Integralberechnung

15.12.2004, 21:27

Anaiwa

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Integralberechnung

Sind folgende Bestimmte und unbestimmte Integralle richtig berechnet?

$\begin{eqnarray*} \int\frac{x-1}{x}dx=x-ln(x)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int (2*e^{-\frac{x}{3}})dx=-6e^{-\frac{x}{3}}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x+4}{x^2-16}dx=ln(x-4)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int x^{-3}+\sqrt{x}dx=-\frac{1}{2}x^{-2}+\frac{2}{3}\sqrt{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int x^2+2^xdx=\frac{3}{2}x^3+\frac{2^x}{ln(2)}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{4}^{9}\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2 \end{eqnarray*}$

hier kommt nun mein Problem ich weiss, das ich es nach der Produktintegration machen muss abre komm irgendwie nicht weiter!

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}(2te^{t^2})dt=2\int_{0}^{2}(te^{t^2})dt \end{eqnarray*}$

15.12.2004, 21:30

iammrvip

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(1) stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

(2) auch

(3) auch

(4) die wurzel und die potenz könnte man noch vereinfachn. stimmt aber auch so Freude

Freude

(5) wieso denn $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}x^3 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

verwirrt

welche stammfunktion hast du denn??

(6) ich komm auf 7

(7) nix mit produkten. subtituiere $\begin{eqnarray*} u = t^2 \end{eqnarray*}$

15.12.2004, 21:37

n!

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RE: Integralberechnung

Zitat:

Original von Anaiwa

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}(2te^{t^2})dt=2\int_{0}^{2}(te^{t^2})dt \end{eqnarray*}$

schöne Substitutionsaufgbage.Denn was ist die Ableitung von t²? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.12.2004, 21:38

iammrvip

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sag ich doch Rock

Rock

15.12.2004, 21:42

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int x^{-3}+\sqrt{x}dx=-\frac{1}{2}x^{-2}+\frac{2}{3}\sqrt{x^3} \end{eqnarray*}$

da steht 2/3 und nicht 3/2 ud wurzel x^3 und nicht nur x^3

$\begin{eqnarray*} \int_{4}^{9}\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\int_{4}^{9}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\int_{4}^{9} x^{-\frac{1}{2}}+1=[\frac{1}{0,5+1}*x^{-0,5+1}]_{4}^{9}=[2*x^{0,5}]_{4}^{9}=2*9^{0,5}-2*4^{0,5}=2*3-2*2=2 \end{eqnarray*}$

ich weiss nicht ob wir dasm achen dürfen, da wir es in der vorlesung noch nicht gehabt ahben! wie kann man es denn noch machen?

15.12.2004, 21:44

iammrvip

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ich meine diese aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int x^2+2^xdx=\frac{3}{2}x^3+\frac{2^x}{ln(2)}+c \end{eqnarray*}$

zur anderen: die stammfunktion ist

$\begin{eqnarray*} F(x) = x + 2\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

teile erstmal durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und integrieren dann.

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15.12.2004, 21:48

Anaiwa

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da hab ich doch dei 1 einfach weggelassen stimmt dann siehts so asu:

$\begin{eqnarray*} \int_{4}^{9}\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\int_{4}^{9}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\int_{4}^{9} x^{-\frac{1}{2}}+1=[\frac{1}{0,5+1}*x^{-0,5+1}+x]_{4}^{9}=[2*x^{0,5}+x]_{4}^{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(2*9^{0,5}+9)-(2*4^{0,5}+4)=(2*3+9)-(4+2*2)=15-8=7 \end{eqnarray*}$

geschockt

geschockt

ich weiss nicht ob wir das machen dürfen die Substitution!!!!, da wir es in der vorlesung noch nicht gehabt ahben! wie kann man es denn noch machen?

sorry muss ja 1/3 sein

$\begin{eqnarray*} \int x^2+2^xdx=\frac{1}{3}x^3+\frac{2^x}{ln(2)}+c \end{eqnarray*}$

15.12.2004, 21:51

iammrvip

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kennst du substitution nicht?? geschockt

geschockt

ich mein hier

$\begin{eqnarray*} \int x^2+2^xdx=\frac{3}{2}x^3+\frac{2^x}{ln(2)}+c \end{eqnarray*}$

die stammfunktion von $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ist doch nicht $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}x^3 \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

edit: das letzte hat sich erledigt Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.12.2004, 21:57

Anaiwa

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also stimmt das mit 1/3 ^^

doch ich kenne sie, aber wir dürfen sachen, die wir in der Mathevorlesung(uni) noch nicht hatten: nicht anwenden wir hatten grad mal das, was du daoben bei den andren integrallen hattes. gibt es also noch einen anderen weg das zu errechnen?

