Konvergenzuntersuchung von Reihen

10.12.2004, 15:26

Master

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Konvergenzuntersuchung von Reihen

Huhu

smile

Also ich habe hier zwei Aufgaben, in denen ich nicht einmal den Ansatz sehe. Ich soll folgende Reihen auf Konvergenz überprüfen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty ~(\sqrt[n]{n}-1)³ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n!}{n^{n}} \end{eqnarray*}$

Bei der ersten Reihe ist mir klar, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert, somit der gesammte Term gegen 0. Nur wie ich jetzt weiter mache, weiss ich nciht, wäre um jeden Tipp dankbar.

Bei der Zweiten ist mir auch klar, dass die Folge gegen 0 konvergiert, da $\begin{eqnarray*} n^{n} \end{eqnarray*}$ schneller wächst als n!. Nur wie beweis ich, dass die Reihen konvergieren und vor allem: wogegen?

Ich bedanke mich schonmal für jede Hilfe die ich bekomme smile

smile

10.12.2004, 16:48

BraiNFrosT

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Bei der 2ten Reihe benutzt du das Wurzelkriterium.

Benutze dabei : $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{\frac{n^n}{n!} } \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ \frac{n^n}{n!}} \end{eqnarray*}$ -> e für n -> unendlich.

Wogegen die Reihen konvergieren ist ja nicht wichtig für die Aufgabe.

@ Arthur Dent : Juhu, nu kams ja doch noch Rock

Rock

10.12.2004, 17:26

Gast

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RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen
Bei der 2. geht auch das Quotientenkrit.:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\underbrace{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}_{\longrightarrow \frac{1}{e}}\underbrace{\frac{n+1}{n}}_{\longrightarrow 1}\longrightarrow\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

10.12.2004, 17:48

Master

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RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen

Zitat:

Original von Gast
Bei der 2. geht auch das Quotientenkrit.:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n= \end{eqnarray*}$

wie kommst du denn da drauf, bin im moment etwas verwirrt smile

smile

10.12.2004, 17:55

Gast

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RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen

Zitat:

Original von Master

Zitat:

Original von Gast
Bei der 2. geht auch das Quotientenkrit.:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n= \end{eqnarray*}$

wie kommst du denn da drauf, bin im moment etwas verwirrt smile

smile

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\overbrace{(n+1)!}^{=(n+1)n!}}{\underbrace{(n+1)^(n+1)}_{=(n+1)(n+1)^n}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n= \end{eqnarray*}$

10.12.2004, 17:58

Gast

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RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen

Zitat:

Original von Master

Zitat:

Original von Gast
Bei der 2. geht auch das Quotientenkrit.:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n= \end{eqnarray*}$

wie kommst du denn da drauf, bin im moment etwas verwirrt smile

smile

Und hier ohne Tippfehler:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\overbrace{(n+1)!}^{=(n+1)n!}}{\underbrace{(n+1)^{n+1}}_{=(n+1)(n+1)^n}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n= \end{eqnarray*}$

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10.12.2004, 18:28

AD

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RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen
Ein Tipp zur ersten Reihe:

Für a>1, n>1 gilt

$\begin{eqnarray*} a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\ldots+a^2+a+1)<(a-1)\cdot na^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt[n]{n}>1\quad \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} \qquad\sqrt[n]{n}-1>\frac{n-1}{n^2} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.12.2004, 23:19

Master

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soll das heissen, da (n-1) / n² nicht als Reihe konvergieren würde, konvergiert diese Reihe auch nicht? smile

smile

10.12.2004, 23:41

AD

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Genau das! Rock

Rock

(Wenn eine positive Minorante divergiert, dann auch die Reihe.)

EDIT: Das "auch nicht" versteh ich nicht ganz, die andere Reihe konvergiert ja.

11.12.2004, 00:52

Master

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da die Majorante nicht konvergiert, konvergiert die Reihe (auch) nicht...oder hab ich was falsch verstanden? smile

smile

11.12.2004, 00:57

JochenX

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die Minorante konvergiert nicht.... aber ansonsten hast du das richtig verstanden....
majorante nimmst du, um zu zeigen, das etwas konvergiert....

mfg jochen

11.12.2004, 01:31

Master

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Ui, dass Board hier ist wirklich gut, danke für die ganze Hilfe!

