Doppelpost! Max Volumen Kreiskegel mit Alpha

13.12.2004, 22:17

Gast

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Max Volumen Kreiskegel mit Alpha

Hallo Leute,

also ich habe ne HA zum Freitag(17.12) auf die lautet: Wie groß muss Alpha gewählt werden, damit der Kegel das großmöglichstes Volumen bekommt?

Also ich dachte zuerst 90 ° vom logischem her, aber mein Lehrer meinte da kommt ne total ungerade Zahl raus.

Nachdem ich ins schlaue Buch names Tafelwerk gesehen hatte wurde mir auch nix klarer da bei den Formeln kein Alpha vorhanden ist...

Er hat uns noch 2 Schaubilder gegeben auf dem einem ist der Kreiskegel und auf dem anderen ist ein Kreis(denke die Unterfläche vom Kegel) und eben der radius und der Winkel Alpha.

Hab die Bilder nochmal in Paint gemalt und in den Anhang geworfen.

Hoffe ihr könnt mir bei der Sache helfen.

Ich blick das nicht so ganz.

Danke

14.12.2004, 00:30

riwe

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RE: Max Volumen Kreiskegel mit Alpha
wenn ich das richtig verstehe, ist deine angabe unvollständig;

größtes volumen bei gegebener oberfläche?
der winkel alpha ist üblicherweise der öffnungswinkel des kegels, dort wo du ihn gezeichnet hast, ist er fehl am platz, da sonst kein kegel vorhanden
bitte überprüfe deine angaben
werner

14.12.2004, 09:37

Malevil

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Hallo nochmal,

hab mich jetzt angemeldet.

Also da ist nix unvollständig, ich habe die aufgabe:

Wie groß muss Alpha gewählt sein werden, damit der Kegel das großmöglichste Volumen bekommt.

Die beiden Bilder die ich versucht habe zu zeichnen sind die die der Lehrer uns auch gegeben hat.

Das ist alles...

MfG

14.12.2004, 11:46

riwe

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dann muß dir wer anderer helfen!
da wür nach meiner rechnung rauskommen:
$\begin{eqnarray*} V (\alpha )= \frac{1}{ \tan(\alpha )^{2}} \end{eqnarray*}$
und als lösung
alfa=2Pi

werner

14.12.2004, 12:03

Malevil

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gut, und wie kommst du jetzt darauf?kann ja richtig sein...

danke erstmal.

mfg

14.12.2004, 15:51

riwe

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Zitat:

Original von Malevil
gut, und wie kommst du jetzt darauf?kann ja richtig sein...

danke erstmal.

mfg

weil das kein kegel ist,
da läuft die mantellinie parallel zur grundfläche
werner

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14.12.2004, 16:18

Leopold

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Ich vermute einmal, daß das Folgende gemeint ist:

Aus einem Kreissektor mit Mittelpunktswinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ soll ein Kegelmantel gefaltet werden. Wie ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu wählen, damit der Kegel größtmögliches Volumen hat?

Ich verwende die folgenden Größen

$\begin{eqnarray*} s = \text{Radius des Kreissektors} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = \text{Mittelpunktswinkel des Kreissektors im Bogenmaß} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r = \text{Grundkreisradius des Kegels} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h = \text{Höhe des Kegels} \end{eqnarray*}$

Beim Falten wird der zum Sektor gehörende Bogen zum Umfang des Grundkreises des Kegels, der Radius wird zur Mantellinie. Daher gelten

$\begin{eqnarray*} \alpha s = 2 \pi r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r^2 + h^2 = s^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist hier ein Parameter. Mit der zweiten Beziehung kann man aus der Volumenformel für den Kegel $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ eliminieren. Man erhält $\begin{eqnarray*} V = V(h) \end{eqnarray*}$ .

Handelsübliche Kurvendiskussion liefert das $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , bei dem das Volumen maximal wird. Daraus kann man das zugehörige $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und mit der ersten Beziehung das entsprechende $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ berechnen.