15.12.2004, 22:04

iammrvip

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was soll denn der schwachsinn. mit zwei mal partielle integrieren könnte es klappen. sonst fällt mir auch nichts ein. tut mir leid.

15.12.2004, 23:49

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}2te^{t^2}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=t^2 \leftrightarrow t=\sqrt{v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2t dt = dv \leftrightarrow dt=\frac{1}{{2t}}dv \end{eqnarray*}$

setzen wa schoen ein:

$\begin{eqnarray*} \int_{v(0)}^{v(2)} 2 \sqrt{v}*e^v*\frac{1}{2\sqrt{v}}dv \end{eqnarray*}$

das zwei wurzel v kürzt sich weg:

$\begin{eqnarray*} \int_{v(0)}^{v(2)} e^vdv \end{eqnarray*}$

ruecjsubstitutions:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} e^{t^2}* 2t dt= (e^{2^2}* 2*2)-( e^{t^0}* 2*0)=4e^4 \end{eqnarray*}$

Richtig???

16.12.2004, 15:42

iammrvip

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erstmal zu deiner variante:

$\begin{eqnarray*} \int_{v(0)}^{v(2)} e^vdv \end{eqnarray*}$

jetzt erstmal integrieren. dann erst resubstituieren.

zum zweiten: warum so kompliziert?? geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}2te^{t^2}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = t^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} du = 2tdx \end{eqnarray*}$

jetzt ersetzt du ganz einfach $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2tdx \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~e^{t^2}\cdot 2t~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{2}~e^u~du \end{eqnarray*}$

16.12.2004, 17:59

Anaiwa

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Dann ist meine Variante also falsch? aber man muss doch bei unbestimmten integralen auch resub. warum hier nichtß

dann würde bei dir rauskommen $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ als ergebnis der Integralberechneung.

16.12.2004, 18:04

iammrvip

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nein. falsch nicht. nur umständlicher. und du musst aber erst integrieren, dann kannst du substituieren. Freude

Freude

es kommt aber nicht bloß $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ raus.

die regel lautet doch

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b~f(x)~dx = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

16.12.2004, 18:53

Anaiwa

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du hast doch zuerst auch nicht integriet!! einfach gleich subsituirt so wie ich!! da du ja das geliche wie ich reushast mit dem u!

ok dann kom e^2-e^0 raus nach deiner substitution.

oder wie meinst du das sollte ich erst $\begin{eqnarray*} 2te^{t^2} \end{eqnarray*}$ integrieren? dann mueste ich ja erst die Profuktintegration anwenden das wär dumm. so wie ich.

16.12.2004, 20:30

iammrvip

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nein. ich mein das so

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^2~2te^{t^2}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = t^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dv = 2tdx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^2~2te^{t^2}~dx \end{eqnarray*}$

jetzt substituieren:
$\begin{eqnarray*} = \int\limits_0^2~e^v~dv \end{eqnarray*}$

jetzt integrieren, da man dieses einfache integral leicht lösen kann:

$\begin{eqnarray*} = \left[e^v\right]_0^2 \end{eqnarray*}$

jetzt zurücksubstituieren:

$\begin{eqnarray*} = \left[e^{t^2}\right]_0^2 \end{eqnarray*}$

jetzt stimmt $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ auch nicht siehst du??