(ich versuche morgen mal exakt durchzublicken, und bei Fragen werde ich mich wieder melden! Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

11.12.2004, 01:35

Master

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RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen

Zitat:

Original von Arthur Dent

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt[n]{n}>1\quad \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \qquad\sqrt[n]{n}-1>\frac{n-1}{n^2} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

ok, hab mich doch nochmal hingesetzt und mir das angekuckt smile

smile

wieso wird obiger Term geteilt durch n²..irgendwie sehe ich eure Umformungen nie richtig

11.12.2004, 02:35

Poff

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RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen

Zitat:

Original von Master
...
wieso wird obiger Term geteilt durch n²..irgendwie sehe ich eure Umformungen nie richtig

na, damit

(n^(1/n) -1)*n^2 (entspr (a-1)*n*a^n) freikommt vom n^2

aber, die Reihe um die es geht ist doch nicht n^(1/n) -1,
sondern (n^(1/n) -1)^3 und die scheint konvergieren zu
können, bzw zumindest ist ((n-1)/n^2)^3 dazu nicht brauchbar .. :-o
.

11.12.2004, 07:57

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty}~b_n^{\ 3} \ \ \text{mit} \ \ b_n = \sqrt[n]{n} - 1 \ \ \text{konvergiert.} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ gilt nämlich (offenbar ist $\begin{eqnarray*} b_n > 0 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} n = \left( 1+ b_n \right)^n \ = \ \sum_{\nu=0}^n~{n \choose {\nu}}b_n^{\ \nu} \ \geq \ {n \choose 3} b_n^{\ 3} \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung wird nach $\begin{eqnarray*} b_n^{\ 3} \end{eqnarray*}$ aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} b_n^{\ 3} \leq \frac{6}{(n-1)(n-2)} = 6 \cdot \left( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n-1} \right) \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 3}^{\infty}~\left( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n-1} \right) \ \ \text{ist konvergent.} \end{eqnarray*}$

12.12.2004, 02:04

Master

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jenes was für n >=3 gilt...kann ich das einfach so vorraussetzen oder steckt da irgendein Satz hinter?

12.12.2004, 08:51

murray

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Nein da steckt kein Satz dahinter! Man muss n>=3 nehmen damit:
$\begin{eqnarray*} n = \left( 1+ b_n \right)^n \ = \ \sum_{\nu=0}^n~{n \choose {\nu}}b_n^{\ \nu} \ \geq \ {n \choose 3} b_n^{\ 3} \end{eqnarray*}$
eine wahre Aussage ist! (Es geht ja nur darum zu zeigen, dass die Reihe konvergiert und dabei spielen die ersten paar Glieder keine Rolle)( könnte ich zeigen dass die Reihe ab 10 konvergiert, weiss ich dass sie ab 1 auch konvergiert) !
Das was man hier macht ist: Man beschreibt ein Problem auf eine andere Art (Binomial-Form), nimmt sich das passende Teil heraus. Zeigt dass dieses kleiner als die Binomialsumme ist (das ist die Bedingung, dass alle bn>0) und formt so um, dass man Rückschlüsse auf deine Reihe machen kann (bn^{3})! Durch die zuvor gezeigte Ungleichung, erhält man eine Majorante! (Reihe_Majorante>|Reihe|)! Kann man zeigen, dass die Majorante konvergiert, muss deine Reihe auch konvergieren, weil diese durch die Majorante begrenzt wird.
mfg

mfg

12.12.2004, 13:50

Master

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Danke, ich bin stolz behaupten zu können, dass ich glaube es zu verstehen Tanzen

Tanzen

danke euch smile

smile

Nun hätt ich aber noch eine kleine Frage (stecke mitten in der Übungsphase smile

smile

)

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{(n!)^2}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ Die Reihe divergiert bei mir, richtig?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$ Da bin ich noch dran, aber ich hab noch keinen Weg gefunden smile

smile

Viel wichtiger ist mir aber folgende (ich denke die oben bekommen ich irgendwie raus, hab ja shcon viel von euch hier gelernt Augenzwinkern

Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{x^n}{1+x^{2n}} \end{eqnarray*}$

ich soll bei dieser Reihe zeigen, für welche x sie konvergiert und für welche sie divergiert...klar,ich kann ausprobiern und daraus schliessn, nur gehts nicht irgendwie auch so "richtig" mathematisch? smile

smile

12.12.2004, 13:54

JochenX

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bitte den LaTeXCode korrigieren....

edit: ja jetzt isses bei mir auch gut, danke!

12.12.2004, 14:03

Master

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Ich kann keinen Fehler bei mir entdecken? traurig

traurig

12.12.2004, 14:35

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von Master
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{(n!)^2}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ Die Reihe divergiert bei mir, richtig?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$ Da bin ich noch dran, aber ich hab noch keinen Weg gefunden smile

smile

Du solltest lieber n^2 statt n² schreiben. Dann funktionierts
in allen Browsern richtig.

12.12.2004, 15:01

Master

Auf diesen Beitrag antworten »

ist korrigiert smile

smile

12.12.2004, 16:41

Gast

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Zitat:

Original von Master
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{(n!)^2}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ Die Reihe divergiert bei mir, richtig?

