differenzierbare Funktion

17.12.2004, 22:21

Anaiwa

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differenzierbare Funktion

Es sei f: R--> R eine diffbare Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(t+t')=f(t)*f(t') \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t,t' \in R \end{eqnarray*}$ , und es sei $\begin{eqnarray*} f(0)\neq 0. \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: es Existiert ein $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(t)=e^{at} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in R \end{eqnarray*}$ .

Hinweis: Benutzen Sie die Voraussetzung zunächst um zu begruenden, das f(0)=1 sein muss. Leiten sie dann eine Differentialgleichung für f her und bestimmen sie deren Lösung.

Begruendung warum $\begin{eqnarray*} f(0)=e^{at}=1 \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} f(0)=e^{a*0}=e^{0}=1 \end{eqnarray*}$ w.z.Z.w.

nun stell ich $\begin{eqnarray*} f(t+t')=f(t)*f(t') \end{eqnarray*}$ nach f(t) um

$\begin{eqnarray*} \frac{f(t+t')}{f(t')}=f(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)=e^{at} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(t)=e^{at}*a \end{eqnarray*}$

seite ich ein:

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{at}+e^{at}*a)}{e^{at}*a}=f(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{at} \end{eqnarray*}$ auklammer un kuerzen dann steht da noch:

$\begin{eqnarray*} (1+a)=f(t) \end{eqnarray*}$ so daraus sieht man das es für jedes t ein a gibt

17.12.2004, 22:35

murray

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RE: differenzierbare Funktion

Zitat:

Original von Anaiwa
nun stell ich $\begin{eqnarray*} f(t+t')=f(t)*f(t') \end{eqnarray*}$ nach f(t) um

$\begin{eqnarray*} \frac{f(t+t')}{f(t')}=f(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)=e^{at} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(t)=e^{at}*a \end{eqnarray*}$

seite ich ein:

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{at}+e^{at}*a)}{e^{at}*a}=f(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{at} \end{eqnarray*}$ auklammer un kuerzen dann steht da noch:

$\begin{eqnarray*} (1+a)=f(t) \end{eqnarray*}$ so daraus sieht man das es für jedes t ein a gibt

Warum hab ich das Gefühl, dass man immer das sieht was man sehen will? verwirrt

verwirrt

Naja, vielleicht komm ich ja einfach nur nicht mit: Wie wird aus t' auf einmal f'()
und wie kann das eine wahre aussage sein ((1+a)=f(t)), wenn oben die Startbedingung anders (f(t)=e^(a*t)) lautet?????????
Und nur damit´s eindeutig ist: mit t meinst Zeitpunkt1 (t1) und mit t' meinst Zeitpunkt2 (t2)!

mfg

17.12.2004, 22:42

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RE: differenzierbare Funktion
Ja, da ist einiges durcheinander - so wird z.B. teilweise die erst zu ermittelnde Lösung bereits verwendet.

17.12.2004, 22:48

Anaiwa

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Gut laut dem anderen thema was ich laufen habe muss da ein integral im spiel sein.

aber das ist doch richtig das ich beweisen habe das es eins ist!?

f(t)=e^{at}

$\begin{eqnarray*} \int e^{at}=e^{at}*\frac{1}{a}+C \end{eqnarray*}$ ist das bis hier hin ok?

17.12.2004, 22:53

murray

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RE: differenzierbare Funktion
Ich würde eher so anfangen (x und y sind halt meine Lieblingsvariablen Augenzwinkern

Augenzwinkern

, find ich auch wesentlich übersichtlicher (man muss nicht immer verkrampft nach so einem ' suchen!)):
$\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)\cdot f(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(f(x+y))=ln(f(x))+ ln(f(y)) \end{eqnarray*}$

ln(f(t))=g(t)

$\begin{eqnarray*} g(x+y)=g(x)+ g(y) \end{eqnarray*}$

Vermutung Linearer Zusammenhang:

$\begin{eqnarray*} g(t)=a\cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y \end{eqnarray*}$
Durch so einen Zusammenhang ließe es sich beschreiben!

$\begin{eqnarray*} f(t)=e^{a\cdot t} \end{eqnarray*}$

mfg

Edit: Jipp, da hat A.D. vollkommen recht, alle Lösungen sind damit nicht gezeigt (oder widerlegt)!

