Fipunkt berechnen

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17.12.2004, 17:49	Jasmin83	Auf diesen Beitrag antworten »
Fipunkt berechnen Hallo, kann mir jemand von euch bei folgender Aufgabe weiterhelfen: Sei $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma : C(\mathbb R ) -> C(\mathbb R ), \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\gamma g)(t)=\alpha + \int_{0}^{t}~g(s)~ds \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} g[0]:=\alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g[k+1]:=\gamma g[k] \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie g[1], g[2], g[3], "erraten" Sie den Grenzwert g und überprüfen Sie, dass g ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ist. Hab keine Ahnung, was ich da machen soll?! Die Klammern [] beudeten, das Zeichen darin steht im Index. Grüße Jasmin
17.12.2004, 17:55	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fipunkt berechnen Ich denke, die Aufgabenstellung ist schon sehr klug formuliert, so dass sie dich schrittweise zur Lösung führt: Du fängst an mit der konstanten Funktion $\begin{eqnarray} g_0(t)=\alpha \end{eqnarray}$ Nächster Schritt: $\begin{eqnarray} g_1(t)=[\gamma g_0](t)=\alpha+\int\limits_0^t~g_0(s)~ds=\alpha+\int\limits_0^t~\alpha~ds=? \end{eqnarray}$ usw. - immer einfach einsetzen und integrieren, genau so dann bei g_2(t) und g_3(t).
18.12.2004, 12:40	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch bekannt unter "Picard - Lindelöf - Iteration"
18.12.2004, 13:30	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
... der Differenzialgleichung y'=y, y(0)=alpha .
18.12.2004, 17:19	Jasmin83	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fipunkt berechnen Cool das hat mir jetzt schonmal geholfen, also für g[3] hab ich jetzt raus: $\begin{eqnarray} \alpha + \alpha t + \alpha t^{2} + \alpha t^{3} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Dann tipp ich mal, dass der Grenzwert unendlich ist, weil t ja bei jedem Folgenschritt um eine Potenz höher wird. Und wenn ich die einen Limes auf die Abbildung jage, bekomm ich wieder unendlich raus. Korrekt? Danke und LG
18.12.2004, 17:30	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fipunkt berechnen Das ist leider falsch, richtig ist $\begin{eqnarray} \alpha + \alpha t + \frac{\alpha}{2} t^{2} + \frac{\alpha}{6} t^{3} \end{eqnarray}$ Wenn du deine Rechnung zu g_2 zeigst, dann können wir dir bestimmt den Fehler aufzeigen (g_1 hast du wahrscheinlich noch richtig).
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18.12.2004, 17:51	Jasmin83	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fipunkt berechnen $\begin{eqnarray} g_2=(\gamma g_1)(t)=\alpha + \int_{0}^{t}~(\alpha +\alpha t)~ds= \alpha + [\alpha s + \alpha t s]_{0}^t = \alpha + \alpha t + \alpha t^{2} \end{eqnarray}$
18.12.2004, 17:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fipunkt berechnen (Hab ich mir fast gedacht.) Richtig ist $\begin{eqnarray} g_2(t)=\alpha+\int\limits_0^t~g_1(s)~ds=\alpha+\int\limits_0^t (\alpha+\alpha s)~ds=\alpha+\left[\alpha s+\alpha\frac{s^2}{2}\right]_{s=0}^t=\alpha+\alpha t+\frac{\alpha}{2}t^2 \end{eqnarray}$ Du hast unterm Integral g(t) statt g(s) eingesetzt!
18.12.2004, 18:14	Jasmin83	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fipunkt berechnen Cool dank Dir nun hab ichs verstanden. Aber mit dem Grenzwert und dem Fixpunkt hab ich doch recht oder?
18.12.2004, 18:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fipunkt berechnen "Grenzwert" ist der falsche Begriff - zumindest als Wert im Sinne einer reellen Zahl. Grenzfunktion ist schon richtiger, denn g steht nur als Kurzform für g(t) Richtig ist, dass bei g_n(t) ein Potenzterm (Konstante * t^n) dazukommt. Als Grenzfunktion für n gegen Unendlich kommt dann (bei Ausklammern des Faktors alpha) die Taylorreihe einer sehr bekannten Funktion heraus...
18.12.2004, 18:36	Jasmin83	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fipunkt berechnen Oh hm komm ich nicht drauf. Kannst Du mir es vielleicht sagen?
18.12.2004, 18:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fipunkt berechnen Naja, ich verrate dir zumindest $\begin{eqnarray} g_n(t)=\alpha\cdot\sum\limits_{k=0}^n \frac{t^k}{k!} \end{eqnarray}$ , lässt sich durch vollständige Induktion leicht beweisen. Und was jetzt für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ passiert, sollte nicht mehr so schwer sein. Du hast doch bestimmt eine Tabelle der Reihenentwicklungen wichtiger Funktionen (in einem Tafelwerk o.ä.) zum Vergleichen, oder?
18.12.2004, 18:46	Jasmin83	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fipunkt berechnen Es ist die Exponentialreihe und die konvergiert gegen e?! Vielen lieben Dank
19.12.2004, 14:41	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Da konvergiert nichts gegen einen Wert sondern gegen eine "Funktion".

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