transformierte ZV, Dichte angeben

24.04.2007, 19:46

Mazze

transformierte ZV, Dichte angeben

Also wir haben eine stetige Zufallsvariable X die auf (0,1) gleichverteilt ist, also die zugehörige Dichte ist

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}1 , & x \in (0,1) \\ 0, sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$

jetzt definier ich mir die Zufallsvariable Y mit:

$\begin{eqnarray*} Y = tan(\pi (x-1)) \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} Y(\omega) \in (0,\infty) ~ fuer ~~ \omega \in (0,1) \end{eqnarray*}$

Mein erstes Problem ist, wenn X den Wert 1/2 annehmen würde, so wäre Y nicht definiert. Die Wahrscheinlichkeit P(X = 1/2) ist ja 0, aber dennoch ist eine Zufallsvariable eine Abbildung, entsprechend wird sie einen Wert annehmen. Wenn wir dieses Problem mal aussen vor lassen hab ich folgendes probiert:

$\begin{eqnarray*} P(Y \leq y) = P(tan(\pi (x-1)) \leq y) = P(x \leq \frac{arctan(y)}{\pi} + 1) = \int_{-\infty}^{\frac{arctan(y)}{\pi} + 1}f(x)dx = \int_{0}^{\frac{arctan(y)}{\pi} + 1}1dx ~~\forall y \in (0,\infty) \end{eqnarray*}$

Das hiesse für die Dichte g(x) von Y müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{y}g(x) dx = \int_{0}^{\frac{arctan(y)}{\pi} + 1}1dx \end{eqnarray*}$

Weiterhin ist ja P(X > 1) = 0 das würde y auf (0,pi) einschränken, aber wie komme ich auf das g(x)?

24.04.2007, 19:48

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} Y = tan(\pi (x-1)) \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} Y(\omega) \in (0,\infty) ~ fuer ~~ \omega \in (0,1) \end{eqnarray*}$

Nein, stimmt nicht - denk nochmal drüber nach, welche Werte der Tangens im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,0) \end{eqnarray*}$ annimmt.

24.04.2007, 20:04

Mazze

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Hehe, das hatte ich zuerst noch zu stehen, im Interval (-pi,0) nimmt der Tangens alle reellen Zahlen an. Also ist

$\begin{eqnarray*} Y(\omega) \in (-\infty,\infty) ~ fuer ~~ \omega \in (0,1) \end{eqnarray*}$

Das lößt immernoch nicht das Problem von X = 1/2, und die obigen Integrale muss ich dann auch anpassen. Ich schreib mal noch das letzte hin

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{y}g(x) dx = \int_{0}^{\frac{arctan(y)}{\pi} + 1}1dx \end{eqnarray*}$

Das muss ja dann für die Dichte g(x) von Y gelten oder?

24.04.2007, 21:26

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RE: transformierte ZV, Dichte angeben
Ich bin wie so mancher Compiler, beim nächsten "Critical Error" (=haarsträubender Fehler) stoppe ich und lese nicht weiter:

Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} P(tan(\pi (x-1)) \leq y) = P(x \leq \frac{arctan(y)}{\pi} + 1) \end{eqnarray*}$

Das könntest du so machen, wenn dein $\begin{eqnarray*} x\to \tan(\pi(x-1)) \end{eqnarray*}$ im betrachteten Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ eine streng monoton wachsende Funktion ist. Ist er aber nicht - ganz im Gegenteil: Da ist sogar eine eklige Polstelle bei $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ...

Irgendwie schwant mir der Gedanke, dass du es vielleicht besser mit

$\begin{eqnarray*} Y = \tan\left( \pi\left(x-\frac{1}{2}\right) \right) \end{eqnarray*}$

versuchen solltest - meinst du nicht auch? Augenzwinkern

24.04.2007, 22:25

Mazze

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Zitat:

Irgendwie schwant mir der Gedanke, dass du es vielleicht besser mit

$\begin{eqnarray*} Y = \tan\left( \pi\left(x-\frac{1}{2}\right) \right) \end{eqnarray*}$

versuchen solltest - meinst du nicht auch?

Das dumme ist das die Aufgabe $\begin{eqnarray*} x \to tan(\pi(x-1)) \end{eqnarray*}$ für auf (0,1) gleichverteiltes X ist. Zumindest würde eine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} x \in (0,\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},1) \end{eqnarray*}$ auf den Teilintervallen eine streng monoton wachsende Funktion liefern. Das ergäbe wie oben

$\begin{eqnarray*} P(Y \leq y) = P(x \leq \frac{arctan(y)}{\pi}+1) ~~ x \in (0,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Ist folgendes zu betrachten sinnvoll?

