integrieren von kreisfläche

15.12.2004, 22:33

schnake

integrieren von kreisfläche

hi
ich soll den flächeninhalt der von der x-achse und dem kreisbogen der funktion $\begin{eqnarray*} -\sqrt{16-x²}+3 \end{eqnarray*}$ eingeschlossenne fläche bestimmen.... auf zwei weisen:
die eine per koordinatengeometrie is recht simpel: einfach den kreissektor, der durch die "nullstellenradien" geht, berechnen, und das dreieck abziehen. aber wie gehts mit integral? kann ich
$\begin{eqnarray*} f(x)=-\sqrt{16-x²}+3 \end{eqnarray*}$ integrieren oder wenigstens differenzieren? wennja, sagt mir bitte wie! danke!

Edit: latex verbessert. grybl

15.12.2004, 22:36

ich nochmal

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hierzu
hi
ich soll den flächeninhalt der von der x-achse und dem kreisbogen der funktion f(x)= -sqrt(16-x²)+3 eingeschlossenne fläche bestimmen.... auf zwei weisen:
die eine per koordinatengeometrie is recht simpel: einfach den kreissektor, der durch die "nullstellenradien" geht, berechnen, und das dreieck abziehen. aber wie gehts mit integral? kann ich
f(x)=-sqrt(16-x²)+3 integrieren oder wenigstens differenzieren? wennja, sagt mir bitte wie! danke!

17.12.2004, 11:50

Ben Sisko

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RE: hierzu

Zitat:

Original von ich nochmal
f(x)=-sqrt(16-x²)+3 integrieren oder wenigstens differenzieren?

Warum denn differenzieren? verwirrt

Integrieren ist schon richtig. Überleg noch, wie du die Grenzen wählen musst!

Gruß vom Ben

17.12.2004, 14:07

schnake

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integrieren
ja die grenzen sind wohl die nullstellen, von - sqrt(7) bis sqrt(7).
aber wie heißt denn die stammfunktion? is die nich irgendwas mit arcustangens oder so??
sagt mal, wie ich auf die komme.

17.12.2004, 14:26

schnake

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....oder den arcsin?

17.12.2004, 16:02

iammrvip

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$\begin{eqnarray*} arcsin(x) \end{eqnarray*}$ ist die umkehrfunktion vom $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ .

vielleicht kennst du sie unter der bezeichnung $\begin{eqnarray*} sin^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} invsin(x) \end{eqnarray*}$

18.12.2004, 14:04

schnake

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danke iammrvip, aber das war mir schon klar. mein ansatz war nur, dass die erste ableitung vom arcsin $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$ lautet, aber ich seh ein, dass mir das auch nich weiterhilft.
ich weiß nich, wie ich sonst auf einen solchen term kommen soll durch ableiten.
bsp: wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}(16-x^2)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ ableite , erhalte ich ja nicht nur $\begin{eqnarray*} (16-x^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ sondern auch noch den zweiten faktor durch die innere ableitung $\begin{eqnarray*} -2x \end{eqnarray*}$ . und da fällt mir der trick nich ein, das wegzubekommen.

PS. wieso funktioniert das latex nich? Hilfe

Edit: weil dein slash beim Endtag von latex in die falsche Richtung ging.

\\EDIT by sommer87: Latex verbessert: Im latex bitte ^2 statt ² schreiben Augenzwinkern

18.12.2004, 15:18

iammrvip

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oh man. ich hab nicht richtig gelesen Hammer

der ansatz ist aber schon mal nicht schlecht. es komm was mit arcsin(...) raus. musst bloß geschickt substituieren.

bin noch am überlegen wie verwirrt

18.12.2004, 15:34

grybl

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wenn man die Fläche eines Kreises $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$ berechnet, verwendet man beim

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{r}~\sqrt{r^2-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

i.A. die Substitution $\begin{eqnarray*} x=r\cdot cos\phi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=r\cdot sin\phi \end{eqnarray*}$

nicht vergessen darf man natürlich das Transformieren der Grenzen smile

du musst das nun nur noch für dein Bsp. adaptieren

18.12.2004, 20:51

schnake

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hi
jo danke schon mal grybl.
aber ehrlich gesagt weiß ich zwei sachen nicht. was mach ich denn mit dem dx beim integrieren? ersetz ich das einfach durch d r*cosphi?

