lineare Abbildungen

13.12.2004, 11:31

sandra_wien

lineare Abbildungen

hi,

kann mir jemand sagen, ob ich dieses bsp richtig gelöst habe:

f ((x1 x2)) = (2x1+x2 drunter x1+x2)

ergebnis: ja es ist eine lineare gleichung weil am ende der berechnung
( phi (2x1+x2)
phi (x1+x2))

herauskommt!

stimmt das? wenn ja, kann mir jemand ein bsp für eine nicht lineare abbildung geben? wie sieht so etwas aus??? ich habe nämlich 8 bspe die ich auf linear prüfen muss und beweisen bzw. ein gegenbeispiel geben muss.

*lg* Sandra

13.12.2004, 11:34

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sandra,

ich werde aus deiner Funktion nicht schlau.
Vielleicht informierst du dich mal über unseren Formeleditor.

Gruß vom Ben

13.12.2004, 11:52

sandra_wien

Auf diesen Beitrag antworten »

oh...wow, ok

also ich hab folgende angabe:

$\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 3x_1 & +x_2 \\ x_1 & +x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und als ergebnis habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda (2x_1 & +x_2) \\ \lambda (x_1 & +x_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das der beweis, dass es linear ist??

13.12.2004, 12:12

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte mal ganz, ganz langsam:

Du willst zeigen, das was linear ist? (Etwa die Funktion f ?)

Und was verstehst du in diesem Zusammenhang unter Ergebnis ?

13.12.2004, 12:18

sandra_wien

Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss beweisen, dass die funktion f linear ist... und mein ergebnis ist so zu sagen mein fertiger beweis..

13.12.2004, 12:26

N8schichtler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das gar nicht. Wie kommst du denn nur durch die Angabe von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auf dein Ergebnis????

13.12.2004, 12:36

sandra_wien

Auf diesen Beitrag antworten »

mit einer ewig langen zwischenrechnung.... komm ich dann auf diesen beweisende.

13.12.2004, 13:13

sandra_wien

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, fangen wir hier noch ein mal von vorne an!

aufgabe:

welche der folgenden (8) Abbildungen sind linear? Warum? Beweis bzw. Gegenbeispiel!

a)

$\begin{eqnarray*} f (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2x_1 & +x_2 \\ x_1 & +x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.12.2004, 13:22

N8schichtler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, dir wird hier so niemand helfen können.
Denn ganz eindeutig ist
$\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} \lambda (2x_1 & +x_2) \\ \lambda (x_1 & +x_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ falsch!
Erst recht ist
$\begin{eqnarray*} x_1 = \begin{pmatrix} \lambda (2x_1 & +x_2) \\ \lambda (x_1 & +x_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2 = \begin{pmatrix} \lambda (2x_1 & +x_2) \\ \lambda (x_1 & +x_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ falsch.

Ich habe also nicht einmal eine entfernte Ahnung davon, was du gerechnet hast, was $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sein soll, weiß ich auch nicht.

Im Grunde genommen hat dein Ergebnis nichts mit deiner Funktion zu tun.

13.12.2004, 13:24

sandra_wien

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, trotzdem danke...!

schönen tag noch!

13.12.2004, 13:28

N8schichtler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Homegenität und die Additivität deiner Funktion beweisen. Schau einfach in dein Skript, ihr habt es sicher definiert, sowohl lineare Abbildung, als auch Homogenität und Additivität.

13.12.2004, 14:05

sandra_wien

Auf diesen Beitrag antworten »

also wir haben das so aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} f (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2x_1 & + x_2 \\ x_1 & x_2 \end{pmatrix} \Rightarrow f(x+y) = f(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} ) + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} ) = f (\begin{pmatrix} x_1 & + y_1 \\ x_2 & y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(x_1 &+ y_1) & +(x_2 & + y_2 \\ (x_1 & + y_1) & + (x_2 & + y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2x_1 &+ x_2) & +(2y_1 & + y_2 \\ (x_1 & + x_2) & + (y_1 & + y_2 \end{pmatrix} = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$

13.12.2004, 14:23

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du gestattest, ich habe das ganze mal in eine lesbare Form gebracht:

$\begin{eqnarray*} f (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 + x_2 \end{pmatrix} \Rightarrow f(x+y) = f(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} ) = f (\begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 2(x_1 + y_1) +(x_2 + y_2) \\ (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2x_1 + x_2) +(2y_1 + y_2) \\ (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) \end{pmatrix}= f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe stark, dass die diversen Klammern zuviel oder zuwenig nur auf Startschwierigkeiten mit dem LaTeX-Formeleditor, und nicht auf inhaltliche Verständnisschwierigkeiten zurückzuführen sind. Falls doch letzteres zutrifft, dann solltest du dich unbedingt zunächst mal von den Formalismen lösen und versuchen, die Linearität inhaltlich zu begreifen - vielleicht auch durch geometrische Anschauungsbeispiele.

13.12.2004, 14:25

N8schichtler

Auf diesen Beitrag antworten »

Na also, dann habt ihr die Additivität ja schon gezeigt.
Jetzt macht dein Ergebnis auch etwas mehr Sinn, wenn man mal glaubt, dass die "3" aus deiner Funktion eigentlich eine "2" sein soll. Denn dann hast du zumindest schon mal einen sehr guten Zwischenschritt für die Homogenität:
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} f(\lambda\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right))=\lambda f(\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)) \end{eqnarray*}$
Aus deinem "Ergebnis" kannst du doch das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ prima herausziehen. Das war es dann.

edit: Sorry, hatte zwei \ vergessen.

edit: Sorry, bin heute nicht gut drauf. Jetzt stimmt der Latex-Teil endlich.