17.12.2004, 01:03

Anaiwa

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achso du hast das dv nicht noh erstezt wie ich sehe du hast es gleich in die ekigen klammern gesetzt aha mal seh nob ich das bei denandern 4 aufgaben auch so hinbekomme

17.12.2004, 15:50

iammrvip

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ja die klammer sind hässlich ich weiß. du kannst auch erst das unbestimmte integral ausrechnen und dann die grenzen aussetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

17.12.2004, 19:02

Anaiwa

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bei der aufgabe $\begin{eqnarray*} 2te^{t^2} \end{eqnarray*}$ würde als integral $\begin{eqnarray*} e^4-1 \end{eqnarray*}$ rauskommen

nun folgende intgrale:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{3}\frac{2}{t-1}dt=[2ln(t-1)]_2^3=2ln(2)=1,39 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^2(2t-1)(t+3)dt=\int_0^2(2t^2+5t-3)dt=[\frac{2}{7}t^3+\frac{5}{2}x^2-3x]_0^2=\frac{28}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^2x^{\frac{5}{2}}dx=[\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}]_1^2=2,95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1e^{-\mid s \mid }ds=[-e^{-\mid s \mid }]_{-1}^1=(-e^{-\mid 1 \mid })-(-e^{-\mid -1 \mid })=(-e^{-\mid 1 \mid })-(-e^{-\mid 1 \mid })=0 \end{eqnarray*}$

18.12.2004, 01:23

iammrvip

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Zitat:

Original von Anaiwa
bei der aufgabe $\begin{eqnarray*} 2te^{t^2} \end{eqnarray*}$ würde als integral $\begin{eqnarray*} e^4-1 \end{eqnarray*}$ rauskommen

jetzt stimmt's Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{3}\frac{2}{t-1}dt=[2ln(t-1)]_2^3=2ln(2)=1,39 \end{eqnarray*}$

du musst nicht unbedingt ein gerundeten wert angeben. $\begin{eqnarray*} 2ln(2) \end{eqnarray*}$ ist richtig und vor allem besser, da es der genaue wert ist Freude

Freude

(solange du nicht runden musst)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2(2t-1)(t+3)dt=\int_0^2(2t^2+5t-3)dt=[\frac{2}{7}t^3+\frac{5}{2}x^2-3x]_0^2=\frac{28}{3} \end{eqnarray*}$

richtig

Freude

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_1^2x^{\frac{5}{2}}dx=[\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}]_1^2=2,95 \end{eqnarray*}$

stimmt auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1e^{-\mid s \mid }ds=[-e^{-\mid s \mid }]_{-1}^1=(-e^{-\mid 1 \mid })-(-e^{-\mid -1 \mid })=(-e^{-\mid 1 \mid })-(-e^{-\mid 1 \mid })=0 \end{eqnarray*}$

kennst du die stammfunktion von $\begin{eqnarray*} |s| \end{eqnarray*}$ ??

18.12.2004, 01:55

Anaiwa

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also ich habe in meine Mathebüchergeschau und ins netzt leider nicht gefunden aber man kann die funktion vom betrag so devinieren:

|s|={s wenn: s>=0, -s wenn: s<=0

18.12.2004, 02:10

iammrvip

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es gilt:

$\begin{eqnarray*} s\cdot sign(s) = |s| \end{eqnarray*}$

so mit ist die stammfunktion von $\begin{eqnarray*} |s| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(s) = |s| \Rightarrow F(s) = \frac{s^2 sign(s)}{2} \end{eqnarray*}$

18.12.2004, 07:51

Leopold

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Zitat:

Original von Anaiwa
|s|={s wenn: s>=0, -s wenn: s<=0

Eben.
Und deshalb mußt du das Integral aufspalten in $\begin{eqnarray*} s \leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \geq 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1~\operatorname{e}^{-|s|}~\mbox{d}s \ = \ \int_{-1}^0~\operatorname{e}^s~\mbox{d}s \ + \ \int_0^1~\operatorname{e}^{-s}~\mbox{d}s \ = \ 2 \cdot \int_{0}^1~\operatorname{e}^{-s}~\mbox{d}s \end{eqnarray*}$

Das Letzte gilt, weil die beiden Summanden gleich sind (Symmetrie des Graphen zur Ordinatenachse oder Substitution $\begin{eqnarray*} s = -u \end{eqnarray*}$ im ersten Integral).

05.01.2005, 22:48

Anaiwa

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Hab neue integrale bekommen ^^ Ja Tanzen

Tanzen

Freu

unglücklich

Soll alle durch substitution lösen.

$\begin{eqnarray*} \int_{0.5}^1\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=e^{\frac{1}{x}}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=e^{\frac{1}{x}}*(-\frac{1}{x^2})dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{u*(-\frac{1}{x^2})}=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-4e^2}^e\frac{1}{x^2}*u*\frac{du}{u*(-\frac{1}{x^2})}=\int_{-4e^2}^e-1du \end{eqnarray*}$

die anderen lass ich erstmal moechte wissen ob das richtigist. ich denke mal es gibt noch einen einfacheren weg dahin zu kommen. würde den mir einer zeigen?

die muss ich mit hilfe von partielle Integration loesen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=e^x,~u'=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=x^2,~v'2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [x^2e^x]_0^1-\int_{0}^{1}e^x2x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=e^x,~u'=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=2x,~v'=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [x^2e^x]_0^1-[e^x2x]_0^1-2\int_{0}^{1}e^x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=[x^2e^x]_0^1-[e^x2x]_0^1-2[e^x]_0^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(e^1)-(2e^1)-(2e^1-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(-3e^1-2) \end{eqnarray*}$

05.01.2005, 23:27

rad238

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} u=e^{\frac{1}{x}}dx \end{eqnarray*}$

im Prinzip fast richtig, aber so ist noch richtiger:
$\begin{eqnarray*} u(x)=e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$
ohne dx, das ist vermutlich nur ein copy paste Fehler smile

smile

Wenn die untere Grenze vor der Substitution x=0,5 ist, muss sie nacher u(x=0,5) sein! Also
$\begin{eqnarray*} \int_{e^2}^e\frac{1}{x^2}*u*\frac{du}{u*(-\frac{1}{x^2})}=\int_{e^2}^e-1du \end{eqnarray*}$
Wieso hast Du da noch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ multipliziert?

Einfacher als Du das gemacht hast, geht das fast nicht mehr smile

smile

Aber allgemein kann man ja sagen:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} F(\phi(x)) = f(\phi(x)) * \frac{d}{dx} \phi(x) \end{eqnarray*}$

Umgekehrt gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^b f(\phi(x)) * \frac{d}{dx} \phi(x) = F(\phi(b))-F(\phi(a)) \end{eqnarray*}$

hier also:

$\begin{eqnarray*} \int_{0,5}^1\frac{1}{x^2}\cdot e^{1/x} ~dx= - (e^{1/1}-e^{1/0,5}) \end{eqnarray*}$

einfach die Kettenregel umgekehrt anwenden.

Gruß
rad238

05.01.2005, 23:34

rad238

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(e^1)-(2e^1)-(2e^1-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(-3e^1-2) \end{eqnarray*}$

Minus mal Minus macht Plus! Sonst sieht das prima aus. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(e^1)-(2e^1)-(2e^1-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx= -3e + 2 \end{eqnarray*}$

05.01.2005, 23:45

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int_{0.5}^1\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=e^{\frac{1}{x}}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=e^{\frac{1}{x}}*-\frac{1}{x^2}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{u*(-\frac{1}{x^2})}=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{e^2}^e\frac{1}{x^2}*u*\frac{du}{u*(-\frac{1}{x^2})}=\int_{e^2}^e-1du \end{eqnarray*}$

dann kann ich das ja ncoh um derehmen wegen dem minus ^^
also ist die lösung:

$\begin{eqnarray*} \int_{0.5}^1\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}dx=\int_{e}^{e^2}1du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{e}^{e^2}1du=[u]_e^{e^2}=e^2-e=e \end{eqnarray*}$

das mal 1/x^2 habe ich gemacht, weil ich das ne^1/x ableiten muss. so haben wirs gelernt. und das dx muss ich laut gelerntem auch schreiben.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

uff ^^

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=[x^2e^x]_0^1-[e^x2x]_0^1-2*[e^x]_0^1 \end{eqnarray*}$

dann würde das also anders heissen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=[x^2e^x]_0^1-[e^x2x]_0^1+(-2*[e^x]_0^1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(e^1)-(2e^1)-2e^1+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(-3e^1+2) \end{eqnarray*}$

so richtig mit den klammern da oben ^^.

mh ich habe etwas ganz anderes als grenzwert als du. wie kommt das?

------------------------------------------------------------------------------------------------------

bei dieser aufgabe dreh ich mich im krei.

