Schnittpunkte einer geraden und eines Kreises

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PapaNappa Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkte einer geraden und eines Kreises
Hallo!

Ich habe zwar schon gesucht, aber nicht wirklich was gefunden.
Auch hier im Forum gab es nicht wirklich das, was ich suche.

Also, ich habe eine gerade gegeben, die durch einen Punkt und einem Winkel definiert ist, der zwischen gerade und x-Achse definiert ist, wenn der Punkt bei (x; 0) liegt.
Natürlich kann der auch irgendwo bei (x; y) liegen, aber ich wusste nicht wie ich das dann mit dem Winkel ausdrücken sollte ^^
Der Winkel kann natürlich auch 90° betragen (also senkrecht nach oben), daher kann man diese gerade leider nicht durch eine lineare Funktion ausdrücken. (und leider habe ich nur was mit linearen Funktionen gefunden ...)

So, und dann habe ich noch einen Kreis gegeben, Mittelpunkt und Radius sind bekannt.

Jetzt die Preisfrage: Wie berechne ich die beiden Schnittpunkte?

Ich hoffe ihr könnt helfen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn der Punkt und wie der Winkel. Oder sind die ganz allgemein mit und gegeben?? Ich denk mal, der Winkel soll zwischen 0° und 180° liegen.

Am besten, du unterscheidest zwei Fälle:
1. Fall: Der Winkel ist nicht 90°, dann kannst du die Gerade mit einer linearen Gleichung beschreiben, also durch eine lineare Funktion ausdrücken. Dann kannst du ja den Kreis und die Gerade schneiden ...

2. Fall: Der Winkel ist 90°. Dann ist die Gerade darstellbar in der Form x=a, das Schneiden mit dem Kreis wird nun simpel.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte einer geraden und eines Kreises
Zitat:
Original von PapaNappa
Jetzt die Preisfrage: Wie berechne ich die beiden Schnittpunkte?

Stell dir mal vor, du würdest die Gleichung der Geraden y=g(x) und auch die Gleichung des Kreises y=k(x) kennen.

Wie würdest du jetzt versuchen, die Schnittpunkte zu bestimmen ? Nimm mal an, dass ein Schnittpunkt die Koordinaten x1,y1 hat.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte einer geraden und eines Kreises
zuerst, auch wenn der winkel = 90°, hast du eine lineare funktion, sie lautet dann x = constant.
dann mußt du nur diesen wert in die kreisgleichung einsetzen und fertig ist´s.
allgemein:

gerade g: y = mx + n
y in kreis einsetzen, ergibt eine quadratische gleichung für deine 2 schnittpunkte ( oder 1 wenn tangente, oder 0)

(wenn der ausdruck unter der wurzel D > 0 hast du 2 schnittpunkte, D = 0 => gerade ist tangente, D < 0 kein schnittpunkt)

werner
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte einer geraden und eines Kreises
Zitat:
Original von wernerrin
zuerst, auch wenn der winkel = 90°, hast du eine lineare funktion, sie


Eine Funktion ist eine Abbildung, die jedem x genau ein y zuordnet. Hier werden einem x (mit meiner Bezeichnung dem x=a) unendlich viele y-Werte zugeordnet, da kann von einer Funktion schon mal gar keine Rede sein, auch wenn die Gleichung x=a linear sein mag smile

@etzwane
Der Kreis lässt sich nicht mithilfe einer Funktion k als darstellen, da auch der Kreis selbst keine Funktion ist! (Es gibt Punkte, nämlich die im Intervall , denen zwei y-Werte zugeordnet werden. ist hierbei die x-Koordinate des Mittelpunkts des Kreises und r natürlich der Radius desselben.)
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte einer geraden und eines Kreises
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
... da auch der Kreis selbst keine Funktion ist!


ist zwar so aus dem Zusammenhang gerissen, aber vielleicht solltest du diese Bemerkung morgen nochmal in aller Ruhe überdenken.
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte einer geraden und eines Kreises
Zitat:
Original von etzwane
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
... da auch der Kreis selbst keine Funktion ist!


ist zwar so aus dem Zusammenhang gerissen, aber vielleicht solltest du diese Bemerkung morgen nochmal in aller Ruhe überdenken.


dem kann ich nur zustimmen,
zum funktionsbegriff
oder hier

naja, silvester naht
viel spaß im neuen jahre
werner
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte einer geraden und eines Kreises
Schnittpunkte berechnen:

Die Kreisgleichung ist dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt X(x /y), der auf der Kreislinie oben liegt, berechnen kannst.
Die Geradengleichung (egal, ob Funktion oder nicht) ist ebenfalls dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt X(x/y) berechnen kannst.
Daher stehen in beiden Gleichungen x und y drin, denn das sind die Koordinaten irgendeines beliebigen PUnktes.

