Tangentengleichungen |
| 15.12.2004, 09:05 | sandymaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Tangentengleichungen ich bin schon etwas länger aus der Schule raus, hab aber, da ich in der Schule in Mathe immer gut bis sehr gut war, meinem Freund versprochen ihm bei seinen Hausaufgaben zu helfen. Da ich allerdings, seine Unterlagen nicht einsehen kann (ich helfe ihm per E-Mail bzw. Telefon) kann ich mich leider nicht mehr so genau dran erinnern, wie man diese Aufgaben bearbeitet, vielleicht könnt Ihr mir helfen. Das wär super lieb. Also, die Aufgaben sind folgende: Zwei Tangenten berühren den Kreis in den Punkten A bzw. B. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangenten. x² + y² = 100, A ( - 8 | yA ) B ( 6 | yB ) mit yA > 0 und yB > 0 Ich mein, die Punkte yA und yB kriek ich auch noch berrechnet, aber dann hörts bei mir auf. Wie berechne ich denn die Schnittpunkte der Tangenten? nächste Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten an den Kreis, die durch den Punkt P gehen. x² + y² = 10 , P ( 4 | - 2 ) Ich denke, mein Problem ist rauszukriegen, wie die Tangentengleichung lautet, denn wenn ich die habe, kann ich auch den Schnittpunkt berechnen. Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen. Damit tut ihr mir nämlich einen großen Gefallen, denn diese beiden Aufgaben sind nur ein kleiner Teil, es gibt noch einige mehr, aber da ich nur wissen will, wie man das im Allgemeinen so berechnet, habe ich nur zwei Aufgaben ausgewählt. Vielen Dank im Voraus Gruß, sandymaus |
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| 15.12.2004, 11:13 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Tangentengleichungen Die Besonderheit am Kreis sind folgende: Jede Tangente steht im rechten Winkel auf den Mittelpunkt des Kreises. Mittelpunkt = M Berührpunkt = T Normalvektor der Tangente = Vektor MT Die Tangente ist eine Gerade und man kann sich aussuchen, in welcher Form man die Geradengleichung aufstellen möchte. Es gibt 3 Geradengleichungen (die schnellste und einfachste ist die Normalvektorform der Geraden): Sinn und Zweck der Geradengleichung (oder Kreisgleichung oder irgendeiner Kurvengleichung) ist es, sich jeden beliebigen Punkt X(x/y) berechnen zu können, deswegen sind auch in allen diesen Gleichungen ein x und ein y vorhanden. Funktionsform: y = mx + b m = Steigung der Geraden b = Abstand vom Ursprung bis dorthin, wo die Gerade die y-Achse schneidet x,y sind die Koordinaten irgendeines beliebigen Punktes X (x/y), der auf der Gerade oben liegt. Parameterform: X = Punkt + t * Richtungsvektor X ist wieder ein beliebiger Punkt mit den Koordinaten x, y...Der Richtungsvektor gibt die Richtung der Gerade an. t ist der Parameter. Die Parameterform besagt: Zu einem beliebigen Punkt X der Geraden komm ich, wenn ich von einem bekannten Punkt der Gerade soundsooftmal (t-mal) den Richtungsvektor auftrage. Daher muss man in die Parameterform einen Punkt und den Richtungsvektor einsetzen. t und X müssen frei bleiben, weil ich mir ja jeden beliebigen Punkt berechnen können will und ja noch nicht weiß welchen und daher auch nicht, wie oft ich den Richtungsvektor auftragen muss von meinem Punkt P aus, um den beliebigen PUnkt zu erhalten. Die Normalvektorform: Dazu braucht man einen Punkt der Gerade und einen Normalvektor der Gerade (der Normalvektor steht im rechten Winkel auf den Richtungsvektor). Einsetzen in folgende Formel und dann ausmultiplizieren: Normalvektor * X = Normalvektor * Punkt z.b. (1/2) * (x/y) = (1/2) * (-3/ - 8) 1x + 2y = -3 - 16 x + 2y = - 19 Tangentengleichung durch einen Punkt an den Kreis: Somit kennst du