Übersicht Abstände

26.04.2007, 10:02

Fire99

Auf diesen Beitrag antworten »

Übersicht Abstände

Hallo !!!
Hat jemand vieleicht eine schöne Formelübersicht zu den "einfachen " und schnellen Abstandsformeln, d.h. die das Vektorprodukt enthalten. z.B. Abstand windschiefe Geraden oder Abstand Punkt-Gerade. Hab meine Übersicht verlegt und brauch dringend eine Neue. Danke schonmal.

LG Flo

26.04.2007, 10:08

Tjamke

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist zwar ohne das Kreuzprodukt aber schnell ist die trotzdem Augenzwinkern

Augenzwinkern

Abstand Punkt-Gerade:

$\begin{eqnarray*} d(Q;g)=\mid(\vec{q}-\vec{p}*\frac{\vec{n}}{\mid\vec{n}\mid})\mid \end{eqnarray*}$

26.04.2007, 10:25

Fire99

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal Danke, aber die such ich nicht, da gibt es eine andere. Also ich glaub Abstand windschiefer geraden läuft so:

$\begin{eqnarray*} d(g,h)= \frac{\begin{pmatrix} g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \end{pmatrix}\infty \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

wobei die Punkt A zu g und Punkt B zu h gehört. Kann das richtig sein ???

26.04.2007, 10:32

Tjamke

Auf diesen Beitrag antworten »

für windschiefe Gerdae nhab ich ja auch nicht angegeben...aber die kenn ich ehrlich gesagt auch nicht...
Ich berechnen den Abstand windschiefer Geraden so:

$\begin{eqnarray*} d(g;h)=\frac{\mid(\vec{A}-\vec{B})*\vec{n}\mid}{\mid\vec{n}\mid} \end{eqnarray*}$

wobei n= die Normale auf den beiden Richtugnsvektoren ist und A der Stützvekor von g und B der Stützvektor zu h...

26.04.2007, 10:37

Fire99

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte meine ganzen Materialien dazu wohl mal aufheben sollen. Eine Frage hätt ich noch. Wie kann man über das Vektorprodukt den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden berechnen. Wenn man das Vektorprodukt aus Geradenrichtung und der Strecke Punkt (nicht auf der Geraden) und Punkt (auf der Geraden) halbiert, kommt doch die Dreiecksfläche raus. Daraus müsste man doch eine Formel zur Berechnung der Höhe herleiten können, womit man den Abstand zwischen Punkt und Gerade hätte. Wie geht das ???

26.04.2007, 10:43

Tjamke

Auf diesen Beitrag antworten »

Momment! Eine Frage, du weißt schon, das beim Vektorprodukt ein Normalenvektor raus kommt, der wenn du ihn halbierst bzw mit dem Faktor 2 multiplizierst einfach ein vielfaches des Normalenvektors ergibt...oder?

Anzeige

26.04.2007, 10:49

David_pb

Auf diesen Beitrag antworten »

Glaub er verwechselt das Kreuzprodukt mit dem Punkt- (äh... Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Skalarprodukt!

26.04.2007, 10:53

Fire99

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mein natürlich nicht das reine Vektorprodukt, sondern:

$\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\mid \end{eqnarray*}$

Diese Formel beschreibt doch die Fläche eines Paralellogramms. Wenn man diese Gleichung durch 2 dividiert erhält man die Fläche eines Dreiecks und daraus sollte man doch eine Formel für die Höhe basteln können, oder ???

26.04.2007, 10:57

Tjamke

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, mit dem Vektorprodukt erhälst du denjenigen Vektor, der auf den verwendeten Vektoren senkrecht steht. Berechnest du jetzt (wie in deinem vorigen Beitrag geschrieben) den Betrag, erhälst du nichts anderes, als die Länge des Normalenvektors...

26.04.2007, 11:06

David_pb

Auf diesen Beitrag antworten »

Glaub ich weiß was du meinst:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{|(\vec{q}-\vec{p}) \times \vec{u}|}{|\vec{u}|} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \vec{q}=\overline{0Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{p}=\overline{0P} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ der Richtungsvektor der Geraden.

26.04.2007, 11:06

Fire99

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das ist nicht korrekt. Hier ist der Beweis.

C:\Dokumente und Einstellungen\Flo\Desktop\Beweis.jpg

Daraus geht eindeutig hervor, das der Betrag eines Vektorproduktes zweier linear unabhängiger Vektoren den Flächeninhalt eines Paralellogramms beschreibt. Wie berechne ich nun die Höhe ???

26.04.2007, 11:09

Fire99

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau das ist es. Danke David Pb. Vielen Dank.

26.04.2007, 11:15

Tjamke

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, aber ich hätte gedacht, dass ich um die Fläche eines Parallelogramm zu beschreiben das rechnen müsste:

$\begin{eqnarray*} A=\mid\vec{u}\mid*\mid\vec{v}\mid \end{eqnarray*}$

26.04.2007, 11:48

David_pb

Auf diesen Beitrag antworten »

Jep, richtig. Aber es geht auch per: $\begin{eqnarray*} A=a \cdot b \cdot \sin \alpha \end{eqnarray*}$ .

Das Kreuzprodukt im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist so definiert:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \alpha \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$ .

D.h. der Betrag hiervon entspricht dem Parallelogramm das durch die Vektoren a und b und den Winkel alpha zwischen a und b gebildet wird. smile

smile

26.04.2007, 12:51

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von David_pb
Jep, richtig. Aber es geht auch per: $\begin{eqnarray*} A=a \cdot b \cdot \sin \alpha \end{eqnarray*}$ .

Das Kreuzprodukt im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist so definiert:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \alpha \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$ .

D.h. der Betrag hiervon entspricht dem Parallelogramm das durch die Vektoren a und b und den Winkel alpha zwischen a und b gebildet wird. smile

smile

das ist eine neue definition Big Laugh

Big Laugh

was ist denn da $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

diesen vektor solltest du zumindest zuerst definieren,
am besten über das kreuzprodukt Big Laugh

Big Laugh

(spaß)
werner

26.04.2007, 12:55

David_pb

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm? $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ is der normierte Vektor der orthogonal zu a und b is. War zumindest meine Meinung! :-P

26.04.2007, 13:05

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

das stimmt schon,
aber da definierst du im kreise.
werner

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »