Hüllkurven

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chrissi Auf diesen Beitrag antworten »
Hüllkurven
ModEdit: KEINE Hilfeschreie, auch nicht im Titel! Modifiziert!

Help meee!!!

wie kann man begründen dass für die geradenschar
gt(x)=t-5/5 + 10*t-t^2/5 gilt

ein schaubild ist gegeben: tangenten haben sich zu einer parabel ausgebildet

die gerade gt geht durch die Punkte Pt(-10+t|10-t) und Qt(t|t)

hoffe ich bekomme ein par tipps wäre sehr nett
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Geradengleichung ist völlig vermurkst. Stelle das bitte zuerst einmal richtig. Wo ist z.B. die Variable x? Ferner fehlen Klammern, die anzeigen, was zusammengehört.

Verwende daher besser den Formeleditor zum Anzeigen der korrekten Formel.

Ein paar Tips dazu

Potenzen gehen so: x^2 liefert
Brüche gehen so: \frac{a+b}{c+d} liefert

Und die fertige Formel im Formeleditor kopierst du in das Texteingabefeld deines Beitrag, markierst sie und schließt sie durch Klicken auf den blauen f(x)-Knopf am oberen Rand des Eingabefeldes in LATEX-Klammern ein.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

oke danke dir für die hilfe bind a fast verzweifelt gg



hoffe es stimmt jetzt so also jetzt wäre ich euch dankbar wenn ich noc mehr hilfe bekommen würde
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir zur besseren Vorstellung im Folgenden eine Skizze.

1. Eine der Tangenten muß die Parabel im Scheitel berühren. Ihre Steigung ist 0. Daher kannst du aus



den zugehörigen Parameterwert bestimmen. Bestimme die zugehörige Geradengleichung. Ihr y-Wert muß zugleich der y-Wert von sein:



2. Als nächstes nimmst du zwei Tangenten, die bezüglich der Parabelsymmetrieachse symmetrisch liegen, deren Steigungen also Gegenzahlen voneinander sind, z.B. diejenigen mit den Steigungen 1 und -1. Wie oben kannst du die zugehörigen Parameterwerte berechnen. Damit kannst du die Gleichungen für die beiden Tangenten aufstellen. Bestimme ihren Schnittpunkt . Sein x-Wert muß mit dem x-Wert von übereinstimmen:



Jetzt fehlt in der Scheitelform der Parabel



nur noch das . Das könntest du dir folgendermaßen beschaffen.

3. Bei einer Parabel hat der Punkt, in dem eine Tangente die Parabel berührt, von der Scheiteltangenten denselben Abstand wie der Punkt, in dem die Tangente die Symmetrieachse der Parabel schneidet. Bestimme also den Abstand der Punktes aus 2. von . Gehe dann von aus diesen Abstand noch einmal nach oben. Der Wert, den du erhältst, ist der y-Wert der Punkte, in dem die Tangenten aus 2. die Parabel berühren. Berechne bei einer der beiden Tangenten den zugehörigen x-Wert. Das Paar bestimmt jetzt einen Parabelpunkt. Durch Einsetzen in die Scheitelform kannst du das noch fehlende berechnen.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

aha oke ich hab mir das eben mal angeschaut aber verstehe es nciht richtig
wie hab ich damit jetzt begründet dass die geradenschar gt gilt?
habe ja noch zwei punkte pt und Qt hmmm da fehlt mir noch was zum verständnis
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wir unterstellen zunächst einmal, daß es sich bei der Einhüllenden um eine Parabel handelt. Dann kannst du mit dem von mir beschriebenen Weg die einzig mögliche Parabel bestimmen. Ob es sich bei den Geraden wirklich um Tangenten an diese Parabel handelt, muß nachträglich noch verifiziert werden.

Hast du schon bestimmt? Schau dir meine Zeichnung noch einmal an und führe 1. und 2. aus dem vorigen Beitrag durch.
 
 
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe S mit eienm cas programm erstellen lassen damit kann ich ungefähr ablesen dass es ein scheitel von ca S(-1,7|1,7)
aber wie ich das sonst machen würde komm ich nciht drauf es ist lange her das ich analasys gemacht habe und irgendwie hab ich alles verlernt was mich grad ziemlich ärgert gg
also werd mal versuchen das in 1. und 2.ten zu bearbeiten
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Scheitelwert ist wohl falsch.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

da tangente die parabel im scheitel berühren muss is steigung 0
also setzt ich null: 1/5 *(t-5)=0
daraus ergibt sich t=5 stimmt das soweit?
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

anschließend setzte ich dann den wert für die in die obige gleichung ein
daraus ergibt sich dann 4x+5
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du in der Geradengleichung einsetzt, muß sich doch jetzt logischerweise die Steigung 0 ergeben. Dein Ergebnis stimmt also nicht.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du mir denn zeigen wie ich auf das richtige ergebnis komme?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »





(siehe Zeichnung oben)
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

jope danke soweit hab ichs jetzt verstanden jetzt muss ich die tangentengleichnungen aufstellen
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

Also hab hier jetzt mal die aufgaben riengeschriebn vllt kann mir jemand so weiterhelfen

1 Die Figuren sind auf folgende Art entstanden.

Fig. 1: Auf den Winkelhalbierenden W1 und w2 wurden jeweils ausgehend vom Nullpunkt elf
Punkte in gleichmäßigem Abstand markiert und nummeriert.

Fig. 2: Punkt 10 auf der einen Gerade wurde mit Punkt 0 auf der anderen Geraden, Punkt 9 mit
Punkt 1, Punkt 8 mit Punkt 2 usw. durch Geraden verbunden.

Fig.3: Die in Fig. 2 gezeichneten Geraden gehören zu einer Geradenschar. Von dieser Schar
wurden weitere Elemente gezeichnet. Anschließend wurde eine Parabel eingezeichnet, die die
Elemente der Geradenschar als Tangenten hat.


Begründen sie, dass für die Geradenschar gt gilt:


Tipp: Die Gerade gt geht durch die Punkte Pt (-10+t|10-t) und Qt (t|t).
b) Zeichnen Sie eine Figur wie Fig. 3 und versuchen Sie eine Parabel einzupassen.
c) Statt der zwei Winkelhalbierenden kann man in Fig.1 ein anderes Paar symmetrisch zur
y-Achse liegender Geraden nehmen. Experimentieren Sie, stellen Sie Vermutungen auf und erhärten Sie Ihre Vermutungen durch Probieren.
d) Variieren Sie die Konstruktion weiter: Wählen Sie die Teilungspunkte auf anderen Abschnitten der Geraden oder unterschiedliche Einteilungen auf beiden Geraden.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

hier die figur 2
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

und die figur 3 damit alles vollständig ist
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte vorhin schon in einen offensichtlich veralteten Thread mit gleichem Thema geschrieben:

In einer Formelsammlung habe ich sinngemäß folgende Lösung gefunden:

Es sei eine einparametrige Kurvenschar durch die Gleichung F(x,y,t) = 0 gegeben. Die Gleichung der Einhüllenden wird berechnet, indem der Parameter t aus dem folgenden Gleichungssystem eliminiert wird:

F = 0 und
dF/dt = 0, wobei x und y wie Konstante behandelt werden (partielle Ableitung).


Für das o.a. Beispiel würde folgen mit gt(x) wie angegeben:

F(x,y,t) = -y + (t/5-1)*x + 2*t -t^2/5 = 0 mit y anstelle von gt(x) geschrieben
dF/dt = x/5 + 2 -2*t/5 = 0

Aus der letzten Gleichung wird t als Funktion von x ermittelt, in die erste Gleichung eingesetzt, diese aufgelöst nach y, ergibt die Gleichung der Parabel y=f(x).

Zumindest kann man damit seine auf andere (und erlaubte) Weise erhaltenen Ergebnisse überprüfen.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

was ich bei der aufgabe ganz einfach nicht verstehe wie kann ich das beweisen mit hilfe der zwei punkte Q und P dass für die geradenschar gt die oben genannte gleichung gilt?
wer kann mit das mal mit einfachen worten formulieren

mich interessiert das sonst hätt ich das thema schon längst beiseite gelebt aber ich komm davon nicht los gg
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrissi
Tipp: Die Gerade gt geht durch die Punkte Pt (-10+t|10-t) und Qt (t|t).


Ansatz für die Gleichung der Geraden: y-yQ = (yP-yQ)/(xP-xQ)*(x-xQ)

also y-t = (10-t-t)/(-10+t-t)*(x-t)
also y-t = (10-2t)/(-10)*x - (10-2t)/(-10)*t
also y-t = -(1-t/5)*x + (1-t/5)*t
also y-t = (t/5-1)*x + t - (1/5)*t^2

also y = (t/5-1)*x +2*t - (1/5)*t^2 was mit der gegebenen Gleichung übereinstimmt.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hüllkurven
wie kommst du auf die gleichungen erste ist mir klar aber wie kamst du in zweiter formel auf den hinteren teil? und die gleichungen drunter hab ich auch net verstanden
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrissi
Tipp: Die Gerade gt geht durch die Punkte Pt (-10+t|10-t) und Qt (t|t).