Nö, die Reihe konvergiert. Quotientenkriterium!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$ Da bin ich noch dran, aber ich hab noch keinen Weg gefunden smile

smile

Auch hier zeigst Du die Kgz ganz einfach mit dem Quotientenkriterium.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{x^n}{1+x^{2n}} \end{eqnarray*}$

Hier sind Fallunterscheidungen angesagt. (|x|=1, |x|>1 und |x|<1)
Die einzelnen Fälle (nicht |x|=1!!!) lassen sich dann durch geom. Reihen majorisieren.

12.12.2004, 21:51

Master

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Ok, ich hab mir mal die erste Aufgabe mit Quotientenkriterium angeguckt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{(n!)^2}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

daraus habe ich gemacht: $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!^2 (2n)!}{(2(n+1))! (n!)^2}= \frac{(n+1)^2 (n!)^2 (2n)!}{(2n+2)! (n!)^2}=\frac{(n+1)^2 (2n)!}{(2n+1)(2n+2)(2n)!}=\frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2} \end{eqnarray*}$

Kann ich da direkt sagen unten das untere ist größer und das geht gegen 1/4? Müsste ich doch oder?

Bei der zweiten Aufgabe: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$

hab cih folgendes gemacht: $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2 2^n}{2^{n+1} n^2} = \frac{(n+1)^2}{2n^2} = \frac{1}{2} (\frac{(n+1}{n})^2 = \frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})^2 \end{eqnarray*}$

Kann ich hier schon sagen, dass es konvergiert?

Die letzte schaue ich mir nochmal genauer an smile

smile

12.12.2004, 21:52

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen

Zitat:

Original von Poff
aber, die Reihe um die es geht ist doch nicht n^(1/n) -1,
sondern (n^(1/n) -1)^3

Da muss mir irgendwas entgangen sein, wenn ich mir das Originalposting von Master so ansehe:

Zitat:

Original von Master
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty ~(\sqrt[n]{n}-1) \end{eqnarray*}$

Naja, nichts für ungut. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.12.2004, 22:20

AD

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RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen
Jetzt sehe ich erst, dass im Originalposting wieder mal "³" statt "^3" im LaTeX-Code stand. Leute, denkt doch auch mal an die Firefox-Nutzer... böse

böse

12.12.2004, 22:29

Master

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RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen

Zitat:

Original von Arthur Dent
Jetzt sehe ich erst, dass im Originalposting wieder mal "³" statt "^3" im LaTeX-Code stand. Leute, denkt doch auch mal an die Firefox-Nutzer... böse

böse

es tut mir leid, oben hat mich shcon jemand darauf hingewiesen, habs auch ab jetzt voll im Griff, habs einfach nciht gewusst smile

smile

12.12.2004, 22:32

AD

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RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen
@Master

Ja, Ok. Mich ärgert eben bloß, dass dadurch meine Antwort voll für die Katz war - ohne "^3" ergab sich ja eine völlig andere Konvergenzsituation.

12.12.2004, 22:42

Master

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzuntersuchung von Reihen

Zitat:

Original von Arthur Dent
@Master

Ja, Ok. Mich ärgert eben bloß, dass dadurch meine Antwort voll für die Katz war - ohne "^3" ergab sich ja eine völlig andere Konvergenzsituation.

sieh es mal so: du hast mich zum nachdenken angeregt smile

smile

30.01.2005, 12:19

nikname

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muss den alten thread hier nochmal beleben

wollte auch diese reihe untersuchen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

aber die obigen antworten haben mich nicht ganz überzeugt...

1. wenn ich das quotientenkriterium anwende erhalte ich
$\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^n =(\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^n \end{eqnarray*}$

für n->unendlich geht das gegen 1 und sagt nix aus

2. wir hatten das wurzelkriterium nie gemacht, also versteh ich noch nicht ganz warum die reihe konvergiert

wär top wenn mir das nochmal einer erklären könnte

30.01.2005, 13:15

etzwane

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Zitat:

Original von nikname
....
1. wenn ich das quotientenkriterium anwende erhalte ich
$\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^n =(\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^n \end{eqnarray*}$

für n->unendlich geht das gegen 1 und sagt nix aus

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^n=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n} \end{eqnarray*}$
Und was ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ für sehr große n ?

30.01.2005, 13:24

nikname

Auf diesen Beitrag antworten »

bei mir ist der grenzwert immernoch 1,
und in diesem fall würd das quotientenkrit ja keine aussage machen...

hmm keine ahnung

30.01.2005, 13:51

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du, wie die Zahl $\begin{eqnarray*} e = 2,718.... \end{eqnarray*}$ definiert wird ?

30.01.2005, 13:56

nikname

Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer

mist, hoffentlich passiert mir sowas nicht in der klausur

danke

1

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