17.12.2004, 22:54

AD

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@Anaiwa

f(t)=e^{a*t} musst du aber erst noch zeigen - benutzen darfst du zunächst mal nur die Funktionalgleichung f(t+t')=f(t)*f(t') mit f(0)!=0.

Selbst das Einsetzen von f(t)=e^{a*t} in diese Funktionalgleichung ist nur der Nachweis, dass dieses f tatsächlich Lösung ist - aber es ist kein Nachweis, dass es nicht eventuell weitere Lösungen geben könnte.

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17.12.2004, 23:09

Anaiwa

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hoeeeeeeeeeeee soll ich also nun deine sachen mit diesem ganzen zeugs rechnen? und was ist mit dem beweis das es gelich 1 ist, das ist doch ok.

17.12.2004, 23:14

murray

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Nein! Der Beweis (der ja auch viel zu simpel wäre, um ihn als hausübung aufzugeben) taugt "nur" dazu, zu zeigen, dass e^(a*t) eine mögliche Lösung ist! (Deswegen muss es aber nicht die Lösung sein (allgemeine Lösung))! Das ist wie bei Differenzialgleichungen! (Da hast auch (zu mindest bei den linearen) ein Homogene Gleichung und eine partikuläre)! Die partikuläre allein wäre einfach zuwenig!

Wie zeigst du denn dass f(0)=1 ? Wenn das hast, dann kannst das als Entwicklungspunkt verwenden!

mfg

17.12.2004, 23:26

Anaiwa

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ein Homogene Gleichung und eine partikuläre)! Die partikuläre allein wäre einfach zuwenig!

was versteh ich denn bitte draunter uff.

ich muss dennoch mit der komischen gelichung t'+t=... etwas anfangen oder muss ich ein integral ausrechnen?

17.12.2004, 23:32

murray

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Nein, nein!
Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass wenn gilt:
f(x+y)=f(x)*f(y) und f(0)<>0, dann ist f(t)=e^(a*t)

Und durch den Beweis, dass es testest (was ich vorher gezeigt habe), weisst zwar dass dies eine mögliche Lösung wäre, aber du hast keine Garantie, ob es nicht vielleicht eine 2. geben könnte! Zum Beispiel eine andere Lösung wäre f(t<>0)=0 und f(t=0)=1 (Aber du hast ja noch die Bedingung, dass sie überall differenzierbar sein soll, daher ist diese Variente nicht Teil der Lösung)
Also immer eins nach dem anderen:
Zeig mal zuerst, dass f(0)=1 wenn f(0)<>0

mfg

17.12.2004, 23:49

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} f(t+t')=f(t)*f(t') \end{eqnarray*}$

gut für f(x) kann ich ja e^{at} einsetzen

$\begin{eqnarray*} e^{ax+y}=e^{ax} *f(y) \end{eqnarray*}$

weiter mach ich erstmal nicht da esbestimmt wieder fallsch ist.

17.12.2004, 23:57

murray

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Freude

Da hast du leider recht!
Also vergiss e^(blablabalbab). Das beisst mal keinen, du sollst jetzt mal in erster Linie zeigen, dass
f(0)=1 sein muss mit deinen Bedingungen (nicht mit deinem zu erwartenden ergebniss! (Das brauchst jetzt bis zum schluss nicht mehr))!

mfg

18.12.2004, 00:04

Anaiwa

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mhh dann muss ich aber mal überlegen dann rate ich mal mit de werte 0 und eins rum ^^

etweder so:

$\begin{eqnarray*} f(t+t')=f(0)*f(t') \end{eqnarray*}$

oder so

$\begin{eqnarray*} f(t+t')=1*f(t') \end{eqnarray*}$ aber das sieht mir logischer aus, also durch das ausschluss verfahren nehm ich diese gleichung ^^

$\begin{eqnarray*} f(1+t')=1*f(t')=f(t') \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1+t')=f(t') \end{eqnarray*}$

schön und nun kommich mal net weiter da ich ja nicht einfach die f's wegnehmen dar denn dich wär schoen

18.12.2004, 00:25

murray

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Da ist aber wieder der hund drinnen! verwirrt

verwirrt

Du wirst die Gleichung nicht richtig lösen können eher du nicht diesen kleinen schritt richtig gemacht hast!