Nun suchst du jene Punkte, die auf dem Kreis UND auf der Gerade liegen - also jene einzigen Punkte, deren x- und y-Koordinate gleich sind.(Und das gilt für alle Kurven und Geraden, die einen Schnittpunkt haben, nicht nur für Kreis und Gerade....)

Daher setzt man die Koordinaten gleich, indem man z.b.:

1. aus der einen Gleichung sich das x oder das y ausdrückt und in die andere für x oder y einsetzt.

2. wenn beide Gleichungen schon mit y = blabla oder x = blabla da stehen, dann kannst du gleich setzen.

3. Wenn beide Gleichungen gleich angeordnet sind (z.b. nach dem Schema: 3x - 4y = 8), dann kann man Additionsverfahren anwenden, indem man eine Gleichung so anhebt, dass beim Addieren eine Unbekannte wegfällt.)


ad 1)

1. y² = 3x - 2
2. x + y = 2 >> x = 2 - y >> und das nun für x in die obere Gleichung einsetzen
y² = 3*(2 - y) - 2
ausrechnen und dann y zurückeinsetzen in eine der beiden Gleichungen und dann bekommst die dazugehörige x-Koordinate der SChnittpunkte.

ad 2)

1. y = 4 - x²
2. y = 3x + 4

gleichsetzen:

4 - x² = 3x + 4


ad 3)

1. 2x - 2y = 5
2. 3x - y = 10 | * (-2) >> denn dann fällt beim Addieren das y weg
_____________
1. 2x - 2y = 5
2. -6x + 2y = -10
______________

-4x = -5
x = 5/4

dann zurückeinsetzen in eine der beiden Gleichungen und dann hast die dazugehörige y-Koordinate vom Schnittpunkt.

Allgemein:
Man kann sich jenes Verfahren aussuchen, das für die gegebenen Gleichungen am sinnvollsten und schnellsten zu lösen ist.
Und es ist dabei egal, ob du 2 Kurven miteinander schneidest oder Kurve und Gerade ....wenn du Schnittpunkte suchst, dann funktioniert das mit einer der 3 Methoden.

lg kiki
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

mist verschrieben...
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte einer geraden und eines Kreises
Zitat:
Original von wernerrin
Zitat:
Original von etzwane
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
... da auch der Kreis selbst keine Funktion ist!


ist zwar so aus dem Zusammenhang gerissen, aber vielleicht solltest du diese Bemerkung morgen nochmal in aller Ruhe überdenken.


dem kann ich nur zustimmen,
zum funktionsbegriff
oder hier

naja, silvester naht
viel spaß im neuen jahre
werner


Wieso sollte laut diesen Links der Kreis eine Funktion sein?
Die Definition lautet doch:
Jedem x wird nur ein y zugeordnet.
Das trifft beim Kreis nicht zu, da ja einem x-Wert 2 y-Werte zugeordnet werden und das ja auch nicht für jedes x gilt, außer man betrachtet allein den positiven Wurzelast, bzw. den negativen Wurzelast und gibt einen Definitionsbereich dazu an.

lg kiki
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkte einer geraden und eines Kreises
Zitat:
Original von etzwane
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
... da auch der Kreis selbst keine Funktion ist!


ist zwar so aus dem Zusammenhang gerissen, aber vielleicht solltest du diese Bemerkung morgen nochmal in aller Ruhe überdenken.

Also ich weiß ja nich, wie ihr das seht, aber zeichnet euch doch mal nen Kreis in ein Koordinatensystem und nehmt euch ein x raus, was vom x-Wert des Kreismittelpunktes um weniger als r entfernt ist, dann werdet ihr immer zwei y-Werte finden, die diesem x durch den Kreis zugeordnet werden.
Und mathematischer:
Ein Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius r wird durch die Gleichung



beschrieben, also



und wenn man die Wurzel zieht, gibt es bekanntlichermaßen zwei Lösungen, nämlich eine positive und eine negative (die das zur positiven additiv Inverse ist). In Schreibdarstellung:





und auch hier sieht man, dass es für ein x zwei y-Werte geben kann ...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann einen Kreis nicht als Funktion von R -> R darstellen, wohl aber als Funktion von
R -> R². Die Zugehörige Funktion wäre dann



Wobei man diesen Vektor dann als Punkt im kartesischen Koordinatensystem betrachtet. Also sin(x) ist der x-wert und cos(x) der y-wert.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, aber man kann ihn in 2 Teilfunktionen aufteilen...entweder + Wurzelast oder -Wurzelast.
PapaNappa Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mann, da hab ich ja ne Diskussion erweckt Augenzwinkern

Also erstmal danke für die Antworten!

