Taylorpolynom erstellen

28.04.2007, 22:33

MrMilk

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Taylorpolynom erstellen

Hallo,

ich arbeite grade mit Taylorpolynomen und dazu habe ich folgende Aufgabe bekommen:

Sei $\begin{eqnarray*} f: ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x) := log(cos(x)) \end{eqnarray*}$ . Dazu soll das Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} T^2_0(f(x)) \end{eqnarray*}$ zweiten Grades im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 =0 \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Als weiteres soll gezeigt werden, dass für $\begin{eqnarray*} 0 \le x \le \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f(x) - T^2_0(f(x))|\le \frac{2}{3}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$

Bis jetzt stehe ich noch rech stark auf dem Schlauch.

Als erstes habe ich dazu die Ableitungen gebildt:

$\begin{eqnarray*} f^0 = log(cos(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^1=-\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^2=-\frac{sin^2 (x)}{cos^2 (x)}-1 \end{eqnarray*}$

Und ich kenne das Bildungsgesetz für Taylorpolynome:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum^\infty_{k=0}\frac{f^k (x_0)\cdot (x-x_0)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Aber mit ist nun unklar, wie ich das Umsetzen soll. Wenn ich nicht ganz falsch liege, sollte $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ sein, oder?

Bin über jede Form der Hilfe dankbar ;-)

Viele Grüße
-- MrMIlk

28.04.2007, 22:45

therisen

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Das Taylorpolynom zweiter Ordnung mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} T_2(x) = \sum_{k=0}^2\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^k \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

28.04.2007, 22:48

sqrt(2)

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RE: Taylorpolynom erstellen

Zitat:

Original von MrMilk
$\begin{eqnarray*} f^2=-\frac{sin^2 (x)}{cos^2 (x)} \end{eqnarray*}$

Das ist übrigens falsch.

28.04.2007, 23:00

MrMilk

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Danke für die schnellen Antworten.

@ sqrt(2): Ich hoffe so ist es richtig, habe vergessen es zu ende zu tippen ;-)

@ therisen:

Wäre der erste teil schon gelöst, wenn ich einfach nur einsetze?
Also so:

$\begin{eqnarray*} T_2(x) = \sum_{k=0}^2\frac{f^{(k)}(x)}{k!}\cdot x^k =\frac{log(cos(x))}{1}\cdot x^0 + \frac{-\frac{sin(x)}{cos(x)}}{1}\cdot x^1 + \frac{-\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}-1}{2}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
-- MrMilk

28.04.2007, 23:17

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
@ therisen:

Wäre der erste teil schon gelöst, wenn ich einfach nur einsetze?

Im Prinzip ja, aber du hast falsch eingesetzt. Ist wohl doch nicht so einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.04.2007, 00:02

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{\cos x}=\tan x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+1=\frac{sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x} \end{eqnarray*}$ .

Nur so nebenbei... (Wenn du die Ableitungen schon mit einem CAS ausrechnest, dann kannst du auch gleich die Funktion des CAS für Taylorreihenentwicklung verwenden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

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29.04.2007, 08:37

MrMilk

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Guten Morgen :-)

@sqrt: Wie meinst du das mit dem CAS, entschuldige meine Unwissenheit, aber ich kann dir grade leider nicht ganz folgen, da dort doch $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ steht und nicht $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ .

@therisen: Kannst du mir sagen, wo ich ungefähr falsch eingesetzt habe? Da ich die Ableitung, die Fakultät und das x mit dem k dort sehe.

Nun gut, einen schönen Sonntag morgen noch.

Viele Grüße
-- MrMilk

29.04.2007, 09:15

Tomatonno

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mit CAS meint er einen Grafischen/Programmierbaren Taschenrechner der Ableitungen symbolisch lösen kann.

Zum Thema kann ich leider nicht sagen :-)

29.04.2007, 09:53

Monstar

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ich schätze mal er hat (-1) ausgeklammert

29.04.2007, 10:13

MrMilk

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Ich habe ganz einfach nur den großen Bruch in zwei kleine aufgeteilt und dann waren Nenner/Zähler gleich. Also CAS oder ähnliches kann ich bei meinem Taschenrechner nicht bedienen, da er so etwas nicht besitzt.

