Komische Grenzwerte

09.12.2004, 18:13

Anaiwa

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Komische Grenzwerte

Ich soll folgende GW berechnen:

1)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{3-\sqrt{2x+3}}{2x}=-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

2)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}x*lnx= nicht definiert \end{eqnarray*}$
3)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{n}=??? \end{eqnarray*}$

4)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}(x-\sqrt{x^2+x})=?? \end{eqnarray*}$

5)

k beliebig $\begin{eqnarray*} k \in N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x}=??? \end{eqnarray*}$

nun frag ich mich wie ich hier GW berechnen soll, wenn l'Hospital nicht greift und es keine gibt?

Da kann ich doch keine berechnen.

09.12.2004, 18:29

PK

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geht der erste nicht gegen unendlich oO?

4) geht gegen 0,

wie kann ich den dritten verstehen, oder is das 'n Tippfehler?

die 5 is komisch, geht aber, glaub ich, gegen 0

09.12.2004, 18:42

Leopold

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Bei 1) ist der Quotient (ich nehme einmal an, es soll $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ im Zähler heißen) der Differenzenquotient der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = - \frac{1}{2} \sqrt{2x+3} \end{eqnarray*}$

an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Daher gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2x+3}}{2x} \ = \ f'(0) \end{eqnarray*}$

Bei 2) verwende (wenn denn wirklich $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ gemeint ist) die Regel

$\begin{eqnarray*} \infty \cdot \infty = \infty \end{eqnarray*}$

Zu 3) siehe hier (es soll wohl $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ heißen)

Bei 4) schreibe den Term als Bruch zum Nenner 1 und erweitere mit $\begin{eqnarray*} x + \sqrt{x^2+x} \end{eqnarray*}$ . Vereinfache und kürze dann durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Der Grenzwert in 5) ist ein bekannter Zusammenhang, kann aber auch leicht mit L'Hospital berechnet werden.

EDIT

Zitat:

Original von PK
4) geht gegen 0,

Stimmt nicht. Es geht gegen $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

09.12.2004, 18:47

PK

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vergessen wir's, ich hab die einfach mal ausm Gefühl bestimmt^^

09.12.2004, 19:26

Anaiwa

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Also definitiev stimmen alle Funktionen!

das ist ja das komische, GW berechnen wo es keine gibt? Dumm!

09.12.2004, 20:07

iammrvip

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es gibt doch für alles GW. lies noch mal Leopolds beitrag Augenzwinkern

Augenzwinkern

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09.12.2004, 20:47

Anaiwa

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@ leo das heist nicht wurzel 3 !! wie ich schon geschrieben habe ist alles richtig so wie ichs geamcht habe!

09.12.2004, 21:21

iammrvip

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sorry. ich hab bei deiner aufgabenstellung nicht richtig hingesehen Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

.

09.12.2004, 21:25

Leopold

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Wenn das aber 3 heißt, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0, \; x>0} \frac{3 - \sqrt{2x+3}}{2x} \ = \ \infty \ , \ \ \lim_{x \to 0, \; x<0} \frac{3 - \sqrt{2x+3}}{2x} \ = \ - \infty \end{eqnarray*}$

09.12.2004, 23:05

Anaiwa

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heist das also, das ich für jede Fkt mich von links sowie von rechts annähern muss?

und für

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{n}=??? \end{eqnarray*}$

müsste die lösung dann laut thread heissen ^^

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{n}=\lim_{x \to \infty} n^{\frac{1}{n}}= 1 \end{eqnarray*}$

da ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ immer gergen null konvergiert.

10.12.2004, 10:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=??? \end{eqnarray*}$

müsste die lösung dann laut thread heissen ^^

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=\lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}= 1 \end{eqnarray*}$

da ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ immer gergen null konvergiert.

wenn du n statt x schreibst stimmt das Ergebnis aber nicht der Beweis. 1/n geht zwar gegen 0, auf der anderen Seite wird aber auch n beliebig groß. Am besten formt man so um:
$\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} = e^{ln(n^\frac{1}{n})} = e^{\frac{1}{n} \cdot ln(n)} \end{eqnarray*}$
zeige nun, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \cdot ln(n) \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert.