Ansatz für die Gleichung der Geraden: y-yQ = (yP-yQ)/(xP-xQ)*(x-xQ)

Ich nehme an, diese Gleichung ist klar.

Dann war: Pt (-10+t|10-t), also xP = -10+1, yP = 10-t
und ebenso Qt (t|t), also xQ = t, yQ = t

Der Rest ist einfaches Einsetzen und Durchrechnen, einfach selber alles hinschreiben und formulieren, wie man es kennt, denn jeder denkt und rechnet anders, aber das Ergebnis sollte schon stimmen.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

gut okee und wie geht das jetzt weiter???
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

im Augenblick weiß ich nicht, wo du Probleme hast.

1) Hast du verstanden, wie die Koordinaten für die einzelnen Punkte auf den Winkelhalbierenden entstehen? Das sind die Gleichungen für Pt und Qt, z.B. Pt (-10+t|10-t).

2) Welche Punkte werden jetzt miteinander verbunden? Setze für t Werte von 1 bis 10 ein.

3) Stelle die Gleichung einer Geraden auf, z.B. für t=4

4) Stelle die allgemeine Gleichung der Geradenschar auf.

5) Zeige, dass diese Gleichung mit der gegebenen übereinstimmt.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

1) Hast du verstanden, wie die Koordinaten für die einzelnen Punkte auf den Winkelhalbierenden entstehen? Das sind die Gleichungen für Pt und Qt, z.B. Pt (-10+t|10-t).
<-- das mit den koordinaten hab ich verstanden kam allerdings auf andere lösungen, muss also nochmal überprüfen, werds irgendwie hinbekommen

2) Welche Punkte werden jetzt miteinander verbunden? Setze für t Werte von 1 bis 10 ein.
<-- verbunden werden punkt 10 mit punkt 0, punkt 9 mit punkt 1, usw wie ich oben beschrieben hatte. habe für t auch mehrere werte eingesetzt und mit einem taschenrechner zeichnen lassen.

3) Stelle die Gleichung einer Geraden auf, z.B. für t=4
<--habe es für werte mit t= 2 und t= 6 berechnet

4) Stelle die allgemeine Gleichung der Geradenschar auf.
<--allgemeine formel war ja da schon gegeben also die gt

5) Zeige, dass diese Gleichung mit der gegebenen übereinstimmt.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 4) Nein, du sollst die allgemeine Gleichung aus den Gleichungen für die Punkte nochmals aufstellen und dein Ergebnis mit der gegebenen Gleichung vergleichen

So habe ich die Aufgabe verstanden.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

asoo ja klar sonst gibts jo kein sinn

und zu den restlichen gestellten aufgaben noch:

c) Statt der zwei Winkelhalbierenden kann man in Fig.1 ein anderes Paar symmetrisch zur
y-Achse liegender Geraden nehmen. Experimentieren Sie, stellen Sie Vermutungen auf und erhärten Sie Ihre Vermutungen durch Probieren.
d) Variieren Sie die Konstruktion weiter: Wählen Sie die Teilungspunkte auf anderen Abschnitten der Geraden oder unterschiedliche Einteilungen auf beiden Geraden.

Was ist damit gemeint?? Was alles verlangt und wie sollte man das am geschicktesten ausarbeiten bzw darstellen?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zu c)
Die Geraden für die Punkte haben bisher einen Winkel von +/- 45° zur x-Achse. Jetzt sollst du den Winkel variieren, einmal größer 45° und einmal kleiner, damit die Gleichung für die Koordinaten der Punkte aufstellen und damit wieder die Gleichung der Geradenschar aufstellen. Vermutung soll wohl sein, dass sich wieder eine Parabel ergibt, je nach Winkel flacher oder steiler.
Zur Kontrolle vorab eine kleine Zeichnung wäre nicht schlecht, vielleicht reicht die ja auch schon aus.

Zu d)
Wähle z.B. auf der linken Gerade jeden 2.Punkt, auf der rechten Gerade jeden 3.Punkt. Damit wieder die Gleichung für die Koordinaten der Punkte aufstellen und damit wieder die Gleichung der Geradenschar aufstellen. Diese Aufgabe würde ich auch erstmal zeichnerisch machen, um zu sehen, ob sich wieder eine Parabel ergibt.

Anschließend eine kleine Betrachtung zu den Unterschieden der Hüllkurven.