Viele Grüße
-- MrMilk

29.04.2007, 10:30

sqrt(2)

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Die Ergebnisse sahen mir nur nach einem bestimmten CAS aus, das Probleme hat, Terme mit trigonometrischen Funktionen zusammenzufassen, das war also geraten (wenn man ganz normal die Quotientenregel verwendet, kommt man auch von selbst auf den einfacheren Ausdruck).

Was das Vorzeichen der 1 angeht, solltest du nochmal ganz genau hinschauen...

29.04.2007, 10:35

MrMilk

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Hallo,
ich habe das Ergebnis auch mit einem Algebrasystem prüfen lassen und das kommt auf auch -1.

Viele Grüße
-- MrMilk

29.04.2007, 12:29

sqrt(2)

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Dann solltest du mal auf das Minus vor dem Bruch auch achten und vergleichen mit dem, was ich geschrieben habe.

29.04.2007, 12:39

MrMilk

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Hallo sqrt(2),

Genau dieses Resultat bekomme ich von dem Algebrasystem: $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{cos(x)^2}\cdot sin(x)^2 - 1 \end{eqnarray*}$ und das habe ich auch raus.

Kannst du mir eben sagen, wo mein Fehler liegt? bzw. der des Algebrasystems?

Viele Grüße
-- MrMilk

29.04.2007, 13:41

sqrt(2)

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Kein Fehler, außer, dass du nicht siehst, dass da keiner ist. Ich versteh dein Problem überhaupt nicht. verwirrt

verwirrt

29.04.2007, 14:01

MrMilk

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Cool. Dann ist alles super ;-)

Aber therisen hatte geschriebe, dass meine Taylorreihe nohc nicht korrekt wäre. Kannst du mir da weiter helfen.

Viele Grüße
-- MrMilk

29.04.2007, 14:16

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

29.04.2007, 14:39

MrMilk

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Ist es so korrekt?

$\begin{eqnarray*} T_2(x) = \sum_{k=0}^2\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^k =\frac{log(cos(0))}{1}\cdot x^0 + \frac{-\frac{sin(0)}{cos(0)}}{1}\cdot x^1 + \frac{-\frac{sin^2(0)}{cos^2(0)}-1}{2}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$

Falls ja, soll ja noch für $\begin{eqnarray*} 0 \le x \le \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ gezeigt werden: $\begin{eqnarray*} |f(x) - T^2_0(f(x))|\le \frac{2}{3}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$ .

Wird so etwas am besten per vollständiger Induktion gezeigt?

Viele Grüße
-- MrMilk

29.04.2007, 18:09

therisen

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Zitat:

Achtung: Bitte lösche keine inhaltlichen Dinge deines Beitrags, falls bereits
darauf Bezug genommen wurde, um den Themenverlauf nachvollziehbar zu gestalten.
Das Matheboard-Team behält sich vor, den Beitrag auf
frühere Versionen zurückzusetzen, um die Nachvollziehbarkeit sicherzustellen.

Das hast du hier getan und hier ist der Bezug.

Erst wenn du das wieder in Ordnung gebracht hast, helfe ich dir weiter.

Gruß, therisen

29.04.2007, 18:13

MrMilk

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Entschuldigung, ich war mir meiner Sache nicht bewusst.
Ich hoffe so ist alles wieder okay.

Viele Grüße
-- MrMilk

29.04.2007, 18:20

therisen

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Eine Null hast du noch vergessen.

Zurück zum Thema: Ja, jetzt stimmt dein Taylorpolynom. Und nein, Induktion bringt dich hier nicht weiter. Was für Abschätzungen kennst du denn für das Restglied? Schau dich mal hier um: http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorpolynom#Restgliedformeln

29.04.2007, 19:16

MrMilk

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Hallo therisen,

ich hoffe nun das ich auch die letzte Null getroffen hab.

In meinen eigenen Unterlagen konnte ich eine ähnliche Formel finden.

Es handelt sich um den Satz von Larange:

Sei $\begin{eqnarray*} f:I\to \mathbb R (n+1) \end{eqnarray*}$ diffbar und $\begin{eqnarray*} \xi \neq x \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} R^n_\xi f(x)= \frac{f^{n+1}(\xi +\Theta (x-\xi ))}{(n+1)!}\cdot (x-\xi)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Allerdings bin ich noch nicht im stande hin anzuwenden.
Vermutlich wäre in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \xi=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ .

Mir ist jetzt aber nicht ganz klar, wie ich eine Schranke daraus bekomme, könntest du mir vielleicht einen erklärenden Satz dazu geben.

Wäre echt super.

Viele Grüße
-- MrMilk

29.04.2007, 19:56

therisen

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Nein, $\begin{eqnarray*} \xi\in[0,\frac\pi4] \end{eqnarray*}$ .

Bist du dir sicher, dass du nicht $\begin{eqnarray*} \leq \frac23x^3 \end{eqnarray*}$ nachweisen sollst? Dann wähle einfach o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} \xi = \frac\pi4 \end{eqnarray*}$ (warum?).

Gruß, therisen

29.04.2007, 20:15

MrMilk

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Hallo therisen,

ja du hast recht ich soll nachweisen: $\begin{eqnarray*} \le \frac{2}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ oder ganz ausgeschrieben: $\begin{eqnarray*} |f(x) - T^2_0(f(x))|\le \frac{2}{3}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$ .

Ich muss zugeben ich kann dir nicht sagen, wieso du dieses so wählst. Ich vermute nur , da sind Sinus und Cosinus gleich und damit könnten sich die Brüche aufheben. Aber dann wäre das mit dem Restglied überflüssig....

Ich muss leider auch zugegeben, ich weiß nicht wieso du diesen Weg wählst, was wäre wenn ich dieses einfach so hinschreibe:

$\begin{eqnarray*} log(cos(x))-\frac{log(cos(x))}{1}\cdot x^0 + \frac{-\frac{sin(x)}{cos(x)}}{1}\cdot x^1 + \frac{-\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}-1}{2}\cdot x^2\le \frac{2}{3}x^2 \end{eqnarray*}$

Was zusammen gefasst werden könnte zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{sin(x)}{cos(x)}}{1}\cdot x^1 + \frac{-\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}-1}{2}\cdot x^2\le \frac{2}{3}x^2 \end{eqnarray*}$

Kannst du mir kurz sagen, was gegen meinen Weg spricht?
Aber hier dürfte ich nicht o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} \xi=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ wählen, oder?

Viele Grüße
-- MrMilk

29.04.2007, 20:50

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
ja du hast recht ich soll nachweisen: $\begin{eqnarray*} \le \frac{2}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ oder ganz ausgeschrieben: $\begin{eqnarray*} |f(x) - T^2_0(f(x))|\le \frac{2}{3}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$ .

Etwas mehr Konzentration bitte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich musste vorhin zum Essen, deswegen habe ich das o.B.d.A. nicht mehr weiter ausgeführt. Die Begründung liefert (anschaulich) dieser Graph:

Denn

$\begin{eqnarray*} R_{2}(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}x^{3} = \frac{-\sin(\xi)}{3\cos(\xi)^3}\cdot x^3 \end{eqnarray*}$ mit einem geeigneten $\begin{eqnarray*} \xi\in[0,\frac\pi4] \end{eqnarray*}$ .

Offenbar gilt $\begin{eqnarray*} |R_2(x)|\leq \frac{\sin\frac\pi4}{3\left(\cos\frac\pi4\right)^3} \cdot x^3 = \frac23x^3 \end{eqnarray*}$

Das ist kein Zufall. Auf diese Weise ist auch (höchstwahrscheinlich) deine Aufgabe entstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

29.04.2007, 21:12

MrMilk

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Hallo therisen,

ich glaube so langsam geht mir ein Licht auf oder anders gesagt ich kann meine Fragen präziser stellen.

Zum einen habe ich den Satz von Larange nur in anderer Form. Bei mir steht $\begin{eqnarray*} \xi +\Theta (x-\xi ) \end{eqnarray*}$ . Würde dieses in deinem Fall den gewählten $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ entsprechen?

Aber was für mich noch viel wichtiger ist, was ist das Restglied? Ich komme da zu keinem richtigen Schluss. Auch auf Wikipedia steht nur wie es berechnet wird, aber nicht was es ist - komme mir grade leider sehr doof vor.

