Problem bei Tangenten

21.12.2004, 21:58

shiggi

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Problem bei Tangenten

Hallo,

ich habe ein Problem im Bereich der Koordinatengeometrie bzgl. Tangenten. Wär schön, wenn ihr mir helfen könntet

Aufg.:
Gegeben ist der der Kreis k durch den Ursprung mit dem Radius
5cm. Vom Punkt P(-1/7), der außerhalb des Kreises liegt, soll eine Tangente an den Kreis gelegt werden. Berechnen Sie die Tangentengleichung.

Hilfe wäre wirklich toll, habe bisher vieles probiert.

Danke im Voraus

21.12.2004, 22:07

Mazze

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edit: mist gelöscht, habs nich richtig gelesen.

21.12.2004, 22:20

mYthos

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@Mazze

das stimmt nicht! Der Punkt P liegt ausserhalb des Kreises und von diesem sind an den Kreis die Tangenten zu legen!

@shiggi

Der Kreismittelpunkt liegt übrigens im Ursprung (nicht: der Kreis geht durch den Ursprung)

Sagen dir die Begriffe Polare, Berührbedingung oder Spaltformel etwas?

@Moderation: Thema --» Geometrie!

Gr
mYthos

21.12.2004, 22:23

sommer87

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VERSCHOBEN nach GEOMETRIE

Danke mythos smile

smile

21.12.2004, 22:55

riwe

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RE: Problem bei Tangenten
damit die gerade g: y = mx + n tangente an den kreis K(0,0,r) ist, muß gelten:
$\begin{eqnarray*} r^{2} (m^{2} +1)=n^{2} \end{eqnarray*}$
mit dem punkt P(-1,7) erhält man damit
$\begin{eqnarray*} 7=-m\pm \sqrt{m^{2}+1} \end{eqnarray*}$
und weiters die beiden geraden
t1: 3y = 4x + 25
t2: 4y = -3x + 25

gruß
werner

22.12.2004, 05:57

shiggi

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Zitat:

Original von mYthos
@shiggi

Der Kreismittelpunkt liegt übrigens im Ursprung (nicht: der Kreis geht durch den Ursprung)

Sagen dir die Begriffe Polare, Berührbedingung oder Spaltformel etwas?

@Moderation: Thema --» Geometrie!

Gr
mYthos

Sorry, habe mich mit dem Forum wohl vertan.

Nein, diese Formeln sagen mir nichts. Haben bisher nur Aufgaben lösen können, bei denen man die Steigung der Tangente ermitteln und Punkt-Steigungsform anwenden konnte. Allewrdings kennen wir hier ja den Berührpunkt nicht.

Die Formel von meinem "Vorposter" verstehe ich nicht so ganz.

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22.12.2004, 06:04

shiggi

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Zitat:

Original von mYthos

@shiggi

Der Kreismittelpunkt liegt übrigens im Ursprung (nicht: der Kreis geht durch den Ursprung)

Sagen dir die Begriffe Polare, Berührbedingung oder Spaltformel etwas?

@Moderation: Thema --» Geometrie!

Gr
mYthos

jo, da habe ich mich vertan, der Ursprung ist M, also der Mittelpunkt und vom Punkt ausserhalb (-1/7) soll die Tangente an den Kreis gelegt werden.

Zitat:

damit die gerade g: y = mx + n tangente an den kreis K(0,0,r) ist, muß gelten:

mit dem punkt P(-1,7) erhält man damit

und weiters die beiden geraden
t1: 3y = 4x + 25
t2: 4y = -3x + 25

gruß
werner

Diese Formel kann ich nicht ganz nachvollziehen...und: wenn man den Punkt und Radius in die Formel von werner einsetzt, bleiben 2 unbekannte oder nicht?

22.12.2004, 09:25

riwe

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hallo shiggi,
diese formel heißt berührbedingung, zumindest hieß sie so, als ich altes manderl noch zur schule ging, vor 45 und mehr jahren.

du hast recht, zunächst hats du eine gleichung in 2 unbekannten, ABER
weil die gerade tangente ist, muß der ausdruck unter der wurzel,

quadratische gleichung: $\begin{eqnarray*} Ax^{2} +Bx+C=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D=\sqrt{B^{2} -4AC} \end{eqnarray*}$

muß also D = 0 sein
(bei D > 0 hast du 2 lösungen (schnittpunkte), bei D < 0 keine lösung)

aus D = 0 ehält man die berührbedingung und die lösung für n

gruß
werner

22.12.2004, 09:36

AD

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Zitat:

Original von wernerrin
(bei D > 0 hast du 2 lösungen (schnittpunkte), bei D < 0 keine lösung)

Wenn du das so schreibst, meinst du aber

$\begin{eqnarray*} D=B^{2} -4AC \end{eqnarray*}$

(also ohne Wurzel.) Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.12.2004, 11:30

shiggi

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danke für die raschen antworten
hm also die berhrbedingung ist größtenteils klar, der radikand muss ja bei jeder tangente =0 sein.
Aber ich verstehe trotzdem nicht, wie mit dieser Formel, dem Radius des Kreises und dem Punkt die nötige Berechnung durchführen kann.