$\begin{eqnarray*} \int (lnx)^2~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x*lnx-x,~u'=lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=\frac{1}{x},~v'=lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int (lnx)^2~dx=(x*lnx+x)\frac{1}{x}-\int(x*lnx-x)*lnx \end{eqnarray*}$

wenn ich nun weiter integrieren moechte kommt nichts beiheraus immer das gleiche, was hinter dem integral steht? Was mach ich falsch?

06.01.2005, 00:02

rad238

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Also, wenn Ihr das so gelernt habt, dass da noch ein dx hingeschrieben werden muss, dadurch wird die Sache meiner Meinung nach nicht besser... Aber ist ja eigentlich egal...

Zitat:

Original von Anaiwa
dann kann ich das ja ncoh um derehmen wegen dem minus ^^
also ist die lösung:

$\begin{eqnarray*} \int_{0.5}^1\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}dx=\int_{e}^{e^2}1du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{e}^{e^2}1du=[u]_e^{e^2}=e^2-e=e \end{eqnarray*}$

das mal 1/x^2 habe ich gemacht, weil ich das ne^1/x ableiten muss. so haben wirs gelernt. und das dx muss ich laut gelerntem auch schreiben.

Das mit dem Minus und dem Umdrehen der Grenzen ist eine gute Idee. smile

smile

Aber das darfst Du so nicht zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \int_{e}^{e^2}1du=[u]_e^{e^2}=e^2-e=e\cdot(e-1) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und das mit dem * 1/x^2 ist auf jeden Fall falsch, wo soll das denn her kommen?! Also jetzt ist es ja richtig.

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Zitat:

Original von Anaiwa

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(-3e^1+2) \end{eqnarray*}$

so richtig mit den klammern da oben ^^.

mh ich habe etwas ganz anderes als grenzwert als du. wie kommt das?

Alles richtig, aber
verwirrt

verwirrt

welcher "Grenzwert"??? Ich habe keine Grenzwerte ausgerechnet. Außerdem hast Du jetzt doch überall das selbe raus wie ich!!
verwirrt

verwirrt

06.01.2005, 00:12

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} u=e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ stimmt das mit dem dx war hier falsch aber. diese zeile muss ich doch nun zu du machen und daher muss ich $\begin{eqnarray*} e^{1/x]} \end{eqnarray*}$ doch nach dx ableiten und das nun mal abgeleiitet ist doch das du

$\begin{eqnarray*} du=e^{\frac{1}{x}}*-\frac{1}{x^2}dx \end{eqnarray*}$

hätte ich das nicht gemacht, währe ich net auf du gekommen! um es umzuformen wie es eine zeile tiefer steht.

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{u*(-\frac{1}{x^2})}=dx \end{eqnarray*}$

und du hattest recht mit dem e das man es nicht abziehn kann ^^

$\begin{eqnarray*} e(e-1) \end{eqnarray*}$ wie du schon geschieben hast stimmt. irgendwie macht mach zuviele schusselikeitsfehler.

so dann rechnen wa den mal schnell aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=[-3e^1+2]=-6.15 \end{eqnarray*}$

öhm ich glaub der muss positiv weden? oder? müssen da net noch irgendwo betragsstriche hin von anfang an ^^. irgend wie unteschlagen. gg
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
bei dieser aufgabe dreh ich mich im krei.

$\begin{eqnarray*} \int (lnx)^2~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x*lnx-x,~u'=lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=\frac{1}{x},~v'=lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int (lnx)^2~dx=(x*lnx+x)\frac{1}{x}-\int(x*lnx-x)*lnx \end{eqnarray*}$

wenn ich nun weiter integrieren moechte kommt nichts beiheraus immer das gleiche, was hinter dem integral steht? Was mach ich falsch?

06.01.2005, 00:26

rad238

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Zitat:

Original von Anaiwa

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=[-3e^1+2]=-6.15 \end{eqnarray*}$

öhm ich glaub der muss positiv weden? oder? müssen da net noch irgendwo betragsstriche hin von anfang an ^^. irgend wie unteschlagen. gg

Öhm, guter Einwand! ^^ Aber das liegt nicht an Beträgen oder so, sondern:

Zitat:

Original von Anaiwa
[...]
die muss ich mit hilfe von partielle Integration loesen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=e^x,~u'=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=x^2,~v'2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [x^2e^x]_0^1-\int_{0}^{1}e^x2x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=e^x,~u'=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=2x,~v'=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [x^2e^x]_0^1-[e^x2x]_0^1-2\int_{0}^{1}e^x~dx \end{eqnarray*}$ Vorzeichenfehler!!!

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=[x^2e^x]_0^1-[e^x2x]_0^1-2[e^x]_0^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(e^1)-(2e^1)-(2e^1-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(-3e^1-2) \end{eqnarray*}$

Es muss

$\begin{eqnarray*} [x^2e^x]_0^1-([e^x2x]_0^1 - 2\int_{0}^{1}e^x~dx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=[x^2e^x]_0^1-[e^x2x]_0^1+2[e^x]_0^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx=(e^1)-(2e^1)+(2e^1-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}x^2e^xdx= e-2 = 0,71828... \end{eqnarray*}$

------------------------

Zum Logarithmusproblem weiß ich jetzt nicht so genau. Aber wenn beim Weiterintegriren immer das gleiche Intergal raus kommt, ist das im Allgemeinen nicht schimm, dann hast Du ja ne Gleichung der Form

I = xyz - I

I ist dann das gesuchte Integral, und xyz was anderes. Die Gleichung lässt sich ja nach I auflösn...
Vielleicht geht das hier auch so oder so ähnlich...
Ich mach jetzt aber nichts mehr. Gute Nacht!

06.01.2005, 01:48

Anaiwa

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Habe was gefunden:

$\begin{eqnarray*} \int (lnx)^2~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=(lnx)^2,~u'=2lnx(lnx)'=2lnx\cdot\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=x,~v'=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int(lnx)^2~dx=x(lnx)^2-2\int lnx~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=lnx,~u'=1/x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=1.~v=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int(lnx)^2~dx=x(lnx)^2-2(xlnx-\int x \cdot \frac{1}{x}dx)=x(lnx )^2-2lnx+2x+C \end{eqnarray*}$

06.01.2005, 08:27

rad238

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Super gut, und das zu so später Stunde! Freude

Freude

Am Schluss hast Du aber ein "x" geschludert Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int(lnx)^2~dx=x(lnx)^2-2(xlnx-\int x \cdot \frac{1}{x}dx)=x(lnx )^2-2 \cdot x \cdot lnx+2x+C \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------

Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} u=e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ stimmt das mit dem dx war hier falsch aber. diese zeile muss ich doch nun zu du machen und daher muss ich $\begin{eqnarray*} e^{1/x]} \end{eqnarray*}$ doch nach dx ableiten und das nun mal abgeleiitet ist doch das du

$\begin{eqnarray*} du=e^{\frac{1}{x}}*-\frac{1}{x^2}dx \end{eqnarray*}$

hätte ich das nicht gemacht, währe ich net auf du gekommen! um es umzuformen wie es eine zeile tiefer steht.

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{u*(-\frac{1}{x^2})}=dx \end{eqnarray*}$

Dazu wollte ich auch noch was sagen:

$\begin{eqnarray*} u=e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von "u" ist nicht "du", sondern

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac{-1}{x^2}\cdot e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du = \frac{-1}{x^2}\cdot e^{\frac{1}{x}} \cdot dx \end{eqnarray*}$

So stimmt ja alles smile

smile

06.01.2005, 20:10

Anaiwa

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2)

$\begin{eqnarray*} \int g'(x)(g(x))^n~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=g'(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int g'(x)*u^n*\frac{1}{g'(x)}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int u^n~du \end{eqnarray*}$

Aber wie soll ich das berechnen? Mit rückführung erst und dann ableiten und ein C ranhängen?

3)

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{10}x^3*\sqrt{4+x^4}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=4+x^4, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} du=4x^3~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{4x^3}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}x^3*\frac{\sqrt{u}}{4x^3}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}\frac{\sqrt{u}}{3x^3}~du \end{eqnarray*}$

sieht schon schön aus muss ich die aber noch mal substitoieren?

3)

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2-1}{x^3-3x+1}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x^3-3x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} du=3x^2-3~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{3x^2-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2-1}{u}~\frac{du}{3x^2-3}=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2x^2-2}~du \end{eqnarray*}$

Hier mueste ich noch mal substituieren?
------------------------------------------------------------------------------------
Ableitung bilden mit dem hauptsatz der Differenzialrechnung.