Viele Grüße
-- MrMilk

29.04.2007, 21:16

therisen

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Nun es soll $\begin{eqnarray*} f(x)=T_n(x)+R_n(x) \end{eqnarray*}$ gelten, d.h. $\begin{eqnarray*} R_n(x) \end{eqnarray*}$ ist definiert durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} R_n(x)=f(x)-T_n(x) \end{eqnarray*}$ .

Wie lautet denn der Satz von Lagrange genau bei euch (damit meine ich OHNE Abschreibfehler!).

Gruß, therisen

29.04.2007, 21:46

MrMilk

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Hallo therisen,

hier nun Wort für Wort:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f:I\to \mathbb R (n+1) \end{eqnarray*}$ -mal differenzierbar und $\begin{eqnarray*} \xi , x \in I, \xi \neq x \end{eqnarray*}$ .

Dann existiert eine Zahl $\begin{eqnarray*} \Theta \in ]0,1[ \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} R^n_\xi f(x)= \frac{f^{(n+1)}(\xi +\Theta (x-\xi ))}{(n+1)!}\cdot (x-\xi)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Man beachte, dass $\begin{eqnarray*} \xi + \Theta (x-\xi ) \end{eqnarray*}$ nichts anderes als eine Schreibweise zur Bezeichnung einer Zahl zwischen $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist.

Hinzu haben wir noch eine Folgerung:

Zitat:

Folgerung. Sei $\begin{eqnarray*} I\to K (n+1) \end{eqnarray*}$ -mal differenzierbar, und für alle $\begin{eqnarray*} x\in I \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} |f^{n+1}|\le M. \end{eqnarray*}$

___________________

Danke für das das deutliche hinweisen auf

Zitat:

...Nun es soll $\begin{eqnarray*} f(x)=T_n(x)+R_n(x) \end{eqnarray*}$ gelten...

Jetzt ist mir das auch klar, was du mit dem Zufall meintest.

Und wenn ich noch mehr darüber nachdenke, hast du immer auf das Restglied verwiesen, da durch umstellen gelten muss, $\begin{eqnarray*} R_n \geq \frac{2}{3}x^2 \end{eqnarray*}$ . Da dieses gleich ist, ist damit auch gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)-T_n|\le \frac{2}{3}x^2 \end{eqnarray*}$ , richtig?

Somit bleibt nur noch eine Frage für mich offen, wie hast $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ gewählt. Ich gehe einfach davon aus, dass du noch nicht die deckungsgleichen Funktionen im Kopf hattest, deswegen das interesse.

Viele Grüße
-- MrMilk

30.04.2007, 10:06

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Und wenn ich noch mehr darüber nachdenke, hast du immer auf das Restglied verwiesen, da durch umstellen gelten muss, $\begin{eqnarray*} R_n \geq \frac{2}{3}x^2 \end{eqnarray*}$ . Da dieses gleich ist, ist damit auch gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)-T_n|\le \frac{2}{3}x^2 \end{eqnarray*}$ , richtig?

Ja und nein. Richtig ist, dass ich immer auf das Restglied verwiesen habe. Es muss aber $\begin{eqnarray*} R_n(x)\leq\frac23x^3 \end{eqnarray*}$ gelten!

Zitat:

Original von MrMilk
Somit bleibt nur noch eine Frage für mich offen, wie hast $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ gewählt. Ich gehe einfach davon aus, dass du noch nicht die deckungsgleichen Funktionen im Kopf hattest, deswegen das interesse.

Das wird doch aus dem Graphen ersichtlich: Für $\begin{eqnarray*} \xi=\frac\pi4 \end{eqnarray*}$ wird das Restglied maximal - und dann nimmt es höchstens den Wert $\begin{eqnarray*} \frac23x^3 \end{eqnarray*}$ an.

Gruß, therisen

30.04.2007, 20:24

MrMilk

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Hallo therisen,

bei dem Ersten stimme ich dir sofort zu, ich weiß grade auch nicht wie ich auf größergleich gekommen bin.

Allerdings macht das Zweite mir inzwischen starke Kopfschmerzen.

Leider habe ich nur die Restgliedformel mit der $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ notation. Deswegen würde ich es gerne in dieser Schreibweise tun.