Mir würde es sehr helfen, wenn jemand mal die Aufgabe, die ich oben genannt hab, mit allen Schritten lösen könnte. Nur, wenn es zeitlich passt. Aber ich verstehe nicht ganz, wie man vom Einsetzen zur Lösung kommt. Die Diskriminante muss D sein, ok. Aber weiter...?

22.12.2004, 12:23

etzwane

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Versuch es mal mit dieser Vorgehensweise:

Gegeben sind: r=5 mit Zentrum in (0|0) sowie der Punkt P(x0|y0) = P(-1|7)
Kreisgleichung: x^2+y^2=r^2
Tangentengleichung: y=m*x+n
Gesucht: Tangentenpunkte (x1|y1)

Für die Berührungspunkte x1 und y1 der Tangenten gilt
1) x1^2+y1^2=r^2 wegen (x1|y1) liegen auf dem Kreis
2) y1=m*x1+n wegen Tangenten gehen durch (x1|y1).
3) Außerdem muss sein y0=x0*m+n wegen Tangenten gehen durch P(x0|y0).
Das sind erstmals 3 Gleichungen für die 4 Unbekannten x1,y1,m und n.

4) Die vierte Gleichung muss sich ergeben daraus, dass y=m*x+n eine Tangente an den Kreis ist. Mit y=sqrt(r^2-x^2) für den Kreis durch (0|0) folgt y'=-x/sqrt(r^2-x^2)=-x/y, also für die Tangentensteigung im Punkt (x1|y1) auf dem Kreis: m=-x1/y1.

Das rechnest du jetzt durch, z.B kannst du n mit Hilfe der 2.und 3.Gleichung eliminieren, dann daraus das m mit Hilfe der 4.Gleichung, dann das y1 eingesetzt in die 1.Gleichung liefert dir das x1 (ich nehme mal an, 2 Werte, da 2 Tangenten), daraus das y1, daraus das m und letztendlich das n.

Dieser Lösungsweg ist eigentlich unabhängig von der Art der Kurve, an die die Tangente gelegt werden soll, man muss nur die Gleichung für den Kreis entsprechend ersetzen. Deshalb ist der Rechengang auch etwas aufwendiger.

Ich hoffe, das funktioniert alles so, wie beschrieben, da ich die Aufgabe selbst nicht durchgerechnet habe.

22.12.2004, 12:23

riwe

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$\begin{eqnarray*} K:\;x^{2} +y^{2} =r^{2}\;\; \;g:\;y=mx+n \end{eqnarray*}$
für y in K einsetzen und zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} x^{2}( m^{2} +1)+2mnx+n^{2} -r^{2} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-mn\pm \sqrt{D} }{m^{2} +1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} mit\;D=m^{2}n^{2}-(n^{2}-r^{2})(m^{2}+1)=0 \end{eqnarray*}$
erhält man die berührbedingung
$\begin{eqnarray*} n^{2} =r^{2}(m^{2}+1) \end{eqnarray*}$
das setzt du nun in die geradengleichung ein
$\begin{eqnarray*} g:\;y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1} \end{eqnarray*}$
nun setzt du die werte von P(-1,7) und r=5 ein und hast eine quadratische gleicung für m
$\begin{eqnarray*} 7=-m \pm 5\sqrt{m^{2}+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (m+7)^{2}=25(m^{2}+1)\Rightarrow m_1=\frac{4}{3} \;m_2=-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
alle klarheiten beseitigt?
und es führen noch viele (andere) wege nach rom
werner

22.12.2004, 14:30

mYthos

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Du kannst dennoch auch den Weg über den Berührungspunkt gehen, auch wenn dieser nicht bekannt ist (ähnlich wie bei etzwane, jedoch ohne Ableitung).

Dieser sei $\begin{eqnarray*} T(x_0|y_0) \end{eqnarray*}$

Die Steigung $\begin{eqnarray*} k_t \end{eqnarray*}$ der Tangente dort ist negativ reziprok zur Steigung $\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ des normal darauf stehenden Berührungsradius:

$\begin{eqnarray*} k_n = \frac{y_0}{x_0} \ \ \ k_t = -\frac{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$

Die Tangente $\begin{eqnarray*} y = k_t + d \end{eqnarray*}$ lautet daher $\begin{eqnarray*} y = -\frac{x_0}{y_0} \cdot x + d \end{eqnarray*}$ , auf ihr soll der Punkt (-1|7) liegen, daher ist

$\begin{eqnarray*} 7 = -\frac{x_0}{y_0} \cdot (-1) + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 7 + \frac{x_0}{y_0} \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

Tangente t: $\begin{eqnarray*} y = -\frac{x_0}{y_0} \cdot x + 7 - \frac{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$