Wenn du willst, kann ich dir auch noch zeigen, wie man die Gleichung der Parabel mit elementaren Mitteln aus der Gleichung der Greadenschar ermitteln kann, das ist aber wohl nicht gefordert.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du willst, kann ich dir auch noch zeigen, wie man die Gleichung der Parabel mit elementaren Mitteln aus der Gleichung der Greadenschar ermitteln kann, das ist aber wohl nicht gefordert.


klar gerne, jedenfalls hab ich davon noch keien ahnung und ich möcht ja so ziemlich alles verstehen,...
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wollen wir es mal angehen, wird wohl eine wüste Rechnerei werden, weil ich alles und jeden Schritt direkt hier reinschreibe.

Gegeben war die Gleichung der Geradenschar y=(t/5-1)*x+2*t-(1/5)*t^2, deren Hüllkurve nun gesucht wird.
Entsprechend der Aufgabenstellung kann man davon ausgehen, dass es sich um eine Parabel handelt. Die Parabel ist offen nach oben und symmetrisch zur y-Achse, deshalb wird für sie der Ansatz y=a*x^2+b gewählt mit noch zu bestimmenden a und b.

In den nächsten Schritten werden die Gleichungen der Tangenten an diese Parabel ermittelt und verglichen mit den gegebenen Gleichungen für die Tangentenschar.

Ansatz für die Tangenten: y-y0=m*(x-x0) mit x0,y0 für die Berührungspunkte der Tangenten bei y0=a*x0^2+b.
Für die Steigung m folgt mit y'=2*a*x an den Stellen x0: m=2*a*x0
Damit erhält man für die Gleichung der Tangenten: y-y0 = 2*a*x0*(x-x0) = 2*a*x0*x-2*a*x0^2,
also y = 2*a*x0*x-2*a*x0^2+y0 = 2*a*x0*x-2*a*x0^2+a*x0^2+b = 2*a*x0*x-a*x0^2+b.

Man hat nun 2 Gleichungen für die Tangentenscharen:
y=2*a*x0*x-a*x0^2+b und
y=(t/5-1)*x+2*t-(1/5)*t^2

Damit diese Gleichungen identisch übereinstimmen, müssen die Koeffizienten von x und y sowie der freie Term übereinstimmen. Daraus folgt durch Vergleich:
2*a*x0=t/5-1 und
-a*x0^2+b=2*t-(1/5)*t^2

Aus der 1.Gleichung folgt für t:
t=10*a*x0+5
t^2=100*a^2*x0^2+100*a*x0+25

das eingesetzt in die 2.Gleichung ergibt:
-a*x0^2+b=20*a*x0+10-(20*a^2*x0^2+20*a*x0+5)
und sortiert nach den x0 ergibt:
-a*x0^2+20*a^2*x0^2-20*a*x0+20*a*x0+b-5=0
(-a+20*a^2)*x0^2+b-5=0

Setzt man hier wieder die Koeffizienten gleich Null, folgt
-a+20*a^2=0, also a=1/20
b-5=0, also b=5

Damit erhält man für die Gleichung der Parabel:
y=(1/20)*x^2+5

Der letzte Schritt ist mir noch nicht ganz klar, aber es scheint damit zu funktionieren.

Vieleicht kennt ja jemand einen einfacheren Weg, die Hüllkurve zu bestimmen, ohne die Gleichungen F(x,y,t)=0 und F't(x,y,t) zu benutzen.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

hey ich danke dir jetzt hab ich das alles gut verstanden
allein hätt ich das wohl nicht mehr gepackt :-)

hoffe ich bin dir nicht allzu lästig

hab da nämlich noch mehr das mich überfordert ;-)
<-- siehe anhang
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir erst mal folgenden Link an und spiel ein bißchen mit der Geschwindigkeit (v <1, =1, >1) rum:
http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/doppler2.html

Man erkennt, dass die Durchmesser der Kreise proportional mit der Zeit zunehmen und die Kreismittelpunkte mit dem Flugzeug nach rechts wandern. Außerdem bei v=1 die 'Dichte der Wellenfront' entsprechend der so genannten 'Schallmauer'.

Zu a) Es ist ja
die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt in (0|0): x²+y²=r²
die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt in (xm|0): (x-xm)²+y²=r²

Ist v die Geschwindigkeit des Flugzeugs und k ein Proportionalitätsfaktor für die Schallgeschwindigkeit, so ist nach der Zeit t
der Mittelpunkt eines neu entstehenden Kreises: xm = v*t
der Radius eines Kreises: r = k*t

Daraus folgt die Gleichung der Kreisschar zu: (x-vt)²+y²=(kt)²

Zu c) Hier ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs größer als die Geschwindigkeit des Schalls in der Luft. Vor der einhüllenden Geraden ist es still, hinter der Geraden hört man das Geräusch des Flugzeugs, und genau im Durchgang der Geraden am Beobachtungsort den Überschallknall. Stell dir einfach vor, was du hörst, wenn über dir ein Düsenjäger vorbei fliegt. Da hört man den Knall auch erst, wenn der DJ schon vorbei ist.

