Tangentengleichung in einem Punkt an Hyperbel ermitteln

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Nels Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentengleichung in einem Punkt an Hyperbel ermitteln
Hallo,

scheint eigentlich ein einfaches Beispiel zu sein, komm trotzdem nicht dahinter unglücklich

"Man ermittle die Gleichungen der Tangenten aus dem Punkt (-1,1) an die Hyperbel xy = 1."

Angeblich funktioniert das lt. anderer Studenten folgendermaßen:

Zuerst die Geradengleichung durch Nullpunktverschiebung nach (-1,1) ermittelt, wobei der Anstieg der Geraden (ich nenne sie a)=Ableitung der Hyperbel, also y=1+a(x+1).

Dann werden die Schnittpunkte berechnet: 1+(x+1)*(1/x)'=1/x, das ergibt x1,2=1+-SQRT(2)

Zuletzt ableiten (Tangentensteigung an den Schnittpunkten): x1,2=-1/(1+-SQRT(2))^2

Tangenten sind daher:
t1=1+(x+1)*(-1/(1+SQRT(2))^2)=1-(x+1)/(1+SQRT(2))^2
t2=1+(x+1)*(-1/(1+SQRT(2))^2)=1-(x+1)/(1+SQRT(2))^2



Das Problem ist nun, dass mir dieser Lösungsweg vollkommen schleierhaft ist. Höre den Begriff "Nullpunktverschiebung" das erste mal. Gibt es denn keinen anderen Weg die Tangenten zu ermittelt, oder könnt ihr mir Tipps geben bzw. evt. Links vorschlagen, welche mir etwas klarheit verschaffen könnten?

Bin euch jedenfalls für Hilfe jeglicher Art schon im Vorhinein dankbar smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs so gelernt:

Sei f(x)=y=1/x die Hyperbellfunktion

- Tangente ist eine Gerade ----> lineare Funktion t(x)=mx+n

- Bestimmung von m=f '(1) ----> Steigung der Tangente an der Stelle x=1

- Bestimmung von n durch Einsetzen des Berührpunktes in t(x)

Gruß Björn
Nels Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Ich habs so gelernt:

Sei f(x)=y=1/x die Hyperbellfunktion

- Tangente ist eine Gerade ----> lineare Funktion t(x)=mx+n

- Bestimmung von m=f '(1) ----> Steigung der Tangente an der Stelle x=1

- Bestimmung von n durch Einsetzen des Berührpunktes in t(x)

Gruß Björn


Ok mal schaun smile

Bitte korrigier mich, falls ich falsch liegen sollte:
Ich benötige also x,y vom Punkt P und die Steigung um die Tangentengleichung ermitteln zu können.
Steigung erhalte ich durch die erste Ableitung der Funktion, sowie nach einsetzen in diese:
f(x)=1/x
f'(x)=-1/x^2
f(1)=-1
Steigung m=-1 an der Stelle x (was ist eigentlich mit y? Oder erklärt sich das dadurch, dass ich hier zwei Tangenten habe, da es sich um eine Hyperbel handelt, ich also mit y die zweite Tangente errechnen muss?)
Berührpunkt:
y=-1x+b
Und was nun? smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast den Berührpunkt P ja schon gegeben, durch den die Tangente verlaufen soll....also (1 | 1)

Setze nun x und y-Koordinate in die Tangentengleichung y=-x+b ein und löse nach b auf.

Ich verstehe nicht ganz wie ihr darauf kommt dass es mehrere Tangenen geben sollte verwirrt

Es ist ja nur ein Berührpunkt gegeben und es kann ja nur eine Tangente durch einen Berührpunkt geben.

Wäre ein Punkt gegeben, der NICHT auf der Hyperbel liegt, dann kann es unter Umständen mehrere Tangenten geben, die durch diesen Punkt verlaufen, aber hier...

Gruß Björn
Nels Auf diesen Beitrag antworten »

Hm aber die Hyperbel verläuft ja nicht durch den Punkt (-1,1), also müsste es doch zwei Tangenten geben, oder?

http://www.informatik-forum.at/attachment.php?attachmentid=10238&d=1177299401
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Oben stand aber (1 | 1) geschockt
 
 
Nels Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Oben stand aber (1 | 1) geschockt


Argh, sorry vertippt. (-1/1) sollte es heißen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut dir sei verziehen smile

In dem Fall wenn der Punkt NICHT auf der Hyperbel liegt habe ich es so gelernt:

- Die Steigung m der Tangente(n) an einer bestimmten Stelle u ergibt sich durch f '(u) ------> (1)

- Eine weitere Steigungsformel für eine Gerade durch zwei Punkte A (a1 | a2) und B (b1 | b2) ist ja ------> (2)

hier:

A(-1 | 1)

B(u | f(u) )

- Durch Gleichsetzen von (1) und (2) erhälst du die in Frage kommenden Stellen u und durch f '(u) erhälst du dann zwei Steigungen m

- Am Schluss dann noch wie oben den Punkt A in die beiden Tangentengleichungen einsetzen, um b zu erhalten

Gruß Björn
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