Auf der Tangente liegt auch der Berührungspunkt $\begin{eqnarray*} T(x_0|y_0) \end{eqnarray*}$ , dessen Koordinaten für x, y einzusetzen sind:

Wir erhalten dadurch zwei Bedingungen für die Koordinaten des Berührungspunktes (der Berührungspunkte):

1. $\begin{eqnarray*} y_0 = -\frac{x_0}{y_0} \cdot x_0 + 7 - \frac{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x_0^2 + y_0^2 = 25 \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------

1. $\begin{eqnarray*} x_0^2 + y_0^2 = -x_0 + 7y_0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x_0^2 + y_0^2 = 25 \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------

wegen 2. wird 1. zu
1a. $\begin{eqnarray*} -x_0 + 7y_0 = 25 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x_0^2 + y_0^2 = 25 \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------

Dieses System hat zwei Lösungspaare und stellt geometrisch den Schnitt des Kreises mit jener Geraden dar, die durch beide Berührungspunkte geht (d.i. die Polare).

Die Lösung ergibt also direkt die Berührungspunkte. Wenn diese bekannt sind, dann auch die Tangenten (sie gehen durch P).

Gr
mYthos

22.12.2004, 17:53

shiggy

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Vielen Dank für die zahlreichen Antworten. Ich hab mir nun mal wernerrins Lösung angeschaut, sie erschien als sehr kurz. Allerdings habe ich genaus zu dieser Lösung noch einige Fragen:

Zitat:

Original von wernerrin
$\begin{eqnarray*} K:\;x^{2} +y^{2} =r^{2}\;\; \;g:\;y=mx+n \end{eqnarray*}$
für y in K einsetzen und zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} x^{2}( m^{2} +1)+2mnx+n^{2} -r^{2} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-mn\pm \sqrt{D} }{m^{2} +1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} mit\;D=m^{2}n^{2}-(n^{2}-r^{2})(m^{2}+1)=0 \end{eqnarray*}$
erhält man die berührbedingung
$\begin{eqnarray*} n^{2} =r^{2}(m^{2}+1) \end{eqnarray*}$
das setzt du nun in die geradengleichung ein
$\begin{eqnarray*} g:\;y=mx\pm \sqrt{m^{2}+1} \end{eqnarray*}$
nun setzt du die werte von P(-1,7) und r=5 ein und hast eine quadratische gleicung für m
$\begin{eqnarray*} 7=-m \pm 5\sqrt{m^{2}+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (m+7)^{2}=25(m^{2}+1)\Rightarrow m_1=\frac{4}{3} \;m_2=-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
alle klarheiten beseitigt?
und es führen noch viele (andere) wege nach rom
werner

1) Ist die Berührbedingung n^2=r^2(m^2+1) für herauszufindene Tangenten allgemeingültig?

2) Das Einsetzen der Berührbedingung in die Geradengleichung ist mir unklar, also rein "handwerklich": Wenn ich die Berührb. einsetze, steht da: g: y=mx+r^2(m^2+1) --> also n wurde ersetzt.

3) Was hast du in der letzten Zeile gemacht? Wie bist du vom vorletzten Term auf den letzten Term gekommen (quadrieren???)

Hoffe auf Antworten. Tut mir leid, wenn in vielen Dingen nicht so bescheid weiß. Bin im Jg. 11, haben noch keine Ableitungen o.ä.

22.12.2004, 18:54

shiggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, durch langes, langes rumprobieren und ein Glas milch smile

smile

haben sich meine fragen größtenteils erledigt. Nur noch eine bleibt:

Zitat:

Original von wernerrin
$\begin{eqnarray*} g:\;y=mx\pm \sqrt{m^{2}+1} \end{eqnarray*}$

muss in der allgemeingültigen formel vor der wurzel (also die, unter der m^2+1 steht) nicht noch "r" stehen?

24.12.2004, 18:40

Poff

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Zitat:

Original von shiggy
... muss in der allgemeingültigen formel vor der wurzel (also die, unter der m^2+1 steht) nicht noch "r" stehen?

das ist richtig, da ist ein Schreibfehler von 'wernerrin' reingerutscht.

Richtig heißt es

t: y = m*x +-sqrt(r^2(m^2+1))

und das ist allgemeingültig für jede Tangente t an Kreis k((0|0),r)
.

25.12.2004, 13:37

riwe

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Zitat:

Original von shiggy
Hi, durch langes, langes rumprobieren und ein Glas milch smile

smile

haben sich meine fragen größtenteils erledigt. Nur noch eine bleibt:

Zitat:

Original von wernerrin
$\begin{eqnarray*} g:\;y=mx\pm \sqrt{m^{2}+1} \end{eqnarray*}$

muss in der allgemeingültigen formel vor der wurzel (also die, unter der m^2+1 steht) nicht noch "r" stehen?

ja, habe ich schon korrigiert
schönes fest und so
werner

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