einen Punkt und der Normalvektor ist der Vektor PM. Einen Vektor berechnet man mit: hinterer Punkt - vorderer Punkt Vektor PM = M - P 2. Beispiel Von einem Punkt aus 2 Tangenten an den Kreis legen: Für die Tangente brauchst du: einen PUnkt und die Richtung.....oder den Normalvektor der Tangente. Würdest du den Tangentenpunkt kennen, könntest du den Richtungsvektor bilden, daraus den Normalvektor bilden und hättest somit deine Tangentengleichung. Den Tangentenpunkt hast du aber nicht. Du kennst die x-Koordinate nicht und auch die y-Koordinate nicht. Daher hast du 2 Unbekannte und brauchst auch daher 2 Gleichungen. Eine Gleichung ist die Kreisgleichung, weil der Punkt T(x/y) ja auf dem Kreis liegt. In der 2. Gleichung muss die Bedingung drin sein, dass die Tangente im rechten Winkel auf den Mittelpunkt steht, denn sonst wär es ja irgendeine Gerade. Und dafür nimmt man nun eine Bedingung in der Vektorrechnung her, die da lautet: Wenn man 2 Vektoren miteinander multipliziert und es kommt 0 raus, so muss der eine Vektor im rechten Winkel auf den anderen gestanden sein. Vektor a * Vektor b = 0 Und für dein Beispiel heißt das nun: Vektor PT * Vektor MT = 0 Denn der Richtungsvektor und der Normalvektor stehen im rechten Winkel aufeinander und müssen multipliziert miteinander somit 0 ergeben. Nun die Kreisgleichung drunter schreiben, mal (-1) rechnen und addieren, sodass x² und y² wegfallen. x² + y² - 4x + 2y = 0 -x² - y² = -10 ___________________ 0 + 0 - 4x + 2y = - 10 | ganze Gleichung durch 2 kürzen -2x + y = -5 Nun y ausdrücken und in eine von den beiden Gleichungen oben zurückeinsetzen: y = 2x - 5 x² + (2x - 5)² = 10 x² + 4x² - 20x + 25 = 10 5x² - 20x + 15 = 0 | : ( 5) x² - 4x + 3 = 0 x1,2 = +2 +/- sqrt(4 - 3) x1 = 3 x2 = 1 Nun weißt die beiden x-Koordinaten deiner 2 Tangentenpunkte....die beiden in y = 2x - 5 zurückeinsetzen und du kriegst die dazugehörigen y-Werte...und damit kannst dir dann deine 2 Tangentengleichungen aufstellen. lg kiki |
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| 15.12.2004, 15:09 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, die Erklärung von kikira ist solid und ausführlich, da lernen Anfänger sicher einiges dabei. Für Fortgeschrittene empfiehlt sich, die Verbindungsgerade der beiden Kreispunkte zu berechnen. Sie ist Polare des gesuchten Schnittpunktes der Tangenten, dieser heisst Pol. Dessen Koordinaten ermittelt man leicht mittels Koeffizientenvergleich. Näheres bei Interesse gerne. Gr mYthos |
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| 15.12.2004, 18:13 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meine Gerade: y = 2x - 5 ist die Verbindungsgerade (Polare) der beiden Tangentenpunkte. Daher ergibt die, geschnitten mit einem der beiden Kreise ja sowieso die Berührpunkte T1, T2. lg kiki |
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| 15.12.2004, 18:23 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi kiki, es geht ja nicht um die Berührungspunkte, sondern um den Pol, den Schnittpunkt der beiden Tangenten! Falls die Gleichung der Geraden so ist, wie von dir angegeben, musst du diese nun mit der allgemeinen Polarengleichung (Spaltform) vergleichen: x1.x + y1.y = 10 2x - y = 5 .. Polare ----------------------------- beide rechts auf 10, dann Koeff. vergl. x1.x + y1.y = 10 4x - 2y = 10 ----------------------------- x1 = 4; y1 = -2 --» d.s. bereits die Koord. d. Pols! Schön, nicht wahr? Ich sehe gerade, dass ein Schreibfehler beim Kreis vorliegt, dessen Gleichung muss sein x^2 + y^2 = 100 (10 ist der Radius!) Zweitens hast du möglicherweise die Gerade nicht richtig berechnet. Sie geht jedenfalls durch (-8|6) und (6|8) und hat demnach die Gleichung -x + 7y = 50 Der w.o. gezeigte Koeffizientenvergleich liefert dann x1.x + y1.y = 100 -2x + 14y = 100 --------------------------- x1 = -2; y1 = 14 Gr mYthos |
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| 15.12.2004, 19:16 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kanns sein, dass du die Angabe des 1. Beispiels mit der des 2. Beispiels verwechselt hast? Bin grad zu müd, nachzuvollziehen, wo der Fehler liegen könnte, aber ich denke, ich hab richtig gerechnet. Und danke übrigens fürs Erklären. Jetzt weiß ich, was der Pol ist. Ich dachte immer, die Polare wäre jene Gerade, die durch beide Tangentenpunkte geht. Sehr peinlich! Nochmals herzlichen Dank! lg kiki |
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| 15.12.2004, 20:56 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, habe ich offensichtlich.
Nein, ist nicht peinlich, denn die Polare eines Punktes P (Pol) bezüglich des Kreises k IST jene Gerade, die durch die Berührungspunkte jener beiden Tangenten geht, die von P an den Kreis k gelegt werden können. Die Polarengleichung ist identisch mit jener der Tangentengleichung IN einem Punkt des Kreises (Spaltform). Daher gilt auch: Liegt der Pol P AUF dem Kreis, ist die Tangente in P gleichzeitig die Polare von P an den Kreis. Der Pol kann auch INNERHALB des Kreises liegen. Dann existieren keine reellen Tangenten mehr an den Kreis. Dennoch gibt es eine reelle Verbindungslinie der beiden komplexen Berührungspunkte, eben die (reelle) Polare. Diese verläuft nun AUSSERHALB des Kreises und steht senkrecht auf der Verbindungslinie PM. Man erhält nun einen Punkt dieser Polaren, wenn man die Normale in P auf PM mit dem Kreis schneidet und die in diesen Schnittpunkten gelegten Tangenten wiederum schneidet. Gr mYthos |
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| 15.12.2004, 23:19 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach Gott!...Wenn ich nicht so müd gewesen wär, hätt ich mir das genauer durchgelesen, was du zuerst geschrieben hast. Da steht eh alles schwarz auf weiß. Jetzt hast noch mal fast dasselbe schreiben müssen. Tut mir leid! lg kiki |
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| 15.01.2005, 19:04 | Freadmy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Tangentengleichungen Hi! Muss die Aufgabe auch lösen und hoffe du kannst dich noch dran errinnern wie das funktioniert. Ich jedenfalls habe es nicht rausbekommen. Muss man erst die übliche Kreisgleichung nehmen und dann den Punkt A einsetzten? Oder was muss ich als erstes machen damit ich Punkt yb rausbekomme? Würde mich auch freuen wenn ein anderer mir bei der Aufgabe weiter helfen könnte. 
Aufgabe: Zwei Tangenten berühren den Kreis in den Punkten A bzw. B. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente. x´2 + y´2=100 A (-8/ya) B(6/yb) mit ya>0 yb>0 |
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| 15.01.2005, 19:34 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Tangentengleichungen Aufgabe 2 Aufgabe: Zwei Tangenten berühren den Kreis in den Punkten A bzw. B. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente. x´2 + y´2=100 A (-8/ya) B(6/yb) mit ya>0 yb>0 viele Wege führen nach Rom, ich denke mit der Formelsammlung und der Tangentenbedingung bist am billigsten dran ... nein, das machst mit der Polarengl.. Weil die Punkte auf dem Kreis liegen ergibt das sofort die Tangentengl. zuerst die beiden Punkte ermitteln und dann damit die Tangente x*x1+y*y1=r^2 (Tangente im Berührpunkt (x1|y1)) . was fehlt noch alles ?? sags, ich mach das 'schnell' . 
