Stetigkeit der funktion usw.

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Jenny1984 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit der funktion usw.
hi leute, ich beschäftige mich hier mit einer aufgabe und bin mir nicht ganz sicher bei meiner lösung. Deswegen wollte ich euch bitten, meine versuche euch mal anzuschauen.
für die funktion muss ich bestimmen:

ich habe x ausgeklammert, also

1) den größtmöglichen definitionsbereich:

2) die Nullstellen:



3) das verhalten von
f für

also strebt auch gegen
4) das verhalten an den definitionslücken (ggf. einseitige grenzwerte, art der definitionslücken)
hier weiß ich leider nicht genau was ich machen soll
para Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit der funktion usw.
Den Rest hab ich mir noch nicht angesehen, aber du musst auf jeden Fall beachten, dass 0 auch aus dem Definitionsbereich rausfällt, weil der Nenner dann 0 wird (ausgeklammert hast du ja schon).

Damit liegt an den Stellen x=0 und x=-1 jeweils eine Definitionslücke vor, die du untersuchen musst. Ausführlich geht dass, indem für beide Punkte jeweils links- und rechtsseitigen Grenzwert bildest.
Erhältst du dabei plus und minus unendlich, hast du eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Erhältst du beides mal plus bzw. minus, dann eine Polstelle ohne VZW. Ergeben beide Grenzwerte einen Wert ungleich unendlich, und sind diese ungleich, hast du einen endlichen Sprung. Und sind beide Werte gleich, so liegt eine behebbare Def.-Lücke vor.

Da bei x=0 sowohl Zähler als auch Nenner null werden, liegt dort eine behebbare Lücke vor (ist so, wenn beides null wird). Bei x=-1 gibt's 'ne Polstelle (Nenner=0, Zähler ungleich 0).

Beides solltest du dir aber besser noch durch beiderseitige Grenzwerte verdeutlichen. (Wenn vorhanden hilft meist auch, sich das ganze mal im GTR anzuschauen, oder eben hier mit dem Funktionsplotter.)

murray Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit der funktion usw.
Zitat:
Original von para
... Und sind beide Werte gleich, so liegt eine behebbare Def.-Lücke vor...


Glaub ich kaum! Schau mal unter Dirac-Impuls




Die ist mal nicht behebbar! (Behebbar ist sie nur dann wenn N und Z = 0 werden, wie du später auch bei deinem Beispiel sagst, aber diese Aussage hat ne Bedingungen zu wenig)
mfg
para Auf diesen Beitrag antworten »

Ist f(x) an der stelle x nicht definiert, und sind linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert gleich (und ungleich +-unendlich), so ist die Unstetigkeit an dieser Stelle nicht zwingend behebbar?

Sorry, ist schon relativ spät - aber hab' ich das was falsch verstanden? Wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert o.g. Bedingungen erfüllen, warum ist die Stelle dann nicht behebbar?

// edit: Was versteh' ich hier falsch?
Zitat:

Die Funktion besitzt im Punkt eine behebbare Unstetigkeit, falls beide Grenzwerte existieren und gleich sind



und außerdem nicht zum Definitionsbereich von gehört, d.h.

Quelle: http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaM...is/node126.html
Jenny1984 Auf diesen Beitrag antworten »

hey leute, vielen dank für eure tipps, leider komme ich trotzdem nicht weiter. muss ich jetzt mit dem definitonsbereich weiter arbeiten und zwar links und rechts oder was soll ich tun?
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit der funktion usw.
Hallo Jenny,



Zu 1) Definitionsbereich: D(f) = |R \ {-1} ist richtig. Als rationale Funktion ist f auf ganz D stetig (Satz).

Zu 2) f hat zwei Nullstellen, nämlich x=0 und x=3

Zu 3) und

Zu 4) Bei x = -1 hat f einen Pol erster Ordnung. Grenzwert von links ist - unendlich, Grenzwert von rechts + unendlich.

Gruss yeti

Edit: Sorry, kam zu spät. Bei x=-1 hat f einen Pol erster Ordnung und dieser ist nicht hebbar. Ausserdem sind die Grenzwerte ungleich.

