Winkel dritteln

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Y-G Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel dritteln
Hallo!
Ist es eigentlich möglich (bzw wurde eine Möglichkeit gefunden) einen Winkel mit Zirkel und Lineal zu dritteln?

Ich bilde mir ein, ich hab irgendwo gehört, dass das nicht möglich ist, aber ich hab bei google leider nix gefunden.....
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

teoretisch könnte das sogar gehen da du einen kreis auch nur mit zirkel und lineal 3teln kannst
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel dritteln
Zitat:
Original von Y-G
Hallo!
Ist es eigentlich möglich (bzw wurde eine Möglichkeit gefunden) einen Winkel mit Zirkel und Lineal zu dritteln?


Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mit Zirkel und Lineal in einer klassischen Konstruktion zu dritteln.
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

habs mir mal überlegt
da ich nur mit paint aberiten konnte sieht es etwas verzerrt aus
alles kann nur mit lineal und zirkel konstruiert werden
die grünen linien sind die die drittellinien
blau und die beiden roten sind jeweils gleich lang


edit
sorry auf arbeit kann ich keine dateianlagen hinzufügen unglücklich
wenn ich zu hause bin poste ich es
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel dritteln
Zitat:
Original von Leopold
Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mit Zirkel und Lineal in einer klassischen Konstruktion zu dritteln.


Da es nicht geht, muß Bloodmans Konstruktion falsch sein. Das kann man sagen, ohne daß man sie sehen kann. (Warum, liebe Administratoren, geht das wieder einmal nicht?)
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke auch, es ist schon längst bewiesen, dass es unmöglich ist, einen beliebigen Winkel nur mit Lineal und Zirkel (und entsprechend der klassischen Vorgehensweise) in 3 gleiche Teile zu teilen.

Ich glaube, das liegt daran, dass bei der rechnerischen Lösung der Dreiteilung eines Winkels Gleichungen 3. Grades auftreten, während mit Zirkel und Lineal nur Probleme gelöst werden können, die auf Gleichungen max. 2. Grades führen.
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

winkel alpha zwischen den graden/strecken/halbgeraden f und h im punkt A

also was ich mache ist den winkel halbieren! (grade g)
dann in gewissem abstand einen kreis K1 zeichenen mit dem mitelpunkt M1 auf g (radius egal aber hier mit r benannt)
g schneitet den kreisbogen von K1 in 2 punkten
dort sind die mittelpunkte M2 und M3 der kreise K2 und K3 (M2 liegt näher an A)
K1 und K2 und K3 haben den gleichen radius r
der kreisbogen von K1 scheidet die Kreisbögen von K2 und K3 in jeweis 2 punkten
von K2 in den punkten L1 und L2 und von K3 in den punkten J1 und J2

wenn man J1, J2 und M2 verbindet bekommt men ein gleichseitiges dreieck (konstuktion sollte bekannt sein)
auch wenn man L1, L2 und M3 verbindet bekommt man auch ein gleichseitiges dreieck

die strecke L1 L2 schneidet die strecke M2 J1 im punkt W1
und M2 J2 im punkt W2

die strecken L1 W1, W1 W2 und W2 L2 sind gleich lang und unterteilen die stecke L1 L2 in 3 teile

wenn du mir das nicht glaubst kannst du es überprüfen denn die gleichseitigen dreiecke M2 J1 J2 und M3 L1 L2 bilden zusammen einem gleichmäßrigen sechseckigen stern mit den eckwinkeln von 60 grad

(ist ganz einfach bewiesen. wenn du es nicht glaubst mach ich den beweis noch, aber jetzt nicht hier)

jetzt nimmst du wieder einen zirkel und ziehst von A aus einen kreis K4 einem beliebigen radius
wo sich der kreisbogen von K4 mit f und h schneidet sind die punkte C und B
Jetzt ziehst du die stecke B C
und die geraden u1 und u2 durch die punkte L1 B und L2 C
wo sich u1 und u2 schneiden ist der punkt Z
durch Z und jeweis W1 und W2 ziehst du auf die stecke B C 2 punkte die sie punkte der winlel dritelden darstellen

so wenn das nicht stimmt dann musst du zwischen B und C den Kreisbogen von K4 nehmen

eins von beiden stimmt aber
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dieser unheimlich umständlichen Konstruktion hast du bewiesen, dass du eine Strecke (bei dir BC) in drei gleich lange Teile zerlegen kannst - herzlichen Glückwunsch! Big Laugh Big Laugh Big Laugh

Ich frage mich nur, was das mit der Winkeldrittelung zu tun haben soll? verwirrt
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

darum hab ich ja dazu geschrieben das es auch der kreisbogen sein kann
und die umständliche konstruktion hab ich gemacht da dabei ein kreisbosgen in 3 teile zerlegt wird und wenn doch ein fehler irgendwo drinn ist das dann ich mit einem gedrittelten kreisbogen das ganze vielleicht doch geht

aber wenn ihr sagt das es bewiesen wurde das das nicht geht dann glaub ich euch!!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Credo in unam sanctam catholicam mathematicam artem.
E(L^2)Y Auf diesen Beitrag antworten »