also verbessert mich bitte:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{r}~\sqrt{r^2-x^2}~dx (subst.x=r*\sin(\phi)) = \int_{0}^{r}~\sqrt{r^2-r^2*\sin^2(\phi)}~dr*\sin(\phi) =\int_{0}^{r}~r*\cos(\phi)~dr*\sin(\phi) \end{eqnarray*}$
und wie integrier ich jetz? etwa so?:
$\begin{eqnarray*} r^2*\sin(\phi)*\cos(\phi) \end{eqnarray*}$ (resubstuiere)
$\begin{eqnarray*} =r^2*\sin(\arcsin(\frac{x}{r})*cos(\arcsin(\frac{x}{r})=r^2*\frac{x}{r}* \sqrt{1-(\frac{x}{r})^2}=r*x*\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}} \end{eqnarray*}$
ich habs jetz mal ohne grenzen gemacht, weil ich nich wusste, was du mit grenzen transformieren meintest..

18.12.2004, 21:06

grybl

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du hast schon mal einen entscheidenden Fehler gemacht.

wenn du $\begin{eqnarray*} x = r\cdot sin \phi \end{eqnarray*}$ substituierst, so wird $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ deine neue Variable, r ist ja sowieso eine Konstante!

Probiers mal so und hol dir vielleicht hier einen weiteren Einblick. smile

18.12.2004, 22:43

etzwane

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Ich rechne dir die Aufgabe mal vor, allerdings mit anderen Zahlen.

Es sei also f(x) = -sqrt(36-x²) + 5

Als erstes versucht man, sich über den Verlauf der Funktion klar zu werden, z.B. so:

http://www.matheboard.de/plotter.php?f=-...%3A6&y=-1.5%3A5

Als nächstes berechnet man die Punkte x1 und x2, wo die Funktion die x-Achse schneidet, aus f(x)=0

0 = -sqrt(36-x²) + 5
sqrt(36-x²) = 5
36-x² = 25
x² = 11
x1=-sqrt(11) und x2=+sqrt(11)

Damit kennt man jetzt die Grenzen des Integrationsintervalles.

Für die Fläche erhält man F = Integral von x1 bis x2 über f(x)dx,
also F = $\begin{eqnarray*} \int_{x1}^{x2}~(-\sqrt{36-x^2}+5)~dx \end{eqnarray*}$
oder F = $\begin{eqnarray*} \int_{x1}^{x2}~-\sqrt{36-x^2}~dx + \int_{x1}^{x2}~5~dx \end{eqnarray*}$ = F1 + F2

Für F2 erhält man unter Beachtung der Integrationsgrenzen F2 = 5*(x2-x1) = 5*2*sqrt(11) = 10*sqrt(11)

Für F1 hat man F1 = $\begin{eqnarray*} -\int_{x1}^{x2}~\sqrt{36-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Hier kann man nun substituieren $\begin{eqnarray*} x=6\sin(\phi) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} dx=6\cos(\phi)d\phi \end{eqnarray*}$
und man erhält F1 = $\begin{eqnarray*} -\int_{\phi 1}^{\phi 2}~6\cos(\phi)\cdot 6\cos(\phi)d\phi = -36\int_{\phi 1}^{\phi 2}~\cos^{2}(\phi) \cdot d\phi \end{eqnarray*}$ , wobei man die Integrationsgrenzen noch umrechnen muss entsprechend $\begin{eqnarray*} \phi 1 = \arcsin(\frac{x1}{6}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi 2 = \arcsin(\frac{x2}{6}) \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} \int~\cos^{2}(\phi) \cdot d\phi = \frac{1}{2}(\cos(\phi)\sin(\phi)+\phi) \end{eqnarray*}$ und somit F1 = $\begin{eqnarray*} -36\cdot \frac{1}{2}[(\cos(\phi 2)\sin(\phi 2)+\phi 2) - (\cos(\phi 1)\sin(\phi 1)+\phi 1)] \end{eqnarray*}$

Einsetzen der errechneten Zahlenwerte für phi2 und phi1 ergibt F1, und mit F2 von oben folgt unter Beachtung der Vorzeichen F = F1 + F2

Ganz so einfach ist diese Aufgabe also doch nicht ... Und ich kann nur noch hoffen, dass ich nicht einen entscheidenden Fehler gemacht habe

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