$\begin{eqnarray*} f(x+0)=f(x)\cdot f(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x)\cdot f(0) \end{eqnarray*}$

x=0

$\begin{eqnarray*} f(0)=f(0)\cdot f(0) \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} z=z^{2} \end{eqnarray*}$ /:z

Auflösen nach z:
$\begin{eqnarray*} z_{0}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=z \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} z_{1}=1 \end{eqnarray*}$

Da z=0 laut deiner Bedingung (f(0)<>0) nicht zugelassen ist, ist f(0)=1

klaro verwirrt

verwirrt

mfg

18.12.2004, 00:30

Anaiwa

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was wieso ist auf einmal f(y)=0?? das ist doch f(x)=0!

boa wie kommst du nun drauf fr x nul zufählen?

ahhhhh

dumeinst dann bestimmt f(x)=0 setzen

und f(0) muss ungelich null sien da hast du recht ud wieder durch substitution oh man der proff ach egal.

früh uebt sich

oh man ich weiss nicht wie ich die ansetze immer wählen soll sonst ist es alles so logisch aber wenn der ansatz fehlt, dann gehts ja bekanntlhc nichts. gibs ein trick wie manes erkennen kann?

18.12.2004, 00:38

murray

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Also:
$\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)\cdot f(y) \end{eqnarray*}$

Jetzt setz ich y=0:
$\begin{eqnarray*} f(x+0)=f(x)\cdot f(0) \end{eqnarray*}$

f(0) hat irgendeinen Wert (den will ich ja ermitteln)! links: x+0 ist natürlich x
=> $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x)\cdot f(0) \end{eqnarray*}$

Jetzt setz ich auch noch x=0:
$\begin{eqnarray*} f(0)=f(0)\cdot f(0) \end{eqnarray*}$

Also hab ich jetzt 1 unbekannte (f(0)). Die ersetz ich (damits schöner ist) durch z:

$\begin{eqnarray*} z=z^{2} \end{eqnarray*}$

Und das ist ne hundsnormale quadratische Gleichung (=> 2 Ergebnisse)! Da aber f(0)=0 nicht erlaubt ist (wegen Bedingung f(0)<>0), hast nur ein zulässiges ergebniss und das ist f(0)=1

mkay now verwirrt

verwirrt

(War doch garnicht so schwer oder?)

18.12.2004, 00:41

Anaiwa

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Wie du gesagt hast schwer ist es nicht nach dem man den ansatz gefunden hat!!!!

aber den habe ich ja nun mal nicht gefunden uich ahtte f(x) null gesetzt und wieso weist du das du x=0 setzt nur weíl es nicht nurl sein darf oder wie?

nun soll ich ein diffgelichunherleiten für f(x)=e^{at} also soll ich da ein unbestimmtes integral nehmen? oder von 1 bis undenlich gehn?

aber ich weis simmernoch nicht warum ich für f(t') nun f(0) nehame ahhh

18.12.2004, 00:54

murray

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Bezüglich: Woher weiss ich das:
Sagen wir so: Er ist der einzige Ansatz der mir einfiehl! Und hätte ich ihn nicht gesehn, hätte ich dir auch nicht geantwortet (weil ich ja nichts zu melden gehabt hätte)!
(Aber manchmal sieht man halt den Ansatz und manchmal halt nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Zu: Warum x=0
Das mit dem x=0 setzten und y=0 setzten, war desshalb das erste, weil da 2 Probleme wegfallen (x und y)! Du musst immer versuchen soviel "wegzukillen" wie geht (dies ist auch auf viele andere Probleme anwendbar)! Und Rechnungen mit 0 sind öfter fein! Weil 0+x wieder x ergibt! Es ist ein Neutrales element für die Addition (daher manchmal praktisch)! Du musst dir zuerst anschauen, was ist eigentlich das Problem und dann versuchen es zu vereinfachen! Und wenn du einen zusammenhang nachweisen sollst in der form: formatiertes (y) =y + Störfunktion dann ist es meist nicht ratsam einfach nur herumzuprobieren! Weil es können hin und wieder mehrere Lösungen herauskommen! => Wenn du eine findest, weisst noch immer nicht ob es nicht vielleicht eine zweite geben könnte!