13.12.2004, 14:47

sandra_wien

Auf diesen Beitrag antworten »

super...dann passts doch *g*

jetzt meine eigentliche frage wie sehe ich, dass es nicht linear ist?

ich hab zum bsp so eine funktion:

$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x_1 & -x_2\\ 0 \\ 3x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.12.2004, 14:49

N8schichtler

Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich sieht es weniger nach Klammern aus, sondern danach,dass sie Zeilenumbrüche haben wollte.

13.12.2004, 14:51

N8schichtler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine Funktion nicht linear ist, dann ist entweder die Homogenität oder die Additivität verletzt. Da du jetzt weißt, was beides ist (ansonsten: nachschauen!), sollte es kein Problem mehr darstellen.

13.12.2004, 15:12

sandra_wien

Auf diesen Beitrag antworten »

also bei folgender angabe:

$\begin{eqnarray*} f = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 3x_2 \\ -2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erhalte ich das:

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} (x_1 + 3x_2) + (y_1 + 3y_2)\\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder, was passiert mit dem 2er??? und was ist, wenn ich statt dem 2er eine null da hätte???

13.12.2004, 15:18

Auf diesen Beitrag antworten »

Sämtliche Funktionen

$\begin{eqnarray*} f(x)= f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \ldots\\ x_n \end{pmatrix} = A\cdot x=\begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n\\ \ldots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sind linear. Umgekehrt besitzt jede lineare Funktion mit Werten im R^m eine solche Darstellung mit einer gewissen Matrix A.

Alles andere ist nichtlinear, z.B. die reellwertigen Funktionen

$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = x_1\cdot x_2 \end{eqnarray*}$ ,

oder auch einfach

$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$ .

13.12.2004, 18:16

sandra_wien

Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt auch wenn ich ganz normale zahlen habe, wie -2

ich meine, wie gehe ich mit diesen zahlen um, ich kann sie ja nicht so behandeln wie 3x ,....oder wenn eine 0 im vektor vorkommt, was ist dann???? trotzdem linear??

13.12.2004, 19:20

N8schichtler

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei mir nicht böse, aber du stellst Fragen, die du nicht stellen solltest. Einersets sollst du beweisen, dass eine gegebene Abbildung linear ist, andererseits weißt du noch nicht einmal, wie man eine Zahl in einen Vektor einsetzt. Das heißt, dass du wirklich sehr große Lücken hast! Das ist nicht böse gemeint, aber dieses Board kann die ganz gewiss nicht schließen. Für 70 Euro würde ich (und einige andere, die vielleicht näher bei dir wohnen) das in einem Monat (90 Minuten je Woche) schaffen oder zumindest sagen können, wie groß deine Lücken sind.

Andererseits frage ich mich, wofür du das überhaupt brauchst. Bitte nicht persönlich nehmen, aber ich drücke es ganz deutlich aus: Du scheinst für einen Mathe-LK (ich vermute, du bist in der 12. Klasse und hast ihn gewählt) nicht besonders geeignet. Wenn du nicht willst, dass dich dein Kurs vollständig abhängt, rate ich dir, dich einfach mit ein paar Mitschülern zum Lernen zusammen zu setzen. Diese können dir sicher sehr gut helfen, zumindest besser als wir hier.

Dennoch eine Antwort auf deine Fragen:

Zitat:

das heißt auch wenn ich ganz normale zahlen habe, wie -2

In deinen Rechnungen steht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für jede beliebige Zahl.

Zitat:

wie gehe ich mit diesen zahlen um, ich kann sie ja nicht so behandeln wie 3x

$\begin{eqnarray*} 3x \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl.

Zitat:

oder wenn eine 0 im vektor vorkommt

In absolut jedem Vektorraum kommt die Null vor.

Zitat:

was ist dann???? trotzdem linear??

Ob eine Abbildung linear ist hat nichts mit den konkreten Zahlen zu tun, die du einsetzt, sondern ist eine Eigenschaft der Abbildung an sich. Es ist sogar vollkommen egal, auf welchem Vektorraum du agierst.

Du siehst, jede einzelne deiner Fragen zeigt wie wenig du eigentlich davon verstehst, was du tust.

19.12.2004, 22:08

RezaSuprema

Auf diesen Beitrag antworten »

lieber N8schichtler sei doch nicht so grob zu ihr...!!
wäre ich das würde ich mich voll demotiviert fühlen Big Laugh

!

aufjedenfall wenn du diese funktionen hast liebe sandra dann wende einfach das Gauß Verfahren an !

Dann bestimmst du den Rang deines homogenen Gleichungssystems und dadraus schließt du was linear oder nicht linear ist !!!!

Gauß Verfahren ist um es in deinen einfachen Worten beschreiben zu müssen eine Zeilenumformung...!!!

Das heißt du kannst eine beliebige Zeile mit einer Konstanten multiplizieren oder dividieren und sie von anderen Zeilen abziehen...!!!
Wenn du am ende keinen Freiheitsgrad bestimmen kannst so sind alle Zeilen und somit deine Vektoren voneinander linear unabhängig !
Solltest du Freiheitsgerade bestimmen können sind einige Zeilen linear abhängig voneinander....

hoffe ich konnte dir bissschen helfen! Tanzen

Neue Frage »

Antworten »

lineare Abbildungen

Verwandte Themen