Radarschirm (mehrdim Zv'en)

26.04.2007, 20:39

kingskid

Radarschirm (mehrdim Zv'en)

Hallo,
hab mal wieder ein paar Fragen:

ein Objekt erscheint auf einem kreisförmigen Radarschirm K mit Radius r=1 als leuchtender Punkt mit den Koordinaten X und Y. Der Zufallsvektor (X,Y) wird als gleichverteilt in K angenommen.

Wie kann ich nun die Marginaldichten und die Verteilungen von X und Y berechnen? Brauch ich dazu die gemeinsame Verteilung von X und Y?

Gleichverteilung hat ja die Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{b-a} 1_{(a,b]}(x) \end{eqnarray*}$ aber wie ist das im mehrdimensionalen...?

26.04.2007, 21:09

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Auch so, nur mit Fläche statt Intervall:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{1}{\lambda(K)} \cdot 1_K(x,y) \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die Fläche der Kreisscheibe $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

26.04.2007, 21:37

kingskid

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ahso danke, d.h. $\begin{eqnarray*} \lambda(K) = \pi \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{1}{\pi} 1_{K}(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

...hm, irgendwie komisch, ist dann die erste Marginaldichte das hier:

$\begin{eqnarray*} f_X(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(u_1,u_2) du_2 \end{eqnarray*}$ ?

muss ich dann von -1 bis 1 integrieren??

26.04.2007, 21:40

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Zitat:

Original von kingskid
...hm, irgendwie komisch, ist dann die erste Marginaldichte das hier:

$\begin{eqnarray*} f_X(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(u_1,u_2) du_2 \end{eqnarray*}$ ?

Ja, ist richtig. Bei der konkreten Berechnung dann ist natürlich nur das Intervall interessant, wo die Dichte ungleich Null ist, was hier ja dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ heißt.

26.04.2007, 22:06

kingskid

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das versteh ich nicht, was heißt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ ? weil wie bekomm ich einen kreis als intervall...?

26.04.2007, 22:07

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Das ist der Konstantwert, über den integriert wird...

Manchmal denke ich, du verstehst alles absichtlich falsch. Denk doch mal mit!

EDIT: Alles schon mal dagewesen - lies es dir selbst durch:

Gleichverteilung auf dem Einheitskreis

26.04.2007, 22:58

kingskid

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danke für den link, das ist gut.
Gilt dann für die Verteilung folgendes:
$\begin{eqnarray*} P(X \leq x) = \frac{2}{\pi} \int_{-\infty}^{x} (\sqrt{1-u_1^2}) du_1 \end{eqnarray*}$ ?`nur komm ich damit nicht weiter...

26.04.2007, 22:59

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Das ist falsch. unglücklich

27.04.2007, 13:37

kingskid

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also irgendwie weiß ich nicht was ich noch rechnen soll, die Verteilungen sind doch immer durch die Dichte definiert...?

27.04.2007, 13:43

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Na setzen wir mal ein: $\begin{eqnarray*} u_1=-2 \end{eqnarray*}$ in die vermeintliche Dichte

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-u_1^2} = \sqrt{1-(-2)^2} = \sqrt{-3} = \sqrt{3}\cdot i \end{eqnarray*}$

Eine komplexwertige Dichte? Was soll denn das sein?

27.04.2007, 14:03

kingskid

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ja, hast mich schon überzeugt dass es keinen sinn macht.

als marginaldichte hab ich das wie in dem andren thread für |x|<1 gerechnet:

$\begin{eqnarray*} f_X(x) = \frac{2}{\pi} (\sqrt{1-x^2}) \end{eqnarray*}$

aber mir ist der Unterschied ist zwischen den Marginaldichten von X und Y und den Verteilungen von X und Y nicht klar...?

in unsrem Skript steht, dass $\begin{eqnarray*} P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{\infty} f(u_1,u_2) du_2 du_1 \end{eqnarray*}$ gilt, wobei das innere Integral ja die erste Marginaldichte ist. deshalb hab ich das nochmal eingesetzt verwirrt

... und dann kam die komplexe dichte raus... verwirrt

27.04.2007, 14:10

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Das "für |x|<1" ist aber entscheidend: Da kannst doch nicht unkritisch denselben Ausdruck in ein Integral eínsetzen, dessen untere Grenze $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ist ...

Das hat einfach was mit nötiger Sorgfalt zu tun.

27.04.2007, 15:31

kingskid

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ja ist das dann überhaupt der richtige Weg, mit Beachtung von |x|< 1, oder wie können wir die Verteilung angeben?

27.04.2007, 15:48

Leopold

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Daß die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ - oder so ähnlich - integrieren, liegt doch nur daran, daß sie so die Formeln ihrer Theorie hübscher schreiben können. Dafür stecken sie das Häßliche in die Definition ihrer Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ (das fällt nur nicht auf, solange man keine praktischen Beispiele rechnet). Scheinbar rechnen sie also immer über dem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit der Sigma-Algebra der Borelmengen, weil sie die Dichte einfach auf dem Teil, der sie nicht interessiert, zu 0 erklären. Wenn man sich das genauer ansieht und den Wahrscheinlichkeitsraum auf das zusammenzieht, was er wirklich ist (wo also eine "echte Dichte" vorliegt), dann erkennt man, daß mal dieses, mal jenes Intervall als Wahrscheinlichkeitsraum zugrunde liegt. Und hier kannst du statt $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ dir einfach $\begin{eqnarray*} \Omega = [-1,1] \end{eqnarray*}$ denken. Denn außerhalb dieses Intervalls ist die Dichte ja 0 und nicht durch eine andere Formel definiert.

