Zeilenrang=Spaltenrang

28.12.2004, 19:50	bier	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeilenrang=Spaltenrang Als es geht um ne Matrix Die Behauptung ist, dass sich durch weglassen einer überflüssigen (überflüssig soll bedeuten, dass die Spalte von den anderen Spalten linear kombiniert werden kann) Spalte, weder der Spalten- noch der Zeilenrang verändert. Zum Beweis stellen wir uns vor die letzte Spalte sei überflüssig. Dann kann man auch in jeder Zeile (und jeder Linearkombination von Zeilen) die letzte Komponente aus den vorigen linear kombinieren. Man verwendet nämlich einfach dieselben Koeffizienten, die man von der linearen Abhängigkeit der letzten Spalte von den vorigen erhalten hat. Als Beispiel können wir uns vorstellen, dass die letzte Komponente die Summe der übrigen Koeffizienten ist. Dann gilt: $\begin{eqnarray} s_1+s_2+...+s_{n-1}=s_n \end{eqnarray}$ wenn s_i die i-te Spalte unserer Matrix ist; entsprechend gilt für die i-te Komponente $\begin{eqnarray} a_{i1}+a_{i2}+...+a_{i,n-1}=a_{in} \end{eqnarray}$ für i=1,...,m. So bis hier ist es mir noch klar. Aber nun gehts ja weiter... Betrachten wir nun eine Linearkombination von Zeilen von M, die Null ergibt. Wir streichen aus jeder dieser Zeilen die letzte Komponente und nennen das Ergebnis eine verstümmelte Zeile. Wir betrachten die Linearkombination mit denselben Koeffizienten der verstümmelten Zeilen. Dann muss trivialerweise auch diese Null sein. Also angenommen ich hab eine Matrix:* $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 11 & 92 & 13 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Diese ist ja nur dann 0 wenn die Koeffizienten Null sind. Also ist auch die verkürzte Matrix mit den Koeffizienten Null gleich Null. Hätte ich aber eine andere Matrix z.B $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -4 & -6 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Dann könnte man 2 mal die obere Zeile und einmal di euntere Zeile nehmen und würd dei Null erhalten. Bei der verkürzten Matrix genauso. Ist dies damti im text gemeint worden? So aber nun weiter zum Oberhammer:*** Die Umkehrung dieser Aussage soll auch wahr sein. Wenn eine Linerakombination $\begin{eqnarray} \sum k_iz_{i'} \end{eqnarray}$ der verstümmelten Zeilen zi' Null ist, so ist auch die entsprechende Linearkombination $\begin{eqnarray} \sum k_iz_{i} \end{eqnarray}$ der Originalzeilen zi gleich Null: Betrachten wir das Beispiel, dass die lette Komponente von zi einfach die Summer der übrigen Komponenten ist. In diesem Fall ergibt sich: $\begin{eqnarray} \sum_{i}k_ia_{ij}=0 \end{eqnarray}$ für j=1,...,n-1 also $\begin{eqnarray} \sum_{i}k_ia_{in}=\sum_{i}k_i(a_{i1}+...+a_{i,n-1})=\sum_{i}k_ia_{i1}+...+\sum_{i}k_ia_{i,n-1}=0 \end{eqnarray}$ da die entsprechende Linearkombination der verstümmelten Zeilen komponenteweise Null ergibt. Also stimmt das, was ich zu * geschríeben hab? Kann jemand ab *** das nochmal etwas anders erklären? Das blick ich nämlich nicht, (obowhl mir jetzt beim mühsammen tippen ein Verdacht gekommen ist...)

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