1)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\int_{0}^{x^2}(u^3-2)~du,~x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dx}=((x^2)^3-2)\cdot2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dx}=(x^6-2)\cdot2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dx}=2x^7-4x \end{eqnarray*}$

2)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\int_{3}^{\sqrt{x}}(\frac{1}{1+u^2})~du,~x > 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dx}=\frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

3)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\int_{x^2}^{g(x)}(e^u)~du,~x\in R,~wobei~g: R \to R~diffbar~ist \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\int_0^{g(x)}e^u-\int_{0}^{x^2}e^u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dx}=g'(x)e^{g(x)}-2xe^{x^2} \end{eqnarray*}$

06.01.2005, 20:25

PSM

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zu 3) du musst nicht mehr substituieren!
vor der Wurzel steht doch x³. Das kannst du gleich mit ersetzen.
1/4 du=...

Grüße.

06.01.2005, 20:44

Anaiwa

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u ist nicht x^3 sonder der ganze therm unter derm bruchstrich da kann ich meiner meinung anch das doch nicht ersetzen!

Weist du ob das richtig ist, was ich da gerechnet habe?

06.01.2005, 20:52

PSM

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Upps! Ein Missverständnis.
Ich rede von der Aufgabe mit dem Integral von 1 bis 10! Nicht von der Aufgabe mit dem Bruch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast beide Aufgaben mit 3) nummeriert.

Zu der Aufgabe mit dem Bruch kann ich leider nichts sagen, ich bin nämlich selber noch Anfänger. Sieht aber mMn nach Partialbruchzerlegung aus.

Grüße.

06.01.2005, 21:07

rad238

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}x^3*\frac{\sqrt{u}}{4x^3}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}\frac{\sqrt{u}}{3x^3}~du \end{eqnarray*}$

[....]

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2-1}{u}~\frac{du}{3x^2-3}=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2x^2-2}~du \end{eqnarray*}$

Jetzt wirst Du aber böse böse

böse

wie Du da wegkürzt!

$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}x^3*\frac{\sqrt{u}}{4x^3}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}\frac{\sqrt{u}}{4}~du \end{eqnarray*}$

[....]

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2-1}{u}~\frac{du}{3x^2-3}=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}~du \end{eqnarray*}$

Und bei der 1. von den 3 Aufgaben integrierst Du am besten mit dem u, und machst später die Subtitution wieder rückgängig. Weil eigentlich muss man die Grenzen ja auch verändern, wenn man substituiert. Und weil die 1. Augabe von den dreien keine Grenzen hat, mach die Substitution nach der Integration schnell wieder rückgängig, damit es keiner sieht. Ich weiß aber nicht, was die Mathematiker dazu sagen.

Ich würde bei den drei Integralen gar nicht subtituieren, sondern direkt mit der Rückwärtskettenregel integrieren (siehe Seite 2).

06.01.2005, 21:16

Anaiwa

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M hier in meiner aufgabe steht jedoch, das ich das mit substitutionmachen muss. würd das auch lieber anders machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber dann gibs keine punkte auf die aufgaben.

06.01.2005, 21:39

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int_1^5 lnx\sqrt{1+lnx}~\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=1+lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=\frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=xdu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^{\frac{1}{5}} lnx\sqrt{u} du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^{5} lnx\sqrt{u} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=\frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=xdu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^{ln5} u\sqrt{u} xdu \end{eqnarray*}$

irgendwie dreh ich mich im kreis hier. komm mit dem dx/x net klar

06.01.2005, 21:51

rad238

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Du darfst nicht zwei mal hintereinander substituieren und dabei immer die gleichen Variablen "u" mehrmals anders definiert neu einführen. Da kommt ja alles durcheinander. "u" kann nicht gleichzeitig ln(x)+1 und ln(x) sein.

Aber Du kannst bei der 1. Substitution das ln(x) auch durch u ersetzen:
u=1+ln(x)
ln(x) = u-1
Dann bleibt kein x mehr übrig.
Beachte außerdem, die Grenzen richtig umzurechnen, besonders die obere!

Gruß
Andreas

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