Bezüglich der Rechnung:
ist jetzt klar oder hab ich eher verwirrt

verwirrt

18.12.2004, 01:02

Anaiwa

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Zitat:

Original von murray
Du musst dir zuerst anschauen, was ist eigentlich das Problem und dann versuchen es zu vereinfachen! Und wenn du einen zusammenhang nachweisen sollst in der form: formatiertes (y) =y + Störfunktion dann ist es meist nicht ratsam einfach nur herumzuprobieren! Weil es können hin und wieder mehrere Lösungen herauskommen! => Wenn du eine findest, weisst noch immer nicht ob es nicht vielleicht eine zweite geben könnte!

Bezüglich der Rechnung:
ist jetzt klar oder hab ich eher verwirrt

verwirrt

ab da wo ich es eingekesselt habe ist es mir nicht klar und logsich nul ist neutral und x+0 ist x gg aber der rest uff.

Weiter:

nun soll ich ein diffgelichunherleiten für f(x)=e^{at} also soll ich da ein unbestimmtes integral nehmen? oder von 1 bis undenlich gehn?

aber ich weis simmernoch nicht warum ich für f(t') nun f(0) nehame ahhh

18.12.2004, 03:48

Poff

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du hast doch in der Voraussetzung eine Beziehungsgleichung der
gesuchten Funktion die dir GARANTIERT das folgendes gilt

f(Wert1+Wert2) = f(Wert1)*f(Wert2)

und 'Wert' darf ein völlig freier Wert aus dem Definitionsbereich der
Funktion sein, weil diese Bedingung für ALLE Werte aus dem
Definitionsbereich erfüllt ist.

Also versuchst durch geschickte Wahl für 'Wert' zusammen mit
dem Wenigen das du schon hast, an weitere Eigenschaften der
Funktion heranzukommen wie z.B. ..

f(0) = f(0+0) == f(0)*f(0)
f(2) = f(1+1) == f(1)*f(1)
f(3) = f(2+1) = ... == f(1)^3

f(n) = f(1+ ...+1) == f(1)^3 ....... n aus N

f(a) = f(a+0) == f(a)*f(0)

f(-a) = f(-a+(a-a)) == f(-a)*f(a-a) = f(-a)*f(a)*f(-a)
=> f(-a)/(f(a)*f(-a)) = f(-a) => 1/f(a) =f(-a)

f(0) = f(-a+a) == f(-a) * f(a) <> 0 nach Vorauss.
=> f(-a) <> 0, f(a) <> 0 für alle a aus Def.

usw. das sollten einfach mal Beispiele sein OHNE ein
bestimmtes Ziel damit zu verfolgen, nur um ..
.

18.12.2004, 10:36

AD

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@Anaiwa

Obwohl mir einige deiner Umformungen die Haare zu Berge stehen lassen, will ich doch etwas zu deiner "Entlastung" hervorbringen. Aus anderen Threads habe ich erfahren, dass du Biologie o.ä. studierst, und ich daher annehme, dass die hier vorliegende Aufgabe aus einem Mathematik-Kurs für diesen Hörerkreis stammt. Nach meinen Erfahrungen in der Mathematik-Hochschulausbildung von Ingenieuren und Naturwissenschaftlern finde ich unter diesen Rahmenbedingungn diese Aufgabe ziemlich ungewöhnlich. Normalerweise findet doch eine eher pragmatisch orientierte Ausbildung statt (Modellvorstellung, sowie Lösungsverfahren dafür). Bei dieser Aufgabe hier handelt es sich jedoch um einen Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis, meines Erachtens eher was für Mathematik-Studenten. Damit will ich nicht sagen, dass Fachfremde sowas nicht lösen dürfen, sondern dass sie es vielleicht nicht unbedingt können müssen.

So, wie du die Aufgabe zunächst verstanden hast, hätte sie eher so lauten müssen:

"Zeigen Sie, dass e^{at} für beliebige reelle Zahlen a eine Lösung der Funktionalgleichung f(t+t')=f(t)*f(t') für beliebige reelle t, t' ist."

Kurz und gut, unter "Verletzung" der Boardregeln will ich hier mal die Folter beenden, und darlegen, wie die Lösung gemeint ist:

f(0)=1 hat murray schon gezeigt.

