Binomialkoeffizient & Pascalsches Dreieck

14.12.2004, 17:35	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizient & Pascalsches Dreieck Hallo! Kann mir jemand den zusammenhang von binomialkoeffizienten und dem pascalschen dreieck erklären? oder wo ich infos herbekommen kann?? Danke, wär echt super!!!
14.12.2004, 17:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für ein erstes Warmwerden.
16.12.2004, 14:52	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leopold! Jetzt versteh ich erst richtig warum da ein pascalsches dreieck drinsteckt. Muss darüber fachreferat halten, und im Mathebuch steht so gut wie nichts, oder nur so damit ichs nicht versteh........ ja, wie gesagt, wie gehts weiter? gruß cleo
20.12.2004, 19:33	N8schichtler	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, das siehst du doch: In jeder Zeile nimmt der Exponent von x von links nach rechts ab, der von y zu. Die Zahlen davor sind die so genannten Binomialkoeffizienten. Und die Binomialkoeffizienten sind eben die Einträge im Pascal'schen Dreieck. Falls du auch noch $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ kennst: Das ist der Binomialkoeffizient, den du in der k-ten Spalte der n-ten Zeile (beide fangen bei Null an!) im Pascal'schen Dreieck findest. Damit lässt sich also kurz schreiben: $\begin{eqnarray} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \end{eqnarray}$ Außerdem gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n \end{eqnarray}$ (also die Summe einer Zeile im Dreieck) - auch sehr interessant.
05.06.2005, 13:06	Gast 1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso kann ich sagen dass das 2^{n} ist... versteh das nicht und wie würde es lauten wenn die Aufgabe gleich aufgestellt ist nur k=2 zum Beispiel??? Wäre sehr dankbar für eine Antwort
05.06.2005, 16:32	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie N8schichtler schon geschrieben hat gilt: $\begin{eqnarray} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \end{eqnarray}$ Das kannst du mit vollst. Induktion beweisen. Setze a=1 und b=1 und schon bist du fertig. Gruß Anirahtak
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05.06.2005, 17:08	Gast 1	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, es kam mittlerweile auch in meinem HIrn an... und wenn k=2 wäre dürfte ich dann für a und b erst werte ab 3 einsetzen?
05.06.2005, 17:20	N8schichtler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du verstehst die Formel nicht richtig: $\begin{eqnarray} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}$ kennst du schon (die Koeffizienten sind also $\begin{eqnarray} 1;2;1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+2+1=4=2^2 \end{eqnarray}$ ) Wenn du das Spiel weitertreibst erhältst du $\begin{eqnarray} (a+b)^3=a^3+3a^2b+3b^2a+b^3 \end{eqnarray}$ (Koeffizienten: $\begin{eqnarray} 1;3;3;1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+3+3+1=8=2^3 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4a^3+b^4 \end{eqnarray}$ (Koeffizienten: $\begin{eqnarray} 1;4;6;4;1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+4+6+4+1=16=2^4 \end{eqnarray}$ ) genauso: $\begin{eqnarray} (a+b)^1=a+b \end{eqnarray}$ (Koeffizienten: $\begin{eqnarray} 1;1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+1=2=2^1 \end{eqnarray}$ ) Hierfür benutzt du also $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ gar nicht.
05.06.2005, 17:44	Gast 1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal drüber nach, danke auf jeden fall, hoffe ich raffs irgendwann ich steh heut irgendwie total auf dem Schlauch

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