Es ergibt sich übrigens ein überraschend großer Wert für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

14.12.2004, 16:48

Malevil

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hallo,

also erstmal danke.
den ersten teil habe ich verstanden nur zum schluss den nicht.
kannst du mir mal bitte sagen von welcher formel ich am ende die kurvendiskursion machen soll?

von der kreiskegel volumen formel * die höhe?
also

(pi/3*r(hoch2)*h)*h ???

oder wie oder was?

14.12.2004, 16:58

Leopold

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Die Volumenformel heißt doch

$\begin{eqnarray*} V = V(r,h) = \frac{1}{3} \pi r^2 h \end{eqnarray*}$

Wo kommt bei dir das "h mal h" her?

Mit $\begin{eqnarray*} V = V(r,h) \end{eqnarray*}$ deute ich nur an, daß da noch zwei (voneinander abhängige) Variable im Spiel sind, von denen ich eine eliminieren muß.

Jetzt kannst du entweder $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ eliminieren, und zwar über die Beziehung (Satz des Pythagoras am Kreiskegel):

$\begin{eqnarray*} r^2 + h^2 = s^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eliminierst, kommen Wurzeln ins Spiel - das wird ungemütlich! Also eliminierst du besser $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , am besten gleich $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ . Auf den ersten Blick sieht es so aus, als sei damit nichts gewonnen, weil ja eine neue Größe $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ins Spiel kommt. Das täuscht aber, denn $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist eine konstante Größe (ein sogenannter Parameter), weil man über den Kreisradius des Sektors nicht verfügen kann. Du kannst $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ beim späteren Ableiten also auch wie eine Konstante behandeln. So bekommst du also $\begin{eqnarray*} V=V(h) \end{eqnarray*}$ , das heißt: $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist nur noch von der Größe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ abhängig.

14.12.2004, 21:04

Malevil

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jo verstanden.

doch wenn ich die funktion ableite dann muss ich die produktregel anwenden dann bekomm ich für v'= 2sh-s(hoch2).....v''= 1-2s ????

sieht irgendwie falsch aus...

bin wohl zu blöd dazu...

wie macht man eigentlich die ganzen zeichen denn wenn ich das hier schreibe seh ich selbst nicht mehr richtig durch...

mfg

14.12.2004, 21:17

Poff

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Was sind das für 'Probleme', Produktregel und Co
Wenn du die nicht willst multiplizierst eben vorher aus .. :-o

Ich denke aber das Prob scheint wo anders ..
deine Volumenfunktion scheint nicht zu stimmen, oder
deine 'Produkt-Ableitung' ist falsch ??
.

14.12.2004, 21:21

Leopold

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@ Malevil

Schreib einmal dein V(h) hin!

14.12.2004, 21:29

Malevil

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(0.33*pi*s(hoch2)-h(hoch2))*h

falsch?

wo bekommt man diese zeichen her das man das anders schreiben kann.
so wie ihr es macht.

mfg

so v'= (zwei-drittel)*pi*s-3h(hoch2)

v''= -6h

nach meiner bestimmt falschen rechnung!

14.12.2004, 21:36

Leopold

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Die Klammersetzung ist falsch. Die Klammer muß vor dem s beginnen, nicht vor 0,33. Und du solltest 1/3 schreiben, nicht 0,33.

Um Formeln zu erstellen, verwende den Formel-Editor (unten am Eingabefeld klicken). Den Code, der vom Formel-Editor erstellt wird, kopierst du einfach in deinen Text im Eingabefeld hinein, markierst ihn und drückst auf den f(x)-Knopf oben am Eingabefeld.

Für "x hoch 2" mußt du z.B. x^2 schreiben.

14.12.2004, 21:42

Malevil

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$\begin{eqnarray*} V = 1/3*pi (s^2-h^2)*h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V' = 2/3*pi*s-3h^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V''=-6h \end{eqnarray*}$

so falsch?