Wie man die Schnittpunkte verschiedener Funktionen berechnet weiß ich ja (trotzdem danke kikira für die Mühe ^^)
Aber mir taten sich da zweio probleme auf, wshlab ich das hier reingestellt habe:

1. sind beides (gerade und Kreis) imho keine Funktionen, da ja wie gesagt jedem x nur ein y zugeordnet ist.
2. Wusste ich nicht wie man den Kreis als Gleichung setzt, damit man damit rechnen kann.

Aber ok, ich werde mir das nachher nochmal ganz genau angucken und dann ein bisschen rumprobieren smile

thx nochmal Big Laugh

[edit]
achso, was mir noch eingefallen ist: der Winkel sollte schon von 0° bis 360° gehen.
Es müsste aber doch auch 0° bis 180° reichen, denn was größer als 180° ist, ist doch wieder das selbe, oder?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PapaNappa
... 1. sind beides (gerade und Kreis) imho keine Funktionen, da ja wie gesagt jedem x nur ein y zugeordnet ist. ...


:-oo
die 'Gerade' ist eine Funktion, mal von x = const abgesehen

und sonst ist's Weihnachtstheater .. Augenzwinkern
PapaNappa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Zitat:
Original von PapaNappa
... 1. sind beides (gerade und Kreis) imho keine Funktionen, da ja wie gesagt jedem x nur ein y zugeordnet ist. ...


:-oo
die 'Gerade' ist eine Funktion, mal von x = const abgesehen

und sonst ist's Weihnachtstheater .. Augenzwinkern


jo eben, aber das der Winkel 90° beträgt kann nicht ausgeschlossen werden (da zufällig)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und genau deswegen sollst du diese beiden Fälle ja auch unterscheiden, dann hast du einmal ne Funktion.
Und der Fall, dass der Winkel 90° ist, ist sowieso 'selten'.
Wenns auch für Winkel in gehen soll, einfach die umwandeln in und dann is es das gleiche Problem ...
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PapaNappa
Aber mir taten sich da zweio probleme auf, wshlab ich das hier reingestellt habe:

1. sind beides (gerade und Kreis) imho keine Funktionen, da ja wie gesagt jedem x nur ein y zugeordnet ist.



Welches Problem hast du da? Ich versteh nicht, was du eigentlich fragen willst.

Kanns sein, dass du nicht weißt, wie man die Geradengleichung einer Geraden aufstellt, die NICHT Funktion ist und von der man den Steigungswinkel (der ja auch 90° sein kann) und einen Punkt kennt?

Eine allgemeine Form kannst du da nicht aufstellen, weil du mit dem Steigungswinkel arbeiten musst und über den Steigungswinkel errechnet man sich die Steigung. Da aber die Steigung bei einer Nicht-Funktionsgeraden unendlich ist, kannst du dein Beispiel allgemein nur entweder mit einer Geradengleichung: x = a oder mit einer allgemeinen Funktionsgeradengleichung berechnen.
Du kannst keine allgemeine Geradengleichung mit tan(alpha) = k aufstellen, die Nicht-Funktionen auch beinhalten. Da du aber den Steigungswinkel gegeben hast, musst du mit der allgemeinen Funktionsgleichung arbeiten.

Die Kreisgleichung funktioniert so:

Du musst M(m/n) und r des Kreises kennen, um in folgende Gleichung einzusetzen:

(x - m)² + (y - n)² = r²


Und deine letzte Frage:

Ja...es reicht bis zu 180°, dann wiederholt es sich.

lg kiki
PapaNappa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kikira
Zitat:
Original von PapaNappa
Aber mir taten sich da zweio probleme auf, wshlab ich das hier reingestellt habe:

1. sind beides (gerade und Kreis) imho keine Funktionen, da ja wie gesagt jedem x nur ein y zugeordnet ist.



Welches Problem hast du da? Ich versteh nicht, was du eigentlich fragen willst.

Kanns sein, dass du nicht weißt, wie man die Geradengleichung einer Geraden aufstellt, die NICHT Funktion ist und von der man den Steigungswinkel (der ja auch 90° sein kann) und einen Punkt kennt?

[...]
Du kannst keine allgemeine Geradengleichung mit tan(alpha) = k aufstellen, die Nicht-Funktionen auch beinhalten


Naja, ich hatte bisher nicht mit nicht-funktionen was zu tun gehabt - daher wusste ich nicht, ob es eine Möglichkeit gibt.
Und da es eine allgemeine Form nicht gibt, weiß ich es gibt diese Möglichkeit nicht direkt Augenzwinkern

Ok, danke vielmals :-)
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