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| 15.01.2005, 19:50 | Freadmy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist denn die Polarengleichung? Also rechne ich nun erst die Punkte aus.Aber wie? Indem ich sie einzelnd in die Kreisgleichung einsetze oder zusammen? Ich denke ihr müsst mir bloß erklären wie ich die Punkte einsetzten muss....ausrechnen bekomm ich grade noch hin 
Wenn ich die beiden Punkte dann habe muss ich den Schnittpunkt mit welcher Formel bestimmen? Die wichtigste Formel ist doch immer (x-xm)+(y-ym)=r´2 oder? Hoffe auf Hilfe.....denn wir haben bloß vom Lehrer die Formeln bekommen und sollen halt ohne einmal zu rechnen alle Aufgaben für eine Klausur können. 
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| 15.01.2005, 19:54 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Indem ich sie einzelnd in die Kreisgleichung einsetze oder zusammen? natürlich jeden Punkt für sich !!! so, ich derweil schon alles gerechnet geprüft usw, Berührpunkte, Tangenten, Schnittpunkt fertig. |
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| 15.01.2005, 20:10 | Freadmy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist das richtig so?? (x-xm)´2 +(y-ym)´2 =r´2 (x-8)´2 + (y-ym) ´2 =100 x´2-8+16+y´2 -ym+1 =100+16+1 (x-4)+ (y-1) =117 Welches ist dann Punkt ya? |
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| 15.01.2005, 20:15 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist Quatsch !! du hast die Formel für den versetzen Kreis, deiner hat aber den Nullpunkt als Mittelpunkt :-ooo Das ist doch deine Kreisgl., oder ?? x^2 + y^2=100 jetzt nimmst NUR den ersten Punkt und setzt ihn ein ... ich bin schon fix und fertig mit der Aufgabe ...
. poste doch mal deine Ansätze, dann gehts schneller voran und du rechnest nicht ne Menge unnötigen Unfugs bis du's .. |
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| 15.01.2005, 20:37 | Freadmy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Boah...das ist ja easy... Geilo.... Vielen,vielen Dank Den Schnittpunkt muss ich doch jetzt durch die Tangentengleichung ausrechnen oder? 
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| 15.01.2005, 20:38 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Berührpunkte posten, will wissen ob die auch stimmen ... dann sag ich wies weitergeht das ist NUR so geil easy, weil ich dir die optimalen Vorschläge mache |
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| 15.01.2005, 20:47 | gugelhupf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
..lach oh oh sry :) |
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| 15.01.2005, 20:50 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
'maikäfer',.... willst du etwa mithelfeen ... :-oo . |
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| 15.01.2005, 20:52 | Freadmy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ya=6 yb=8 |
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| 15.01.2005, 20:58 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jaa, das sind die Punkte A(-8|6), B(6|8) jetzt nimmt wieder NUR einen davon und setzt ihn in diese von mir gepostete Polarengl. ein x*x1+y*y1=r^2 (Tangente falls (x1|y1) Berührpunkt ist) (steht in jeder vernüftigen Formelsammlung) r^2 ist die 100 von deinem Kreis !! das ergibt dann eine Tangente .... gleich mal posten zur Kontrolle |
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| 15.01.2005, 21:35 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
A(-8|6), B(6|8) hier rechne ich dir mal eine noch bessere Methode vor um den Tangentenschnittpunkt zu bestimmen. Du erstellst die Gerade durch A und B mit der Zweipunkteform (8-6)/(6-(-8)) = (y-6)/(x+8) 2/14=(y-6)/(x+8) 2*x+16=14*y-84 2*x -14*y = -100 -2*x+14*y = 100 weil jetzt rechts schon die 100 steht gehts blitzartig und der gesuchte Schnittpunkt ist P(-2|14) stände rechts was anderes, so müsste über Division oder Multiplikation oder beides so umgeformt werden dass auf der rechten Seite der Wert für r^2 erscheint. Dann sind die Koeffizienten der linken Seite gerade die Koordinaten des Pol's und der ist hier zugleich der Schnittpunkt, weil jene Gerade die Polare ist. lass dich aber nicht verwirren, das ist was anderes als das was du gerade machst ..., ich wollte nur mal vorzeigen wie's noch einfacher geht ... |
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| 15.01.2005, 22:08 | Freadmy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So was tolles.... hab ich lang nicht mehr gesehen *g* Also ich habe das jetzt nochmal mit der Zweipunkteform ausgerechnet und sie da... da´kommt das Ergebnis raus....was würde ich bloß machen....wenn es dieses Board nicht gebe y-ya/x-xa= yb-ya/xb-xa y-6/x+8= 8-6/6+8 y=2 x=14 Nochmals vielen vielen Dank...es kann sein das ich morgen noch einige Fragen stelle..... 