14.12.2004, 21:46

Leopold

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Die Ableitung stimmt nicht. Du mußt entweder nach der Produktregel ableiten, was hier etwas unbequem wäre, oder erst das $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in die Klammer hineinmultiplizieren und dann ableiten. Und dann hast du noch einen "ganz schlimmen" Fehler gemacht, nämlich $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ so behandelt, als wäre es eine Variable. Aber: $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ ist konstant.

Zum Formeleditor:

"1/3" schreibst du so: \frac{1}{3}
"pi" schreibst du so: \pi

14.12.2004, 21:55

Malevil

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hallo,

also ich werde hier gleich bescheuert.
das heisst also das ich da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\pi*s^2 \end{eqnarray*}$ zu stehen habe ja immer?

man ich zieh das nicht...

14.12.2004, 21:57

Leopold

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Mach dirs für den Moment einfacher: Denk dir einfach, s wäre = 7 und rechnet mit 7 bzw. 7². Und wenn du es dann gerafft hast, rechne mit s bzw. s².

$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{1}{3} \pi \left( 7^2 - h^2 \right) \cdot h = \frac{1}{3} \pi \left( 7^2 h - h^3 \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt leite ab.

14.12.2004, 22:01

Malevil

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jo also wär denn s theoretisch 49 oder nicht?wenn s=7

ich versteh das sonst nicht richtig...tut mir leid aber ich bin dazu zu blöd.

14.12.2004, 22:04

Leopold

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Nicht so viel Selbstmitleid - sondern an die Arbeit!

14.12.2004, 22:05

Poff

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*gg*

wie wärs wenn du das 7^2 einfach mal 'durchschleifen' würdest,
soll doch nur ne 'Eselsbrücke' sein .. :-o
.

14.12.2004, 22:05

Malevil

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\pi*(49h-3h^2) \end{eqnarray*}$

14.12.2004, 22:07

Leopold

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Na also! Und jetzt mit $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 7^2 \end{eqnarray*}$ ! Und schreibe bitte noch $\begin{eqnarray*} V'(h) = \end{eqnarray*}$ davor.

14.12.2004, 22:09

Leopold

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Korrektur! Es muß bei der Ableitung $\begin{eqnarray*} 7^2 \end{eqnarray*}$ heißen, nicht $\begin{eqnarray*} 7^2 h \end{eqnarray*}$ .

@ Poff
Könntest du übernehmen? Ich muß weg. Das Ziel ist ja schon nahe.

14.12.2004, 22:10

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

'Malevil', wieso bleibt das h bei der 49 stehen ??
.

@ Leopold klar, bin ja eh schon 'drin'

14.12.2004, 22:12

Malevil

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$\begin{eqnarray*} V'(h)=\frac{1}{3}*\pi*(2s-3h^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V''(h)=\frac{1}{3}*\pi*(-6h) \end{eqnarray*}$

???

14.12.2004, 22:17

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Malevil, nimm mal dieses Ergebnis berichtige das mit dem 'h'

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\pi*(49h-3h^2) \end{eqnarray*}$

und HERNACH ersetzt 49 durch das entsprechende zurück
.

14.12.2004, 22:22

Malevil

Auf diesen Beitrag antworten »

also nicht 49 h sondern s^2 oder wie?

hääääääääääääääääääääääääää??????????????

ich kann nicht mehr...sry aber mein kopp is gerade nicht fit...

ich muss schlafen morgen weiter....

danke für die viele hilfe und geduld mit mir^^

14.12.2004, 22:29

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{1}{3} \pi \left( 7^2 h - h^3 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{1}{3} \pi \left( 49 h - h^3 \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V'(h) = \frac{1}{3} \pi \left( 49 - 3*h^2 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V'(h) = \frac{1}{3} \pi \left( 7^2 - 3*h^2 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V'(h) = \frac{1}{3} \pi \left( s^2 - 3*h^2 \right) \end{eqnarray*}$
das ist die richtige Ableitung
.