10.12.2004, 12:49

chiller

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zu 5)
l'hospital kann man hier anwenden :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = \lim_{x \to \infty}\frac{k*x^{k-1}}{e^x} = (k-mal ableiten) = \lim_{x \to \infty} \frac{k!}{e^x} = 0 \end{eqnarray*}$

12.12.2004, 21:56

Anaiwa

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Möchte nochmal alles zusammenfassen uns sehn obs stimmt

1)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{3-\sqrt{2x+9}}{2x}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{2x+9}}}{2}-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

kein GW

2)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}x*lnx=\lim_{x \to \infty}x*\frac{1}{x}+ln{x}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0 \end{eqnarray*}$
3)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=n^0=1 \end{eqnarray*}$

4)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}(x-\sqrt{x^2+x})=\infty \end{eqnarray*}$

5)

k beliebig $\begin{eqnarray*} k \in N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = \lim_{x \to \infty}\frac{k*x^{k-1}}{e^x} = (k-mal ableiten) = \lim_{x \to \infty} \frac{k!}{e^x} = 0 \end{eqnarray*}$

12.12.2004, 23:38

Mathespezialschüler

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1) kein GW zwar richtig, aber wie du auf die rechte Seite kommst, ist mir schleierhaft.

edit: Oben hast du noch gesagt, alle Funktionen seien richtig abgeschrieben und jetzt sieht 1) auf einmal ganz anders aus!! Und jetzt hat es als das additiv Inverse des Differentialquotienten der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{2x+9} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=0 auf einmal doch einen Grenzwert!!!!!!

2) Was hast du denn da gemacht, das regt mich ja auf böse

böse

Augenzwinkern

Du kannst doch bei Produkten nicht einfach die Faktoren einzeln ableiten!!!!!!!!!!!! Das geht mit der Regel von l'Hospital wirklich nur für Quotienten!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

3) zwar richtig, aber das $\begin{eqnarray*} =n^0 \end{eqnarray*}$ verrät, dass deine Begründung falsch ist!!

4) falsch!
Wie Leopold schon richtig sagte, ist der Grenzwert 0,5. Du solltest dir mal seinen Tipp ansehen!

5) schön abgeschrieben, aber richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.12.2004, 23:55

Anaiwa

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1) wie kann der nen grenzwert haben?

2) gg hast recht aber wie kann ich denn dann den GW finden unendlich ist immer doof gibs keine richtige zahl ^^

3) n^0 das reicht doch soll doch nur GW finden und nicht begruenden!!!#

4) wie kommst du auf 0,5 leo hat plus undminus unendlich geschrieben? oder habe ich da was übersehn?

5) gg bestimmt aber steht auch im TW hab ich gefunden ^^

13.12.2004, 00:08

Mathespezialschüler

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1) Warum nicht? Das ist ein Differentialquotient, da gehen Zähler und Nenner immer gegen 0 ... und es existiert bei analytischen Funktionen trotzdem ein GW.
Bist du dir sicher, dass in der Aufgabe nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{2x+9}-3}{2x} \end{eqnarray*}$ steht??

2) x geht gegen unendlich, ln(x) geht gegen unendlich, also geht auch x*ln(x) gegen unendlich, wie Leopold auch schon sagte!

3) Dann is ja gut

4)

Zitat:

Original von Leopold
Bei 4) schreibe den Term als Bruch zum Nenner 1 und erweitere mit $\begin{eqnarray*} x + \sqrt{x^2+x} \end{eqnarray*}$ . Vereinfache und kürze dann durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

...

EDIT

Zitat:

Original von PK
4) geht gegen 0,

Stimmt nicht. Es geht gegen $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wo Leopold mal +unendlich und -unendlich schrieb, das bezog sich auf die 1), scroll doch einfach hoch, dann siehst es und musst nich nachfragen, damit wir dir es nochmal sagen. Lesen kannste ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.12.2004, 00:19

Anaiwa

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also du hast das was falsch geschrieben da steh:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{3-\sqrt{2x+3}}{2x} \end{eqnarray*}$

und nicht wie bei dir,

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{-3+\sqrt{2x+3}}{2x} \end{eqnarray*}$

2) wenn das also der GW ist dann muss ich mich wohl damit zufrieden geben ^^

3) schoen ^^

4)Also das versteh ich net mit schreibe den Term als Bruch zum Nenner 1 und erweitere mit x-wurzek(). Vereinfache und kürze dann durch .

mein der das so?

$\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{\sqrt{x^2+x}}=\frac{x^2*\sqrt{x^2+x}+x}{x*(\sqrt{x^2+x})} \end{eqnarray*}$

13.12.2004, 00:28

Mathespezialschüler

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1) Was meinst du denn jetzt?? Du hast mehrere Versionen gegeben.

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{3-\sqrt{2x+3}}{2x} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{3-\sqrt{2x+9}}{2x} \end{eqnarray*}$

oder vielleicht doch

3. $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{2x+9}-3}{2x} \end{eqnarray*}$

???

4) Du sollst doch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}(x-\sqrt{x^2+x}) \end{eqnarray*}$ bestimmen, was soll dann $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{\sqrt{x^2+x}} \end{eqnarray*}$ ??
Du sollst das so machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}(x-\sqrt{x^2+x})=\lim_{x \to \infty}\frac{x-\sqrt{x^2+x}}{1} \end{eqnarray*}$

und jetzt erweitern mit $\begin{eqnarray*} x+\sqrt{x^2+x} \end{eqnarray*}$

13.12.2004, 00:38

Anaiwa

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1) $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{3-\sqrt{2x+9}}{2x} \end{eqnarray*}$

das stimmt!

4)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}(x-\sqrt{x^2+x})=\lim_{x \to \infty}\frac{x-\sqrt{x^2+x}*x+\sqrt{x^2+x}}{x+\sqrt{x^2+x}}=\lim_{x \to \infty}\frac{x*(x^2+x)+x*x+(-x^2-x)(x^2+x)+(-x^2-x)*x}{x+\sqrt{x^2+x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{(-x^2-x)(x^2+x)+x^2}{x+\sqrt{x^2+x}} \end{eqnarray*}$

nun bin ich auch nicht weiter.

13.12.2004, 00:51

Mathespezialschüler

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1) Und gegen was geht das deiner Meinung nach??

4) Was machst du denn da?? Wo sind denn die Wurzeln geblieben?? verwirrt

verwirrt

Binomische Formel anwenden!!

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{x^2+x} \end{eqnarray*}$ , dann steht da:

$\begin{eqnarray*} (x-\sqrt{x^2+x})(x+\sqrt{x^2+x})=x^2-(\sqrt{x^2+x})^2=x^2-x^2-x=-x \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}(x-\sqrt{x^2+x})=\lim_{x \to \infty}\frac{x-\sqrt{x^2+x}}{1}=\lim_{x \to \infty}\frac{(x-\sqrt{x^2+x})(x+\sqrt{x^2+x})}{x+\sqrt{x^2+x}}=\lim_{x \to \infty}\frac{x^2-x^2-x}{x+\sqrt{x^2+x}}=\lim_{x \to \infty}\frac{-x}{x+\sqrt{x^2+x}} \end{eqnarray*}$

Im Nenner x ausklammern und dann x gegen unendlich laufen lassen ...

13.12.2004, 00:57

Anaiwa

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1)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{3-\sqrt{2x+9}}{2x}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{2x+9}}}{2}-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

4)

wie willst du denn aus ner wrzel x ausklammern?

da ja hoch 0,5 ist?

13.12.2004, 01:06

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Anaiwa
1)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{3-\sqrt{2x+9}}{2x}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{2x+9}}}{2}-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf?? verwirrt

verwirrt

böse

Zitat:

Original von Anaiwa
4)

wie willst du denn aus ner wrzel x ausklammern?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{-x}{x+\sqrt{x^2+x}}=\lim_{x \to \infty}\frac{-x}{x+\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}}=\lim_{x \to \infty}\frac{-x}{x+x\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\lim_{x \to \infty}\frac{-x}{x\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}=\lim_{x \to \infty}-\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{x}}} \end{eqnarray*}$

und das x gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen lassen, schaffste noch alleine oder??

13.12.2004, 01:19

Anaiwa

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1)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{3-\sqrt{2x+9}}{2x}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{2x+9}}}{2}-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ [/quote]
Wie kommst du denn darauf?? ?

also da ja 0/0 rauskommt, muss ich da net hospital anwenden?