(andere undeutliche Formeln) |
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| 16.01.2005, 00:33 | gugelhupf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hihi nee.. aber "das ist NUR so geil easy, weil ich dir die optimalen Vorschläge mache" haha :D ich weiß nichts von so einer gleichung.. nur das tangente was mitn kreis ist ... außerdem bin ich noch beim verarbeiten der sektglashausaufgabe...:) |
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| 16.01.2005, 02:28 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
'maikäfer', du musst wissen ich bin verdammt schlecht ... ich weiß nichts von so einer gleichung.. haha ... das wird sich noch ändern hihi ;-) außerdem bin ich noch beim verarbeiten der sektglashausaufgabe... 
da musst mal realo rangehen dann gehts schneller aus .. . |
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| 15.11.2008, 13:26 | Gemma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo zusammen! Trotz der vielen Post hier verstehe ich die Aufgabe trotzdem nicht! Vorallem verstehe ich nicht wie man von der Punktstiegungsform aufeinmal auf die Schnittpunkte kommt? >> Poff A(-8|6), B(6|8) hier rechne ich dir mal eine noch bessere Methode vor um den Tangentenschnittpunkt zu bestimmen. Du erstellst die Gerade durch A und B mit der Zweipunkteform (8-6)/(6-(-8)) = (y-6)/(x+8) 2/14=(y-6)/(x+8) 2*x+16=14*y-84 << Den Schritt verstehe ich nicht? Wie kommt man da plötzlich drauf? Vorallem auf die 2 , 16, 14 und 84? 2*x -14*y = -100 -2*x+14*y = 100 weil jetzt rechts schon die 100 steht gehts blitzartig und der gesuchte Schnittpunkt ist P(-2|14) <<<< Wäre echt lieb wenn mir das kurz jemand erklären könnte? Ich blicke in dem Thema garnicht durch
Gemma |
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| 03.12.2008, 15:47 | Astor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum immer mit so vielen Formeln. Der Kreis ist klar. Ursprung ist Mittelpunkt. Radius ist 10. Der Punkt A hat die Koordianten xA=-8 und yA=6. Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius. Der Radius hat die Steigung mR=-3/4. Also hat die Tangente die Steigung mT=4/3. Also hat man Punkt und Steigung. Alles klar? Astor |
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| 15.11.2009, 18:52 | PeterHatKP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich versteh das auch nich wie kommt man denn auf die koordinatenpunkte Ya und YB? und das was anschließend kommt raff ich auch nich.kann mir einer eine private nachricht schicken wo das nochmal erklärt wird...also wenn man hier nachrichten verschicken kann 
bin neu hier
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| 15.11.2009, 18:54 | PeterHatKP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also die ganze aufgabe gelöst.wenn ich das hätte wär ich der glücklichste mensch auf erden
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