27.04.2007, 16:08

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Zitat:

Original von Leopold
Daß die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ - oder so ähnlich - integrieren, liegt doch nur daran, daß sie so die Formeln ihrer Theorie hübscher schreiben können. Dafür stecken sie das Häßliche in die Definition ihrer Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ (das fällt nur nicht auf, solange man keine praktischen Beispiele rechnet). Scheinbar rechnen sie also immer über dem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit der Sigma-Algebra der Borelmengen, weil sie die Dichte einfach auf dem Teil, der sie nicht interessiert, zu 0 erklären. Wenn man sich das genauer ansieht und den Wahrscheinlichkeitsraum auf das zusammenzieht, was er wirklich ist (wo also eine "echte Dichte" vorliegt), dann erkennt man, daß mal dieses, mal jenes Intervall als Wahrscheinlichkeitsraum zugrunde liegt. Und hier kannst du statt $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ dir einfach $\begin{eqnarray*} \Omega = [-1,1] \end{eqnarray*}$ denken. Denn außerhalb dieses Intervalls ist die Dichte ja 0 und nicht durch eine andere Formel definiert.

Was haben dir eigentlich die Stochastiker getan, dass du sie immer wie Aussätzige behandelst. böse

27.04.2007, 16:10

kingskid

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hm gut dann hab ich das intervall, aber ich weiß immernoch nicht was ich jetzt konkret berechnen soll weil die eine integralgrenze ist doch variabel...?

27.04.2007, 16:14

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Was haben dir eigentlich die Stochastiker getan, dass du sie immer wie Aussätzige behandelst. böse

Provokation hat geklappt - Kandidat hat angebissen! Big Laugh

27.04.2007, 16:39

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Hat er. Und wenn du deine Genugtuung genug ausgekostet hast, kannst du dich ja bitte den Fragen von kingskid widmen. Wink

27.04.2007, 18:38

Leopold

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Einverstanden. Ein elementarer Zugang.

Bei einer zweidimensionalen Gleichverteilung geht es doch um nichts anderes, als eine Teilfläche zur Gesamtfläche ins Verhältnis zu setzen.

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{\mbox{Flächeninhalt von} \ A}{\mbox{Flächeninhalt gesamt}} \end{eqnarray*}$

Diejenigen Punkte $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ des Einheitskreises, für die $\begin{eqnarray*} X \leq x \end{eqnarray*}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray*} -1 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist, bilden aber gerade die rote Fläche.

Wenn man den Winkel $\begin{eqnarray*} t, \, 0 \leq t \leq \pi, \end{eqnarray*}$ im Bogenmaß mißt, so entspricht diese Maßzahl genau der blau umrandeten Sektorfläche. In der Zeichnung gelten

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos{t} = x \ \ \Leftrightarrow \ \ t = \arccos{x} \end{eqnarray*}$ (vorzeichengerecht)

Folglich ist

$\begin{eqnarray*} P(X \leq x) = \frac{\pi - t + xy}{\pi} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ negativ ist, ist $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ auch negativ, die Dreiecksfläche wird dann subtrahiert, ganz wie es von der Anschauung her sein muß.

Und schließlich wird für $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit als 0, für $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ als 1 festgelegt.

27.04.2007, 18:49

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Die zwei Stunden zum Malen haben sich wirklich gelohnt - schönes Bild. Freude

Trotzdem finde ich das obige besserwisserische Ablehnen der Definition einer Dichte auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für äußerst kurzsichtig - Beispiel:

Seien $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ zwei unabhängig, identisch gleichverteilte Zufallsgrößen auf $\begin{eqnarray*} W=[0,1]\cup [2,4] \end{eqnarray*}$ , d.h. mit

$\begin{eqnarray*} f_X(t) = f_Y(t) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in W \end{eqnarray*}$ .

Wirklich hübsch anzusehen, wie man sich nicht mit Nullen rumschlagen muss - man definiert die Dichten einfach gar nicht dort, wo die Zufallsgröße "eigentlich" keine Werte hat. Bravo!

Dumm nur, wie man dann passend den Ansatz z.B. für Faltungsdichte von $\begin{eqnarray*} X+Y \end{eqnarray*}$ schreibt? Jedenfalls nicht

$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f_X(t)f_Y(z-t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ ,

sondern gemäß Leopolds Diktion der "echten" Dichten als zerstückeltes Sammelsurium von Integralen über diverse Intervalle...

EDIT (Nachtrag nach 1½ ;Monaten):

Der Kandidat Oberlehrer hat keine Erwiderungen zu diesen Argumenten, ignoriert sie? "Nichts anderes habe ich erwartet." (um mal seinen Freund Poff zu zitieren)

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