stetige Funktionen mit Eigenschaft... |
| 14.12.2004, 15:22 | Viola | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| stetige Funktionen mit Eigenschaft... |
||||
| 14.12.2004, 15:53 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktionen mit Eigenschaft... Eine Frage: Ist dir die Cauchysche Funktionalgleichung, d.h., g(x+y)=g(x)+g(y), g stetig, ein Begriff? Falls ja, so kannst du deine Gleichung leicht in diese überführen. |
||||
| 14.12.2004, 15:55 | viola | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktionen mit Eigenschaft... Hab sie schon dahin überführt, allerdings noch nie was von dieser gehört und kann auch nicht so wirklich etwas damit anfangen... |
||||
| 14.12.2004, 15:56 | viola | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktionen mit Eigenschaft... hab mich eben verlesen, hab was sehr ähnliches raus ( g(xy)=g(x)+g(y) ) |
||||
| 14.12.2004, 16:00 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktionen mit Eigenschaft... Naja, jede stetige Lösung der Gleichung g(x+y)=g(x)+g(y) besitzt die Gestalt g(x)=C*x, dabei gilt für den Parameter C die Beziehung C=g(1). [Der Beweis geht über die natürlichen, ganzen, rationalen und schließlich die reellen Zahlen (bei letzteren brauch man dann auch die Stetigkeitsvoraussetzung.] Das sollte weiterhelfen bei der Konstruktion der Lösungen f. |
||||
| 14.12.2004, 16:04 | viola | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Heißt es wirklich g(x+y) und nicht g(xy)? Dann weiß ich gar nicht erst, wie man darauf kommt! |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 14.12.2004, 16:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für positive x,y und h(xy)=h(x)+h(y) gilt Somit wird durch auch h in die Cauchysche Funktionalgleichung überführt, allerdings wegen e^x>0 nur für positive Argumente. Für 0 und die negativen Argumente ist noch eine Zusatzüberlegung nötig... |
||||
| 14.12.2004, 18:48 | sun | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn man doch nun aber die beiden formen ineinander überführen kann, müsste doch g(xy)=g(x+y) gelten, oder? wenn nun x=1 und y=2 und g(a)=a*a gilt, so ergibt sich doch aber 4=9? |
||||
| 14.12.2004, 18:49 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: stetige Funktionen mit Eigenschaft...
Ich probier einfach mal formal ohne weitere Beachtung von Stetigkeitsbedingungen usw., also rein formal: Für y=0 erhält man f(0) = x*f(0) + 0*f(y), d.h. f(0) = 0 Für y=1 erhält man f(x) = x*f(1) + f(x), d.h. f(1) = 0 Für y=x erhält man f(x²) = 2*x*f(x) Für y=1/x erhält man f(1) = x*f(1/x) + 1/x*f(x) = 0 wegen f(1)=0 Weiter komme ich so erstmal nicht. Nun will ich mal völlig unbedarft differenzieren, um zu sehen, was dabei rauskommt: Erstens nach x: df(xy)/dx=df(z)/dz*dz/dx = y*df(z)/z mit z=x*y für die linke Seite, also y*df(z)/dz = f(y)+y*df(x)/dx Zweitens nach y: df(xy)/dy=df(z)/dz*dz/dy = x*df(z)/dz, also ebenso x*df(z)/dz = x*df(y)/dy+f(x) Somit df(z)/dz = 1/y*f(y)+df(x)/dx = df(y)/dy+1/x*f(x) aus beiden Gleichungen, und nach Trennung der Variablen folgt df(x)/dx-1/x*f(x) = df(y)/dy-1/y*f(y) Hier sind rechte und linke Seite der Gleichung von unterschiedlichen Variablen abhängig und gleich, und das geht nur, wenn sie gleich einer gemeinsamen Konstanten sind, z.B. k, also folgt df(x)/dx-1/x*f(x)=k als Differentialgleichung für f(x) oder f' - f/x = k mit der Lösung f(x) = k*x*ln(C*x) nach einer längeren Rechnung, mit C=1 nach Einsetzen in die Gleichung der Aufgabenstellung, somit f(x) = k*x*ln(x). Probe: f(0)=0 und f(1)=0 und f(x²)=kx²ln(x²)=2kx²ln(x)=2x*kxln(x)=2x*f(x), passt somit. Nun müssen noch der Gültigkeitsbereich übergeprüft sowie die Gültigkeitsbedingungen usw. formuliert werden, das überlasse ich den Mathematikern hier. |
||||
| 14.12.2004, 19:08 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktionen mit Eigenschaft... @viola: OK, ich fass mal meine bisherigen Argumente zusammen: Für von Null verschiedene x,y gilt f(xy)/(xy) = f(x)/x + f(y)/y also h(xy)=h(x)+h(y), wenn man h(x)=f(x)/x setzt. Über g(t)=h(e^t) erhalten wir über die Lösung g(t)=C*t der Cauchyschen Funktionalgleichung schließlich h(x)=C*ln(x) für alle positiven x. Für die negativen x beachte man die notwendige Gültigkeit von h(x²)=h(x)+h(x)=h(-x)+h(-x). Ich stoppe mal an der Stelle, du willst ja auch noch was zu tun haben. EDIT: Falls du nur an den Lösungen, nicht aber am Nachweis von deren Eindeutigkeit interessiert bist: Dabei ist C ein frei wählbarer reeller Parameter. |
||||
| 14.12.2004, 19:18 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktionen mit Eigenschaft... @etzwane Deine Heuristik ist prima geeignet, um Lösungen der Funktionalgleichung zu finden. Leider versagt diese Methode beim Nachweis, dass es keine anderen (z.B. stetigen, aber nicht-differenzierbaren) Lösungen gibt. |
||||
| 14.12.2004, 19:50 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Arthur Dent es ist schon so, dass ich nicht denke wie ein Mathematiker, sondern mehr wie ein Ingenieur. Ich gehe halt gerne die Aufgaben auf direktem Wege an und freue mich, wenn ich mit meinen Kenntnissen überhaupt ein Ergebnis erhalte, das die Probe erfüllt. Und jetzt will ich mal schauen, ob ich was über die Cauchysche Funktionalgleichung finde, ich lerne ja auch gerne dazu. |
||||
| 14.12.2004, 20:06 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@etzwane Ich habe wirklich nichts gegen pragmatisches Vorgehen, um zu Lösungen zu gelangen. Es ist sicher befremdlicher, wenn ein Mathematiker zeigt "es gibt eine Lösung", aber keine Ahnung hat, wie diese aussieht... 
Als Mathematiker ist aber natürlich beides anzustreben: Lösungsermittlung und Nachweis, dass keine mögliche andere Lösung "vergessen" wurde. |
||||
| 14.12.2004, 20:24 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Existenz von Lösungen siehe diesen Beitrag.
|
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