Zu d) Muss ich selbst erst näher untersuchen.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

wow coool danke die inetrnetseite gefällt mir ;-)
hab gleich mal ne weile rumexperimentiert danke dir

dann hab ich jetzt hier noch was...

... habe nciht ganz verstandne wie das mit dem spiegel gemeint war.. vllt weißt du das ja auch

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche erstmal zu Übung, die Hüllkurve der Kreisschar bei dem Überschallproblem (ist ja ein Geradenpaar) zu bestimmen.

Die Gleichung der Kreisschar war: (x-vt)²+y²=(kt)²

oder in anderer Schreibweise: F(x,y,t) = (x-v*t)²+y²-k²*t² = 0

Die Gleichung der Hüllkurve ermittelt man aus und , indem man t eliminiert. Das habe ich so in einer Formelsammlung gefunden. Beweis?. Müsste ich suchen, wenn ich denn einen finde, ich rechne einfach damit.

Somit: F' = -2*v*(x-v*t) - 2*k²*t = 0
Also: -v*x + v²*t - k²*t=0
und t*(v²-k²)=v*x, also t=v*x/(v²-k²)

Das eingesetzt in F ergibt:
(x-v*v*x/(v²-k²))² + y² =k²*v²*x²/(v²-k²)²,
also y² = x²*[k²v²/(v²-k²)²] - x²*[1-v²/(v²-k²)]²,
also y² = x²*[einen Wert C, nur von v und k abhängt],

also y = +C*x und y = -C*x als Gleichung der beiden einhüllenden Geraden.

Nun könnte man noch untersuchen, wie sich der Wert C für v/k <1, =1 und >1 verhält.


EDIT: Ich habe die Rechnung nun weitergeführt, da doch einfacher, als zuerst vermutet.

Es war y²=k²t²-(x-vt)²=k²t²-x²+2vxt-v²t²
also y²=-(v²-k²)t²-x²+2vxt

Es war t=vx/(v²-k²) und t²=v²x²/(v²-k²)²

Damit ist y²=-v²x²/(v²-k²)-x²+2vxvx/(v²-k²)
also y²=x²/(v²-k²)*(-v²-v²+k²+2v²)
also y²=k²x²/(v²-k²)

oder y²=x²/(v²/k²-1)

Somit für
v>k: y=+Cx und y=-Cx mit C=1/sqrt(v²/k²-1) für die beiden einhüllenden Geraden
v=k: x=0 für die Hüllkurve
v<k: y ist nicht reell, also keine Hüllkurve

Dieses Ergebnis bestätigt damit auch rechnerisch die angestellten Vermutungen zu diesem Problem.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

die einhüllenden gerade?
wie liegen die wie muss ich das verstehen?
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

heee wer kann mir das nochmal erklären mit dem letzten beirtrag??
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Denk mal an das Bild mit dem Flugzeug in dem o.a. Link, das nach rechts fliegt, und dabei kugelförmige (im Bild kreisförmige) Schallwellen erzeugt.

Wenn du bei dem Link zwischendurch auf Pause drückst, dann kannst du nach längerer Zeit bei v/k>1 als Hüllkurve der Kreise eine Gerade erkennen, die von der Flugzeugspitze nach links oben und links unten geht. Und diese Gleichungen dieser Geraden habe ich versucht, zu ermitteln.

Bei v/k<=1 sind keine Geraden zu erkennen, das sollte eigentlich auch bei der Rechnung irgendwie rauskommen, aber da habe ich nicht weiter gerechnet.

Und: Vielleicht habe ich mich auch geirrt bzw. verrechnet, ich mache diese Rechnungen nämlich zum ersten Mal.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

oke gut werd das nochmal rechnen
allen hier noch nen guten rutsch ins jahr 2005
und feiert net zu dolle...
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Rechnung oben noch mal ergänzt, du kannst das Ergebnis dann mit deinen Ergebnissen vergleichen.

Solltest du noch Fragen haben, frag nur.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

nee das is schon oke so hab das auf nem etwas anderen kompliziertener weg gelöst wobei mir dein vorschlag besser gefällt ;-)

hast du ne kleine hilfe für den anhang den ich schon vor paar tagen geschickt habe mit spiegelungen im glas?
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