typ dieser funktion? |
| 24.12.2004, 11:55 | xyro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| typ dieser funktion? |
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| 25.12.2004, 11:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: typ dieser funktion? hää 
in welchem Zusammenhang hast du das ausgegraben? |
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| 25.12.2004, 18:37 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meine, Gleichungen der Art f(x)+f(y)=x*y heißen 'Funktionalgleichungen', muss aber nicht richtig sein. Hast du die Gleichung f(n+f(m)) = f(n) + k tatsächlich so irgendwo abgeschrieben oder dir nur als Beispiel ausgedacht? |
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| 26.12.2004, 10:00 | xyro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das is eigentlich nur so ein beispiel für den zusammenhang. ah ja genau, funktionalgleichungen. danke. die gleichung gibt es wirklich (nicht nur so ausgedacht, obwohl es auch interessant wäre einfach mal solch eine willkürliche gleichung anzuschauen). die aufgabe ging aber so: 1) f(n+1) > f(n) 2) f(n+f(m)) = f(n)+m+1 suche alle werte für f(2001). wen´s interessiert, das is aus der BMO. |
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| 26.12.2004, 10:46 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mal kurz probiert: n=0: f(0+f(m)) = f(0)+m+1 m=0: f(f(0)) = f(0)+1 Nun f(0)=k gesetzt, damit f(k)=k+1, also auch f(n)=n+1 Probe: f(n+1) = n+2 > f(n) = n+1 Probe: f(n+f(m)) = f(n+m+1) = n+m+1+1 = n+1+m+1 = f(n)+m+1 War es das schon, oder habe ich da eine ganze Gruppe weiterer Lösungen nicht erfasst ? |
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| 26.12.2004, 11:54 | xyro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die lösung ist richtig 
btw, lernt man das erst an der uni, oder kommen solche aufgaben meistens nur bei mathewettbewerben vor? hast du noch mehr solcher aufgaben (keine allzu schweren, hab erst grad mit dem gebiet angefangen)? |
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| 26.12.2004, 12:29 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ob man das an der Uni lernt, weiß ich nicht. Ich hatte mich früher mal einfach aus Interesse mit diesen Gleichungen beschäftigt, und ein bißchen ist immer noch hängen geblieben. Einige dieser Gleichungen, die hier im Board schon diskutiert wurden, sind g(x+y)=g(x)+g(y) f(x+y) = f(x)*f(y) g(xy)=g(x)+g(y) f(xy)=xf(y)+yf(x) |
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| 26.12.2004, 19:49 | xyro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wann ist allgemein eine gleichung gelöst? ist es ausreichend, wenn man für f(n) einen term mit konkreten werten angibt (bzw einen, wo die variable nicht die funktionsvariable ist? hab die diskussionen net gefunden :| hab aber ein paar fragen: - f(x+y) = f(x) + f(y) sei x = y = 1 so ist f(2) = f(1) + f(1) = 2*f(1) sei x=1, y=2 so ist f(3) = f(1) + f(2) = 3*f(1); vermutung: f(n) = n*f(1), für n=2,3 schein es richtig zu sein ind. : f(n+1) = f(n) + f(1) = n*f(1) + f(1) = (n+1)*f(1), scheint also zu stimmen. btw, f(0)=0 nach x=y=0. kann das mir helfen f(1) zu finden? ist es nötig f(1) zu finden? (es geht doch eigetnlich nicht, oder) - f(x+y) = f(x) * f(y) sei x=0, so ist f(y) = f(0)*f(y) und dann f(0)=1; hilft nicht unbedingt weiter. anderenfalls ist für x=y=0 f(0) = f(0)*f(0) was auch für f(0)=0 erfüllt wäre, ist das ein widerspruch? ich glaub ich hab was übersehen. auf jeden fall, sei x=y=1, so ist f(2) = f(1)*f(1) =f(1)^2 sei x=1, y=2, so ist f(3) = f(1)*f(2)= f(1)^3, vermutung f(n)=f(1)^n, usw. induktion etc und es passt. - g(xy) = g(x) + g(y) sei x=0: g(0) = g(y) + g(0) und somit g(y) = g(n) = 0. mm, zu einfach wahr zu sein, da is was komisch. |
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| 26.12.2004, 21:19 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ansätze sich schon ganz gut, x und y =0 oder =1 und y=-x helfen schon weiter. Bei manchen Aufgaben müssen Anfangswerte wie f(0) oder f(1) vorgegeben sein, oder eben als Konstante a während der Lösung in die Rechnung eingeführt werden. Die letzten Diskussionen findest du hier: http://www.matheboard.de/thread.php?thre...htuser=0&page=2 http://www.matheboard.de/thread.php?sid=...93148#post93148 |
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| 27.12.2004, 10:39 | xyro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah ok, danke. |
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| 27.12.2004, 14:15 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe noch einen schönen Link zu Funktionalgleichungen gefunden: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~semmler.../funktional.pdf |
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| 27.12.2004, 19:51 | xyro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau die datei hab ich mir gestern durchgelesen
ich hab noch eine frage zu f(x^2+f(y)) = y+(f(x))^2 wenn x=y=0, dann ist f(f(0))=f(0)^2 und für f(0)=n somit f(n)=n^2. ist dies legitim? ich nehme hier doch an, dass f(0) keine konstante, sonder eine variable ist, obwohl f(0) ein fester wert ist. also die aussage sollte doch eigetnlich nur für f(n) mit n=f(0) gelten und nicht für jedes n=x, oder? hoffetnlich habe ich mich da vertan, denn deine lösung zu der einen ersten aufgabe hat dies ja auch angenommen. edit: wenn nun die methode richtig ist, dann ist für x=y nach umformung etc eine weitere mgl funktion: f(n) = (1-n³)/(2n). kannst du das bestätigen? |
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| 27.12.2004, 22:59 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1) Wenn f(n)=n^2 eine Lösung wäre, dann wäre auch f(x)=x^2 eine Lösung. D.h. auf die Bezeichnung der Variablen, ob x,y oder n, kommt es hierbei nicht an, da die Variablen nur Platzhalter für irgendwelche Zahlenwerte sind. 2) Aus f(f(0))=f(0)^2 folgt nur, dass die Zahlenwerte links und rechts gleich sind bei einem Argument (x=0), d.h. f(0) ist der Wert von f(x) bei x=0, insofern keine Variable. Ich weiß nicht, wie ich das verständlich ausdrücken kann, nach 3) ist übrigens f(0)=0. 3) Die Lösung dieser Funktionalgleichung ist f(x)=x, wie du durch Einsetzen leicht bestätigen kannst. f(x)=x² ist keine Lösung, ebenso nicht (1-n³)/(2n). Gegenprobe für f(x)=x² mit f(y)=y²: f(x²+y²)=(x²+y²)²=x^4+2x²y²+y^4<>y+x^4 |
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| 27.12.2004, 23:10 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man aber n:=f(0) setzt, so wie er es macht, dann bezieht sich das nur auf x=0 und geht in deine Erklärung in 2) über, die damit vielleicht auch besser erklärbar ist. |
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| 29.12.2004, 10:07 | xyro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
k thx, das meinte ich. |
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