.. die '49' war doch nur 'ne 'Eselsbrücke' die dir helfen sollte die
korrekte Ableitung rauszubekommen ..

leider nicht 'ganz' geglückt

man kann das Ganze auch direkt mit dem a (alpha) durchrechnen,
allerdings wirds dann zumindest dem Schein nach etwas komplizierter

a*s =2*Pi*r
r = a*s/(2*Pi)

V(a) =1/3 * Pi * (a*s/(2*Pi))^2 * h

nun wird noch h durch sqrt(s^2 - r^2) ersetzt, macht

V(a) =1/3 * Pi * (a*s/(2*Pi))^2 * sqrt(s^2 - (a*s/(2*Pi))^2 )
nun werden alle 'überflüssigen konstanten' Faktoren herausgezogen
und eliminiert, es verbleibt

Vv(a) = a^2*sqrt(4*Pi^2 - a^2)

das kann man nun ableiten, oder aber, das geht noch EINFACHER,
das Quadrat der Funktion Vv(a)

das wird zwar 6. Grades aber das stört nicht wirklich .. *g*

15.12.2004, 14:29

Malevil

Auf diesen Beitrag antworten »

so gut bin wieder voll bei der sache.

also ich habe denn $\begin{eqnarray*} a^2*\sqrt(4*\pi^2 - a^2) \end{eqnarray*}$ abgeleitet und bin auf ein ergebnis von 39.5° gekommen.

nehme mal an ich liege schon wieder falsch oder?

und was meinst du mit 6.grades?

mfg

15.12.2004, 16:03

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist falsch ...
und ich denke auch, du solltest bei der ersten Variante bleiben.
(oder hast das gar übersehen dass das 2 verschiedene Wege .. ?)

Diese direkte Variante nur war als 'kleine Anregung' gedacht.
Ich denke nicht, dass du bei all deiner Unsicherheit die du hier an
den Tag legst wirklich in der Lage bist die einzelnen Rechenschritte
bei der 2. Variante (obwohl es elementar einfache Schritte sind)
richtig nachzuvollziehen ... was dein falsches Resultat leider bestätigt.

Andererseits dachte ich schon du seiest damit evtl in der Lage
das Resultat das du über die erste Variante ermitteln würdest
zu verifizieren.

Verfolg also erstmal die ursprüngliche Variante weiter ..

22.05.2009, 12:14

Fini

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das gleiche Problem
Hallo!

Ich habe die Aufgabe bekommen aus einem Kreis einen Teil auszuschneiden (wie bei einer Torte --> ein Stück entfernen) und diesen dann zu einem Kegel zusammenzubauen. Die Frage lautet nun:
Wie hängt der Winkel des Kreisbogens mit dem Volumen des Kegels zusammen.

Ich habe bereits die Höhe, Volumen, Radius, Seitenlänge (konstant) errechnet.

Ich kann mir vorstellen, wie die Funktion aussehen müsste und
kenne auch die Formel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\pi *g*h \end{eqnarray*}$
und bin auf diese

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\pi \left(r\left(1-\frac{\alpha }{360}\right)\right)^{2} *r* \sqrt{\left(1- \left(1-\frac{\alpha}{360} \right)^{2}\right)} \end{eqnarray*}$

(teils auch durch Recherche ähnlicher Beiträge von Mathe Foren) gestoßen.

Kann mir jemand sagen, ob diese Formel stimmen kann???
Ich muss diese in einem Graphen plotten, aber es funtioniert nicht unglücklich

unglücklich

Wer kann mir helfen?

Viele liebe Grüße
Die Fini

22.05.2009, 12:50

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ich habe das gleiche Problem
wenn $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der radius der torte ist, schaut die formel bei mir etwas anders aus, mit dem winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im bogenmaß:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{r^3\pi}{3}(\frac{\alpha}{2\pi})^2\cdot\sqrt{1-(\frac{\alpha}{2\pi})^2} \end{eqnarray*}$

wenn das nur stimmt verwirrt

verwirrt

22.05.2009, 14:27

Fini

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ich habe das gleiche Problem
Das Bild ist genau dasselbe was ich mir überlegt hatte!
Nur,dass die Kurve bei 360Grad eben Null ist...

