Tschebyscheff Polynom

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goldnerbagger Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyscheff Polynom
Man soll das Polynom nach Tschebyscheff 1. und 2. Art entwickeln und sie dann mit Clenshaw-Algorithmus auswerten. Wie man Clenshaw anwendet ist mir klar. Aber leider nicht die Umwandlung des Polynoms. Vielen Dank
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom
Frage: Ist die erste Potenz vielleicht eigentlich eine 4?

was heißt entwickeln nach Tschebysdcheff? Doch dass du die Koeffizienten für



bestimmen sollst, oder? Und warum ist diese Darstellung eindeutig möglich? Augenzwinkern
goldnerbagger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom
Alles klar. danke
Nexperty Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom
Hallo Tigerbine,
ich habe diese Aufgabe auch gerechnet. Ich bin dabei so vorgegangen, dass ich die höchste Potenz von p(x) mit der höchsten Potenz von T4(x) verglichen habe. Das gibt c4 = 48 / 8 = 6. Dann habe ich 6*T4 = 6*(8x^4-8x^2+1) von p(x) abgezogen. Das habe ich auch für T3, T2, T1 und T0 gemacht. Das Ergebnis ist dann nach meiner Rechnung: q(x) = 6T4 - 4T3 + 6T2 - 2T1. Stimmt das?

Mein Problem: ich muss das in eine c++ funktion programmieren (aber keine Ahnung wie)
Hast du eine Idee?
vielen Dank von Ney
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom
Also gegeben war hier :



In seiner Darstellung bzgl. der Monom Basis . In der aufgabe ist nun nichts anderes gefordest, als seine Darstellung bezgl. der orthogonalen Basis der Tschebyscheffpolynome zu bestimmen.












Wenn wir es nun mal rein aus der Sicht der linearen Algebra betrachten, wäre hier die Matrix des Basiswechsels aufzustellen. Dann bekommt man



Den konkreten Fall muss ich erst noch nachrechnen. Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Besser spät als nie.
Dein Ergebnisse sind korrekt. Man kann sie auch schematisch mit dem von mir angesprochenen Basiswechsel berechen. Hier wird es aufgrund der handzahmen Gestalt der Matrix noch recht einfach gehen. Allgemein wird der Knackpunkt dieser Methode darin liegen, dass man die inverse einer Matrix berechnen muss.

Wie ging das noch einmal mit dem Basiswechsel? Die Matrix S lautet hier dann wie folgt:




Ihre Inverse T lautet:




Der Koeffizientenvektor a der Monom-Darstellung lautet:




Somit erhält man den Koeffizientenvektor b der Tschebyscheff-Darstellung durch Berechnung von Ta:




Und es gilt:

 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Auswertung mittels Clenshaw-Algorithmus
Das Polynom besitzt also die folgende Darstellung bzgl. der Tschebyscheff-Polynome:




Wie kann man das Polynom nun effizient an einer Stelle auswerten? In der Monom-Darstellung wurde das Horner-Schema verwendet. Angleichung der Bezeichnungen. Gesucht ist

.


Clenshaw-Algorithmus






for i=2 to n-1



end





Für diese Aufgabe, ausgewertet für











cil Auf diesen Beitrag antworten »



müßte das denn nicht auch noch nen Faktor 2 enthalten?



Ansonsten war das hier ne SEHR GROSSE HILFE
THX
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ist schon so lange her... Wollen wir mal sehen

Zitat:




Da steht doch gar keine zwei.... verwirrt Auch kannst du das Ergebnis mal überprüfen in dem du x=1 in die Monom-Darstellung einsetzt.

Zitat:


freut mich aber, dass der Thread dir nützlich sein konnte.
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