Edit 2: Para, du warst schon wieder schneller. Vielleicht schaffe ich es doch noch einmal smile
 
 
murray Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit der funktion usw.
@Para: Ich bin auch kein Definitions-Profi aber ich würde sagen, dass dies nur gilt wenn bei f(x_0) eine Definitionslücke gegeben ist! (Bzw. ich bin mir da ziemlich sicher)! Und darum ists mir ja auch gegangen (Dirac-Impuls ist ja "definiert" für x=0)! Oder die Funktion:




Aber ich glaube wir meinen beide das Gleiche! Und ich bin halt wiedermal ultra pingelig! Hammer
mfg

Edit: @yeti: Danke!(für Post unterhalb) Hab wiedermal was dazugelern!
Jenny1984 Auf diesen Beitrag antworten »

@yetti777
hi, sag mal wie kommst du eigentlich darauf, dass bei 3) minus unedlich rauskommt. Mit meinem rechenweg komme ich auf plus unendlich. Wenn ich ehrlich bin, und es tut mir sehr leid, aber ich habe immer noch bisschen probleme mit 4) bzw. ich weiß nicht genau, wie ich dies zeigen soll.
gruß Jenny
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Jenny,

Zu 3) Für x -> +- unendlich streben sowohl der Zähler, als auch der Nenner gegen unendlich. Du kannst die Regel von de l'Hospital anwenden und erhältst .

Zu 4) Pole sind Nullstellen des Nenners, also x+1 = 0 => x = -1. Die Ordnung des Pols ist gleich der Ordnung der Nullstelle des Nenners.

Konnte ich dir helfen?

Gruss yeti
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

@ murray: Darf man hier mit dem DIRAC-Stoss argumentieren??? Der DIRAC-Stoss ist doch eine nicht-reguläre Distribution und über ein lineares Funktional definiert und so keine Funktion im üblichen Sinn. Siehe Anhang: W. Walter, "Einführung in die Theorie der Distributionen"

Gruss yeti
Jenny1984 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von yeti777
Zu 3) Für x -> +- unendlich streben sowohl der Zähler, als auch der Nenner gegen unendlich. Du kannst die Regel von de l'Hospital anwenden und erhältst .

hey yeti, nochmal vielen dank. Wenn du jetzt aber für x eine 5 einsetzt, bekommst du raus, dass die funktion gegen plus und nicht minur unendlcih strebt oder täusche ich mich da?


Zitat:
Zu 4) Pole sind Nullstellen des Nenners, also x+1 = 0 => x = -1. Die Ordnung des Pols ist gleich der Ordnung der Nullstelle des Nenners.

das ist mir auch klar, vielen dank, aber reicht das denn, um die frage zu beantworten?

MFG Jenny
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Jenny,

Ja, du hast völlig recht. Für x -> +unendlich strebt die Funktion gegen +unendlich und für x -> -unendlich gegen -unendlich. Ich war vielleicht zu knapp, denn ich habe dir nur den Fall x -> -unendlich angegeben.

Bezüglich des Verhaltens der Funktion an der Definitionslücke x = -1 fasse ich noch einmal zusammen: Strebt x von rechts gegen -1, so strebt f gegen +unendlich. Strebt x von links gegen -1, so strebt f gegen -unendlich. Schau dir noch einmal den Graphen an, den para so schön gezeichnet hat.

Gruss yeti
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn 5?? Du sollst doch x gegen -unendlich laufen lassen, also ganz ganz klein. Z.B. x=-1000 oder x=-43135531205612 usw ...

@yeti
Du hast oben gesagt, bei x=0 sei eine Nullstelle vorhanden, stimmt aber nicht, denn die Funktion ist für x=0 nicht definiert!
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler: Ja, ich denke, da habe ich einen Bock geschossen. Weil man die Funktion f im Punkt x=0 stetig fortsetzen kann, habe ich die beiden Funktionen und identifiziert, was eben bis auf den Punkt x=0 nicht stimmt. So sorry unglücklich .

Es gilt also: f hat Definitionslücken bei x=0 und x=-1. Richtig?

Gruss yeti
Jenny1984 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Zu 4) Pole sind Nullstellen des Nenners, also x+1 = 0 => x = -1. Die Ordnung des Pols ist gleich der Ordnung der Nullstelle des Nenners.

hey nochmal, eines verstehe ich immer noch nicht. es reicht nicht, wenn ich bei 4) nur das ergebnis hinschreibe. muss ich jetzt die grenzwerte von und sowie auch und berechnen? wie soll ich das zeigen?
murray Auf diesen Beitrag antworten »

machs so: setzt statt x, x_0+h um von rechts anzunähern
und x_0-h um dich von links anzunähern! Für x_0 setzt dann den Punkt ein ein den untersuchen willst und dann machst:


mfg
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