noch besseres bieten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{n}} \geq 2\sqrt{n+1}-2 \end{eqnarray*}$ smile

Gilt auch für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ , ist da aber schlechter als die obige Ungleichung.

23.04.2007, 22:11

Nels

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Vielen Dank für die Mühen!! smile

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