Aber ich glaube mit der Formel stimmt etwas nicht, da
wenn ich diese im Graph plotte, sie auch negative Werte bekommt.

Sie müsste wie in deiner Zeichnung beim Koordinatenursprung anfangen und
bei 360Grad null werden....

Vielleicht kannst du mir ja erklären welche Formeln ich in die
Ausgangsformel einsetzen muss und wie ich das dann umstelle?!

22.05.2009, 18:57

Fini

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ich habe das gleiche Problem
Ich komm nicht weiter unglücklich

unglücklich

22.05.2009, 19:13

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ich habe das gleiche Problem

Zitat:

Original von Fini
Das Bild ist genau dasselbe was ich mir überlegt hatte!
Nur,dass die Kurve bei 360Grad eben Null ist...

Aber ich glaube mit der Formel stimmt etwas nicht, da
wenn ich diese im Graph plotte, sie auch negative Werte bekommt.

Sie müsste wie in deiner Zeichnung beim Koordinatenursprung anfangen und
bei 360Grad null werden....

Vielleicht kannst du mir ja erklären welche Formeln ich in die
Ausgangsformel einsetzen muss und wie ich das dann umstelle?!

meine liebe fini (josephine ?):
du mußt lesen, was ich hingemalt habe:
der winkel wird bei mir im bogenmaß NICHT in gradmaß verwendet

und da gilt $\begin{eqnarray*} \quad{ }2\pi\equiv 360° \end{eqnarray*}$
also tut "meine" kurve genau das, was du verlangst smile

smile

die von mir verwendete formel habe ich doch hingemalt.

nebenbei nimmt auch die von dir angegebene KEINE negativen werte an, wie
man "blau bist du" entnehmen kann.

22.05.2009, 19:26

Rechenschieber

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast du da auch einen kleinen Denkfehler drin, denn oben schreibst du, V=1/3 Pi G h, was natürlich dann nicht passt.

V=1/3 r² * PI * h oder V=1/3 G * h

Alle nötigen Formeln für den Kegel findest du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kegel_(Geometrie)
(Konstant ist nur die Mantellinie s).

Ich rechne auch gerade mal um, dauert aber etwas.

LGR

22.05.2009, 20:00

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

die formel für das volumen eines kegels ist vollkommen in ordnung mit

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}\cdot g\cdot h \end{eqnarray*}$ smile

smile

mit wie üblich $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ der grundfläche und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ der höhe des kegels

man muß nur $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ richtig berechnen (können) Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ entfernt, wo er recht hat, hat er recht, der rechtenschieber smile

smile

22.05.2009, 20:02

Rechenschieber

Auf diesen Beitrag antworten »

falsch

http://de.wikipedia.org/wiki/Kegel
Da kann ich noch so oft die Linkadresse hier hineinstellen, Wikipedia verlinkt diese Seite nicht richtig.
In der Wiki Suchfunktion
Kegel (Geometrie) eingeben, da sind die Formeln hinterlegt.

Oder bei meinem angegebenen Link innerhalb des Dokumentes auf Kegel(Geometrie) klicken.

LGR

22.05.2009, 20:14

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rechenschieber
falsch

Freude

auch ein huhn findet ein korn.
wo du recht hast, hast du recht! smile

smile

danke für den hinweis, ich habe es oben korrigiert

also dieses verwerfliche $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ entfernt, das nichts am ergebnis ändert.

wie mein verehrter lehrer prof. pietschmann (zu jemand anderem) sagte:
"... vergessen sie doch um gottes willen und endlich dieses verdammte
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi i} \end{eqnarray*}$ ....."

was er wohl damit meinte ... verwirrt

verwirrt

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