$\begin{eqnarray*} P(Y \leq y) = P(-tan(\pi(x-1)) > -y) ~~ x \in (0,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Weil $\begin{eqnarray*} -tan(\pi(x-1) \end{eqnarray*}$ ja monoton steigend wäre für x aus (0,1/2).

24.04.2007, 22:35

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Die Kiste ist schon ziemlich verfahren, siehe Beispiel $\begin{eqnarray*} y=2.3 \end{eqnarray*}$ in der Skizze:

$\begin{eqnarray*} P(Y \leq 2.3) = P(\tan(\pi(X-1)) \leq 2.3) \stackrel{!!!}{=} P\left( X\leq \frac{\arctan(2.3)}{\pi} \vee X>\frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Und wieder hat die in der Schule ziemlich vernachlässigte Umkehrung der Winkelfunktionen gnadenlos zugeschlagen...

24.04.2007, 23:32

Mazze

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aua , ok muss wohl noch für alle y für die $\begin{eqnarray*} \frac{arctan(y)}{\pi}+1 > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gilt, das Intervall
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2},\frac{arctan(y)}{\pi}) \cap (0,1) ~~ fuer ~~ x \in (\frac{1}{2},1) \end{eqnarray*}$ betrachten, und damit die Verbundwahrscheinlichkeit die da drin steckt. Es wäre ja dann wohl für diesen Fall

$\begin{eqnarray*} P(tan(\pi(x-1)) \leq y) = P(X \leq \frac{arctan(y)}{\pi} \vee X > \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{arctan(y)}{\pi}}1dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1}1dx - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{arctan(y)}{\pi}}1dx \end{eqnarray*}$

Zumindest ist klar das man sich in relativ viele Spezialfälle verstrickt, und ich noch nichtmal annähernd in der Nähe davon bin die eigentliche Dichte von Y zu bestimmen. Jetzt stellt sich mir die Frage ob man auf die Dichte noch über einen anderen Weg kommt?

25.04.2007, 00:26

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Die Umkehrfunktion von

$\begin{eqnarray*} g(x) = \tan(\pi(x-1)),\quad x\in (0,1)\setminus\left\{ \frac{1}{2} \right\} \end{eqnarray*}$ .

ist

$\begin{eqnarray*} g^{-1}(y) = \begin{cases} \frac{\arctan(y)}{\pi} & \;\mbox{für}\; y>0\\[2ex] \frac{\arctan(y)}{\pi}+1 & \;\mbox{für}\; y<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

siehe Skizze.

Nun gilt

$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y\leq y) = \begin{cases} P\left( X \leq g^{-1}(y) \right) + P\left(X>\frac{1}{2}\right) = F_X\left(g^{-1}(y) \right)+1-F_X\left(\frac{1}{2}\right) & \;\mbox{für}\; y>0\\ P\left(\frac{1}{2} < X \leq g^{-1}(y)\right) = F_X\left(g^{-1}(y)\right) - F_X\left(\frac{1}{2}\right) & \;\mbox{für}\; y<0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Nun differenzieren nach Kettenregel

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \frac{\dd}{\dd y} F_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot [g^{-1}]'(y) = [g^{-1}]'(y) \end{eqnarray*}$

letztere Gleichheit natürlich wegen der Gleichverteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . D.h., die ganzen in der Verteilungsfunktion notwendigen "Konstanten" fallen dann bei der Dichte glücklicherweise durch Differenzieren weg.

Trotzdem frage ich mich, warum du dich dieser Ochsentour unterziehst und nicht gleich das elegantere

$\begin{eqnarray*} Y = \tan\left( \pi\left(X-\frac{1}{2}\right) \right) \end{eqnarray*}$

nimmst - erfüllt verteilungsmäßig denselben Zweck.

26.04.2007, 10:25

Mazze

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So ich hab das jetzt endlich verstanden was Du da gemacht hast und jetzt versteh ich auch was Du mit Ochsentour meinst. Da ich aber von vornherein nicht gesehen hab, das für die Dichte für y >0 und y < 0 das gleiche rauskommt bin ich Dir sehr dankbar das Du das so aufgeschlüsselt hast. Freude

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