idempotente Abbildung

25.04.2007, 15:01

martin85

idempotente Abbildung

Hallo,
V ist ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} \phi: V->V \end{eqnarray*}$ eine idempotente lineare Abbildung; $\begin{eqnarray*} \psi = id_V - \phi \end{eqnarray*}$
Ich soll nun folgendes zeigen:
$\begin{eqnarray*} \psi \circ \phi = \phi \circ \psi = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe nun folgendes gemacht, komme da aber nicht weiter.
$\begin{eqnarray*} \psi \circ \phi(v)=((id_V- \phi)\circ \phi)(v)=(id_V-\phi)(\phi(v))= \end{eqnarray*}$
kann mir da jemand weiterhelfen?

25.04.2007, 15:14

therisen

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RE: idempotente Abbildung

Zitat:

Original von martin85
$\begin{eqnarray*} \psi \circ \phi(v)=((id_V- \phi)\circ \phi)(v)=(id_V-\phi)(\phi(v))= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\operatorname{id}_V(\phi(v)) - \phi(\phi(v)) = \dots \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 16:19

martin85

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Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, müsste es dann so gelten:
id_v (v)=v für alle v aus V und $\begin{eqnarray*} \phi^2(v)=\phi(v) \end{eqnarray*}$
Dann müsste der nächste Schritt so aussehen:
$\begin{eqnarray*} ...=\phi(v)-\phi(v)=0 \end{eqnarray*}$
Kann das sein?

25.04.2007, 17:56

therisen

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Ja, genau.

25.04.2007, 18:13

Leopold

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@ martin85

Hattet ihr schon, daß die Endomorphismen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ einen Ring mit Einselement bilden? Falls ja, ist der ganze Aufwand überflüssig. Die Multiplikation im Ring ist die Verkettung der Endomorphismen, das Einselement - ich schreibe einfach 1 dafür - ist die identische Abbildung. Das Nullelement 0 ist die Nullabbildung. Wegen $\begin{eqnarray*} \varphi^2 = \varphi \, \varphi = \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi = 1 - \varphi \end{eqnarray*}$ gilt dann

$\begin{eqnarray*} \psi \, \varphi = (1 - \varphi) \, \varphi = \varphi - \varphi^2 = \varphi - \varphi = 0 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \varphi \, \psi \end{eqnarray*}$ rechnet man ebenso.

Dies soll dir zeigen: Die Natur der Objekte - hier: ein Endomorphismus zu sein - ist für den Beweis gänzlich unerheblich. Lediglich die Ringeigenschaft und die Idempotenz $\begin{eqnarray*} x^2 = x \end{eqnarray*}$ ist wesentlich.

25.04.2007, 20:57

martin85

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@Leopold
Vilen Dank für dein posting. da habe ich mir das unnötig schwer gemacht.
Ich soll jetzt bei der selben Aufgabe zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} im(\phi)=ker(\psi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ker(\phi)=im(\psi) \end{eqnarray*}$
Kann mir da jemand einen Denkansatz geben?

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