Damit komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{sin(\xi +\Theta (x-\xi ))}{3\cdot cos^3(\xi +\Theta (x-\xi ))}\cdot (x-\xi )^3 \end{eqnarray*}$

Das erste was mir auffällt ist, dass $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ , aber ich hoffe, dieses kann ersteinmal vernachlässigt werden.

So steht nur noch folgedes da:

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(\xi )}{3\cdot cos^3(\xi )}\cdot (x-\xi )^3 \end{eqnarray*}$

Auch wenn ich meine bloße Unwisseheit hier zur schau stelle, so möchte ich trotzdem fragen wieso du dort $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (x-\xi )^3 \end{eqnarray*}$ stehen hast.
Und meine zweite und hoffentlich letzte Frage, wie kommt man auf das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ohne diese Grafik. Dieses besonders aufdringliche fragen nach $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ soll nicht böse gemeint sein, aber in einer Prüfung hätte ich eben nicht einen gezeichneten Graphen und müsste es mit Worten begründen.

Srry, für die vielen Fragen, ist aber wie gesagt im Kopf noch nicht rund...

Viele Grüße
-- MrMilk

30.04.2007, 20:52

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Das erste was mir auffällt ist, dass $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ , aber ich hoffe, dieses kann ersteinmal vernachlässigt werden.

Nein, das $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ ist von entscheidender Bedeutung!

In deinem Fall bedeutet $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ die Entwicklungsstelle! Bei mir ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ der Entwicklungspunkt, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorpolynom#Restgliedformeln.
Es ist also bei dir $\begin{eqnarray*} \xi = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und dann musst du $\begin{eqnarray*} \Theta=1 \end{eqnarray*}$ wählen, weil der Faktor vor dem $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ dann maximal wird. Um das strenge monotone Wachsen einzusehen kannst du auch einfach mal die 1. Ableitung bilden und du wirst sehen, dass diese positiv ist (und deine Funktion daher streng monoton steigt!).

Gruß, therisen

30.04.2007, 23:15

MrMilk

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Jetzt bin ich total verwirrt. traurig

traurig

Ich dachte immer Entwicklungspunkt wäre Entwicklungsstelle. Und eben war noch $\begin{eqnarray*} \xi =\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Viele Grüße
-- MrMilk

30.04.2007, 23:54

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Entwicklungspunkt wäre Entwicklungsstelle. Und eben war noch $\begin{eqnarray*} \xi =\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Entwicklungspunkt ist auch gleich der Entwicklungsstelle Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die gängige Definition der Lagrangeschen Restgliedformel findest du bei Wikipedia. Die Version deines Professors hat den Nachteil, dass sie v.a. schwächere Studenten verwirrt, wenn sie diese Standardversion lesen. Du musst dir eben klar machen, dass die beiden $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ eine unterschiedliche Bedeutung haben. Dazu musst du genau lesen.

Gruß, therisen

01.05.2007, 18:38

MrMilk

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Puh,

so langsam erkenne ich in all dem Sinn. Aber deine Wahl von Theta macht mich noch nicht ganz glücklich. Wenn ich mich nicht ganz täusche, drückt das Theta eine Zahl zwischen $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus und da x maximal $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ werden kann, so kann doch Theta höchstens $\begin{eqnarray*} 0.7853... \end{eqnarray*}$ werden. Zumindest glaube ich das nach der Definition die ich habe, welche ich auch nutzen muss :-(

Oder nicht?

Viele Grüße
-- MrMilk

01.05.2007, 19:26

therisen

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Wie soll ich dir das nur verständlich machen... Probieren wir es einmal geometrisch:

$\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist dein "Aufpunkt" auf der x-Achse. Dein "Verbindungsvektor" ist $\begin{eqnarray*} (x-\xi) \end{eqnarray*}$ . Du willst nun irgendeinen Punkt zwischen $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erreichen, d.h. du bewegst dich um $\begin{eqnarray*} 0\leq1\leq\lambda \end{eqnarray*}$ auf deiner Geraden mit Aufpunkt $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ , d.h. diese Punkte sind gegeben durch $\begin{eqnarray*} \xi+(x-\xi)\lambda \end{eqnarray*}$ .

Dein Professor hat eben $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ genommen.

Gruß, therisen

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