Jetzt subtrahiere f(t) von der Funktionalgleichung und dividiere durch t', das geht natürlich nur für t' ungleich Null:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(t+t')-f(t)}{t'}=\frac{f(t)\cdot f(t')-f(t)}{t'}=f(t)\cdot \frac{f(t')-1}{t'}=f(t)\cdot \frac{f(0+t')-f(0)}{t'}\qquad \end{eqnarray*}$ (*)

Nun wissen wir, dass f differenzierbar ist - das heißt, der Differenzialquotient

$\begin{eqnarray*} f'(t)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h} \end{eqnarray*}$

existiert, damit existiert der rechts stehende Grenzwert für alle t.

Das benutzen wir jetzt für (*), indem wir h=t' setzen und das gegen Null gehen lassen. Dann steht da:

$\begin{eqnarray*} f'(t)=f(t)\cdot f'(0) \end{eqnarray*}$

f'(0) ist gewissermaßen frei wählbar, und wenn wir diesen Wert mit a bezeichnen, also f'(0)=a, dann hat die Differenzialgleichung f'(t)=a*f(t) mit f(0)=1 gerade die Lösung f(t)=e^{at}. (Die Lösung dieser Standard-Differenzialgleichung hast du bestimmt schon woanders gesehen, deshalb habe ich mich dabei kurz gefasst.)

18.12.2004, 14:16

etzwane

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Zitat:

Original von Anaiwa
Hinweis: Benutzen Sie die Voraussetzung zunächst um zu begruenden, das f(0)=1 sein muss. Leiten sie dann eine Differentialgleichung für f her und bestimmen sie deren Lösung.

Es sei f(x+y) = f(x)*f(y) als andere Schreibweise anstelle von f(t+t')=f(t)*f(t')

Daraus:
y=0 gesetzt, ergibt: f(x+0) = f(x)*f(0), d.h. f(x) = f(x)*f(0), ergibt f(0)=1, wenn f(x)=0 als Lösung ausgeschlossen werden darf.
y=-x gesetzt, ergibt: f(0) = f(x)*f(-x), also f(-x) = 1/f(x) wegen f(0)=1 für die Funktionswerte bei negativen Argumenten

Die Ausgangsgleichung läßt sich auch schreiben f(z) = f(x)*f(y) mit z=x+y, und unter der Voraussetzung, dass die gesuchte Funktion stetig, differenzierbar usw. ist, wird jetzt formal differenziert (um eine Differentialgleichung herzuleiten, siehe Aufgabenstellung):

die Gleichung differenziert nach x, wobei y als Konstante betrachtet werden soll, ergibt für die linke Seite df(z)/dz*dz/dx = df(z)/dz*1 = df(z)/dz wegen dz/dx=1, und für die rechte Seite f(y)*df(x)/dx, also df(z)/dz = f(y)*df(x)/dx

und genauso, wenn die Gleichung nach y differenziert wird, wobei jetzt x als Konstante betrachtet werden soll, folgt df(z)/dz = f(x)*df(y)/dy

zusammengefasst also df(z)/dz = f(y)*df(x)/dx = f(x)*df(y)/dy
und daher, wenn man die x und y auf jeweils eine Seite bringt (Trennung der Variablen)
[1/f(x)]*df(x)/dx = [1/f(y)]*df(y)/dy

Hier sind rechte und linke Seite der Gleichung von unterschiedlichen Variablen abhängig und gleich, und das geht nur, wenn sie gleich einer gemeinsamen Konstanten sind, z.B. k, also folgt

[1/f(x)]*df(x)/dx=k oder df(x)/f(x)=k*dx als Differentialgleichung für f(x)
mit der Lösung ln(f(x))= k*x+C mit einer Integrationskonstanten C
oder f(x)=e^C*e^(k*x) = A*e^(k*x) mit anderer Schreibweise A=e^C

Wegen f(0)=1 folgt 1 = A*e^0 = A*1 , also A=1
und für die gesuchte Funktion: f(x) = e^(k*x)

Probe: f(x)*f(y) = e^(k*x)*e^(k*y) = e^(k*(x+y)) = f(x+y)

Setzt man noch k=a und schreibt für x jetzt wieder t, so erhält man die gesuchte Funktion der Aufgabenstellung: f(t) = e^(a*t)

Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Vollständigkeit der Lösungen sind jetzt noch zu untersuchen.

18.12.2004, 14:36

AD

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@etzwane

Im Gegensatz zu

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=93148#post93148

habe ich diesmal nichts zu meckern - dank Differenzierbarkeitsvoraussetzung konntest du dich diesmal (auch mathematisch) richtig austoben. smile

smile

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