fiese lineare algebra aufgaben

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tob0 Auf diesen Beitrag antworten »
fiese lineare algebra aufgaben
ok, bräuchte mal eure hilfe... schnell!!
und zwar wäre es cool, wenn ihr mir paar lösungsansätze geben könntet:

aufgabe 1
Gegeben sei der Vektorraum der Polynome vom Grad 3. Bestimme die Matrixdarstellung der identischen Abbildung bzgl. folgender Basen: Basis des Ausgangsraumes ist ((1 + x); x; (x + x2); (x2 + x3)); Basis des Bildraumes ist (1; x; x2; x3). Identische Abbildung heisst, dass jedes Element auf sich selbst abgebildet wird.


aufgabe 2
(a) Bestimme die Matrixdarstellung einer Drehung im R3 um den Winkel bzgl. der Drehachse (1; 2; 1).
b) Bestimme die Matrixdarstellung der linearen Abbildung, die aus der Drehung in (a) und anschliessender Punktspiegelung bzgl. des Ursprungs hervorgeht.

hätte noch eine, falls ihr lust habt..
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fiese lineare algebra aufgaben -- bitte schnelle hilfe
zunächst mal: ich nehme an, dass mit x2 der Ausdruck x² und mit x3 der Ausdruck x³ gemeint ist.
Identische Abbildung heißt doch, dass z.B. 1+x auf sich selbst abgebildet wird. Also wird der Vektor (1;0;0;0) bezüglich der Basis des Ausgangsraums auf (1;1;0;0) bezüglich der Basis des Bildraums abgebildet. Wie sieht also die 1. Spalte der Abbildungsmatrix aus?
 
 
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

1) man nimmt sich ein beliebiges Pol in Basisdarstellung bezüglich der Ausgangsbasis. (a,b,c,d reell)
a(1+x)+bx+c(x+x²)+d(x²+x³)
=dx³+(c+d)x²+(a+b+c)x+a
das heisst ein Polynom das in der Ausgangsbasis die Koordinaten (a,b,c,d) hat, hat im Bildraum die Kooridaten (a, a+b+c, c+d, d).
Also suchen wir die Matrix die den Vektor (a,b,c,d) auf (a, a+b+c, c+d, d) abbildet.
Das macht die Matrix
1 0 0 0
1 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1

2 a) ist eine Anwendung von 1)
man vervollständigt e1=(1,2,1) zu einer orthogonalen Basis des R3 (orthogonal ist wichtig, sonst klappt es nicht), ich nenn die beiden neuen Basisvektoren mal e2 und e3. dann hat ein Vektor im R³ die Form a*e1 + b*e2 + c*e3 . Dann wird bei der Drehung e1 konstant gehalten und e2 und e3 verhalten sich wie eine Drehung in der Ebene, sein der Drehwinkel t dann ist die Abb.
1 0 0
0 cos(t) sin(t)
0 -sin(t) cos(t)
das muss man jetzt noch in die Standardbasis des R³ umtransformieren.
b) Punktspiegelung hat die Matrix
-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
Das heisst man berechnet einfach die Verkettung der beiden Abbildung, also das Produkt der beiden Matrix (die Darstellung von a) in Standardbasis verwenden)

ich frage mich wieso du schnelle Hilfe brauchst? ich habe jetzt fast Weihnachten und ich würde gerne wissen, wo du noch Übungen am 23 oder 24. Dezember angeben musst? Wink
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