13.12.2004, 01:25

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, natürlich musst du nicht!!! Du kannst, aber wenn ich das tue, dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{1}{\sqrt{2x+9}}}{2} \end{eqnarray*}$

. Du hast wohl ein "-" vergessen und woher nimmst du denn die $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ ??? verwirrt

verwirrt

edit: Meinst du vielleicht

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{3-\sqrt{2x+9}}{2x}=\lim_{x\to 0} \frac{-\frac{1}{\sqrt{2x+9}}}{2}=-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

?? Wenn ja, warum schreibst du es dann nich so hin??? unglücklich

unglücklich

13.12.2004, 01:29

Anaiwa

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gg die iensechstes iist der nicht existierende GW hab das istgleich vergesen

13.12.2004, 01:34

Mathespezialschüler

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Das hab ich jetzt auch mitbekommen, hättest mir viel Gerate und uns das lange Rumgerede ersparen können, wenn du ein "=" gesetzt hättest *g*
Naja, so is es alles richtig, wenn du das "-" noch davor setzt!!!!

Aber: Habt ihr denn l'Hospital schon bewiesen und habt ihr bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{2x+9}} \end{eqnarray*}$ die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{2x+9} \end{eqnarray*}$ ist??

13.12.2004, 01:36

Anaiwa

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wir haben schon alle GW sätze bewiesen und GWsätze behandelt wir haben mit dem neuen thema integrale vorherige Woche angefangen und das ist unser sbschluss aufgaben blatt zu diesem Thema

13.12.2004, 01:40

Mathespezialschüler

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Na dann ists ja ok ...

gn8

13.12.2004, 15:21

Anaiwa

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Ich habe folgenden GW noch vergessen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x*lnx \end{eqnarray*}$

dieser dürfe nun eindeutig nicht definiert sein, da durch null, mannichts zeilen kann. und L'Hospital greift hier auch nicht.

also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x*lnx=nicht definiert \end{eqnarray*}$

die schlußfolge rung mueste eigendlich stimmen

13.12.2004, 15:38

iammrvip

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doch l'Hospital greift hier auch. wir müssen nur etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left(xln(x)\right) = \lim_{x \to 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

alles klar??

13.12.2004, 15:41

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
doch l'Hospital greift hier auch. wir müssen nur etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left(xln(x)\right) = \lim_{x \to 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

alles klar??

so schoen und gut aber dennoch gibt es keine Lösung da ja duch null nicht geteilt werden darf!!!

Ich meite eigendlich nur damit, das es nichts bringt dies zu lösen! da es eh durch die ableitung nichts bringt.

13.12.2004, 15:50

iammrvip

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jetzt die regel von l'Hospital anwenden.

13.12.2004, 16:03

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

wenni ch die anwender kommt:

u=lnx
u'=1/x

v=1/x
v'=-1/x²

(1/x²+lnx/x²)/(-1/x²)^2

so kommt man aufs gleiche (-1/0)² nicht definiert

13.12.2004, 16:10

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

du musst nenner und zähler gerennt ableiten!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$

13.12.2004, 16:11

Anaiwa

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schoen wenn ich das tue kommt aner immer noch 0/= raus!1 also nicht definiert!!!!!!!!!!!!!1

13.12.2004, 16:14

iammrvip

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verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = -\frac{x^2}{x} = -x \end{eqnarray*}$

und jetzt noch den grenzübergang

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} -x = ??? \end{eqnarray*}$

13.12.2004, 16:53

Anaiwa

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hier hast du einfach aus x 1/x gemacht (erstmal drauf kommen)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left(xln(x)\right) = \lim_{x \to 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

hier erweiter??:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left(xln(x)\right) = \lim_{x \to 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\div(-\frac{1}{x^2})=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}*(-x^2)=\lim_{x \to 0} -\frac{x^2}{x}=\lim_{x \to 0} -x=0 \end{eqnarray*}$

rechenweg muss ich ja irgendwie nachvollziehen.

und somit ist er null.

13.12.2004, 17:06

iammrvip

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ja. jetzt stimmt's. auch wenn einige schritte überflüssig sind. aber wenn du es so besser verstehst, schreib es lieber hin, bevor du noch durcheinander kommst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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