beweis mit potenzen |
| 27.12.2004, 16:24 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| beweis mit potenzen beweise, dass p²-1 für jede primzahl p 5 durch 24 teilbar ist. alles, was ich bisher feststellen konnte, ist, dass es wirklich stimmt 
habe mir mal eine zahlenreihe aufgeschrieben und in klammern dahinter wie oft die 24 in diese zahl passt, also ergebnis/24. 5²-1 = 24 (1) 7²-1 = 48 (2) 11²-1 = 120 (5) 13²-1 = 168 (7) 17²-1 = 288 (12) 19²-1 = 360 (15) 23²-1 = 528 (22) 29²-1 = 840 (35) ich kann da irgendwie beim besten willen keine regelmäßigkeit feststelln und hab auch absolut keine idee wie man so etwas beweisen könnte.... |
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| 27.12.2004, 16:34 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Schlüssel ist: p²-1=(p-1)*(p+1) Jetzt schreib mal die 3 Zahlen p-1, p und p+1 nebeneinander hin für verschiedene Primzahlen. Was fällt dir dann auf ? Durch welche Zahlen sind p-1 und p+1 immer teilbar ? Was sind die Teiler von 24 ? |
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| 27.12.2004, 17:13 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist ja witzig... danke für den ansatz 
also die teiler von 24 sind 2, 3, 4, 6, 8 und 12. beide zahlen sind ebenfalls durch mindestens eine dieser zahlen teilbar. wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, müsste doch der beweis darauf hinaus laufen, dass das produkt zweier zahlen, die mindestens einen teiler aus der menge der teiler des produktes der zwei kleinsten zahlen gemeinsam haben, durch das produkt der zwei kleinsten zahlen teilbar ist. oder ist das jetzt zu weit hergeholt...? |
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| 27.12.2004, 17:16 | Bloodman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich würds mal so überlegen primzahl is immer ungerade -+1 ist gerade und durch 3 ist eine primahlen auch nicht teilbar |
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| 27.12.2004, 17:28 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Millhouse Es geht nicht um die Teiler von 24, sondern um die Primfaktoren! . Du musst also zeigen, dass das Produkt durch teilbar ist und durch 3. |
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| 27.12.2004, 21:23 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm... hab jetzt hin und her überlegt, aber irgendwie hab ich echt keine ahnung wie man sowas zeigen kann? brauche ich dafür irgendwie teilbarkeitsregeln? oder primfaktorzerlegungen oder sowas? |
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| 27.12.2004, 21:26 | xyro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bingo. welche teiler haben denn zwei aufeinanderfolgende gerade zahlen (p-1),(p+1) immer? |
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| 27.12.2004, 22:19 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm... 2 aufeiander folgende zahlen haben logischerweise immer die 2 als teiler. wenn man 2 gerade zahlen miteinander multipliziert, erhält man auch ein gerades produkt. aber wie beweist man, dass das auch durch 3 teilbar ist? das ist mir noch nicht so ganz klar. p ist auf keinen fall durch 3 teilbar. p-1 kann es sein, p+1 auch, muss es aber nicht. oder liege ich da falsch? und ist es auch so selbstverständlich davon auszugehen, dass ein produkt von zahlen, in denen die gleichen primfaktoren enthalten sind wie in 24, auch automatisch durch 24 teilbar ist? |
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| 27.12.2004, 22:51 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, also erstmal sind p-1 und p+1 zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen. Also sind beide durch 2 teilbar und eine ist sogar durch 4 teilbar (mach dir das an Beispielen klar. 10 und 12 sind z.B. zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen, hier ist 12 durch 4 teilbar). Damit hätten wir 8 abgehakt. Da p selbst nicht durch 3 teilbar ist, ist es darstellbar in der Form oder und jetzt überlegst du mal, was dann für p+1 bzw. p-1 gilt!
Ja, das ist es. Denn wenn da die Primfaktoren und 3 vorhanden sind, dann ist p^2-1 darstellbar als mit j einer natürlichen Zahl, denn das ist einfach die Primfaktorzerlegung, dann ist aber auch also ist durch 24 teilbar und diese Division ergibt j. 
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| 28.12.2004, 00:59 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ehrlich gesagt verstehe ich jetzt nicht, was du meinst? soll man das einfach äquivalent umformen? für p - 1 würde das bedeuten: p - 1 = 3k bzw. p + 1 = 3k + 2 oder p - 1 = 3k + 1 p + 1 = 3k + 3 wenn ich das jetzt richtig interpretiere, bdeutet das, dass entweder p - 1 durch 3 teilbar ist (p - 1 = 3k) oder p + 1 (p + 1 = 3k + 3), nie aber beide gleichzeitig. das ist irgendwie einleuchtend... stimmt das so? zusammenfassend wäre demnach der beweis: p+1 bzw. p-1 müssen durch 2 und durch 3 teilbar sein. beweis für die teilbarkeit durch 2: da p eine primzahl ist, sind p-1 und p+1 zwei aufeinander folgende gerade zahlen und daher in jedem fall durch 2 teilbar. beweis für die teilbarkeit durch 3: da p eine primzahl ist, ist sie nicht durch 3 teilbar, also: p = 3k+1 und p = 3k+2 <=> p-1 = 3k, p+1 = 3k+2 oder <=> p-1 = 3k+1, p+1 = 3k+3 p-1 oder p+1 ist immer durch 3 teilbar, da: p-1 = 3k oder p+1 = 3k+3 entweder p-1 oder p+1 ist somit in jedem fall durch 3 teilbar. q.e.d. ich hoffe das ist richtig so...? |
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| 28.12.2004, 01:07 | Bloodman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja
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| 28.12.2004, 09:42 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bisher hast du nur gezeigt, das p²-1 teilbar ist durch 2*2*3=12, ein Faktor 2 fehlt noch zu 24. Einer der beiden Faktoren p+1 und p-1 muss daher ein weiteres Mal durch 2 teilbar sein, also durch 2*2. |
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| 28.12.2004, 14:37 | stef123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
p ist immer ungerade, also in der Form p=2n+1 darstellbar. <=>n=(p-1)/2 p²-1=(2n+1)²=4n²+4n+1-1=4n(n+1) Die teilbarkeit durch 4 ist ersichtlich. n oder n+1 ist zusätzlich durch 2 teilbar. Beiweis der Teilbarkeit durch drei: n=(p-1)/2 n+1=(p-1)/2+1=(p+1)/2 4n(n+1)=4*(p-1)/2*(p+1)/2=(p-1)(p+1) Von den Zahlen p-1; p; p+1 muss genau eine durch drei teilbar sein. Da es p als Primzahl nicht sein kann, kann es nur p-1 und p+1 sein. |
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| 29.12.2004, 16:44 | Millhouse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
diesen schritt kann ich nicht so ganz nachvollziehen... warum ist p²-1=(2n+1)² wenn du vorher p mit 2n+1 deklarierst...? das ist dann doch nicht mehr äquivalent.... 
und mit dem beweis für die teilbarkeit druch 3 kann ich irgendwie absolut nichts anfangen.... könntest du das vielleicht näher eläutern? |
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| 29.12.2004, 16:57 | PK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das fand ich jetzt auch ein bisschen unverständlich, weil nach deiner Deklaration ist p² = (2n + 1)² es ist aber richtig weitergeführt, weil du die -1 im darauffolgenden Schritt hinzufügst Der Beweis für die teilbarkeit durch drei ist ja schon aufgeführt |
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