übersetzung, bitte!? *g*

ich glaube an die heilige katholische mathematik, amen....oder wie? kA...ich hab kein latein

Zitat:
Original von Arthur Dent
Mit dieser unheimlich umständlichen Konstruktion hast du bewiesen, dass du eine Strecke (bei dir BC) in drei gleich lange Teile zerlegen kannst - herzlichen Glückwunsch! Big Laugh Big Laugh Big Laugh

Ich frage mich nur, was das mit der Winkeldrittelung zu tun haben soll? verwirrt


ich würde da ein dreieck machen, dann eben eine seite in 3 gleich große teile zerlegen und mit dem gegenüberliegenden eckpunkt verbinden. aber.....dann haben wir zwar den winkel gedrittelt, aber das mittlere stück ist größer, oder?
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich hab verstanden und mir selbst bewiesen das es mir einer gedrittelten strecke nicht geht
aber ich habe ja auch einen gedritteltenden winkel
ich kann sogar einen gedrittelten winkel konstruieren der 3 mal so groß wie alpha ist der den gleichen radius wie der kreis K4 um A hat!
damit könnte es doch klappen!

ich habe leider kein programm mit dem ich das ordentlich zeichen und überprüfen kann
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Credo in unam sanctam catholicam mathematicam artem.


"Ich glaube an die heilige allumfassende mathematische Kunst." (Anlehnung an den lateinischen Meßtext des Credos)

Für geometrische Zeichnungen empfehle ich Euklid.
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

rechnet das auch winkel aus
(kanns auf arbeit nicht installieren!)
E(L^2)Y Auf diesen Beitrag antworten »

konstruieren lässt sich das ja, aber nicht mit der klassischen konstruktion....oder?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bloodman
ich habe leider kein programm mit dem ich das ordentlich zeichen und überprüfen kann


da brauchst nichts zu rechnen und zu überprüfen, das geht nicht mit
der Dreiteilung ...(von Spezialfällen abgesehen)
.
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaubs euch ja!
nur ich will wissen was dann überh<upt raus kommt bei meinen konstuktionen und das auf hunderstel genau um mir das zu verdeutlichen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also dass deine Geraden W1Z und W2Z die Strecke BC dritteln, habe ich oben schon erwähnt (folgt einfach aus Strahlensatz).

Diese Geraden W1Z und W2Z haben natürlich auch irgendwelche Schnittpunkte mit dem Bogen BC, aber deren Lagen sind abhängig von den von dir gewählten Hilfskreisen, und schon allein deswegen i.a. nicht die Drittelungspunkte des Kreisbogens.

Falls du es doch anders gemeint hast, dann solltest du
Zitat:
Original von Bloodman
durch Z und jeweis W1 und W2 ziehst du auf die stecke B C 2 punkte die sie punkte der winlel dritelden darstellen

so präzisieren, dass man es auch verstehen kann. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben sei der Winkel mit als Scheitel und als Punkt auf dem ersten Schenkel.

Nach Archimedes kann man folgendermaßen dritteln:

1. Man zeichne einen Kreis um durch , der den zweiten Schenkel von im Punkt schneiden möge.

2. Auf einem Lineal markiere man zwei Punkte so, daß ihr Abstand genau der Länge der Strecke entspricht.

3. Jetzt zeichne man die Gerade , indem man das Lineal so anlege, daß ist und für die auf dem Lineal markierten Punkte gilt: liegt auf der Geraden und liegt auf .

Dann gilt:

Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

also nochmal:
ich hab schon für mich selbst bewiesen da es mit einer stecke die gedrittelt wir nicht geht

ich hab aber die möglichkeit mit zirkel und lineal einen winkel zu dritteln!
der entspricht nicht dem ausgagnswinkel

ich möchte überprüfen ob ich damit ans ziel komme (was nicht geht... ich weiß) ich möchte nur sehen wie es abweicht und den gegenbeweiß für mich selbst bringen das es auch so nicht möglich ist!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Nette Konstruktion. Gibt's auch einen Namen für die solchermaßen ("Lineal derart anlegen...") erweiterte Klasse von Konstruktionen?

@Bloodman

Ich finde irgendwie keinen Zugang zu deiner Logik. Jetzt sagst du, dass du irgendwelche Winkel dritteln kannst, nicht unbedingt den gegebenen. Das ist nun aber völlig abwegig in Hinblick auf die ursprüngliche Problemstellung der Drittelung eines beliebigen vorgegebenen Winkels: Schließlich kann ich jeden Winkel verdreifachen, den dann hernehmen und solchermaßen natürlich diesen dreifachen Winkel dann dritteln - indem ich einfach den Ausgangswinkel präsentiere. Du musst mal deine Gedanken ordnen...

Ein Gegenbeweis für deine Konstruktionen wäre, dass du deine Konstruktionsschritte mal analytisch nachvollziehst und dann eben am Ergebnis siehst, dass keine Winkeldrittelung vorliegt. Das kannst du natürlich auch schon an einer Zeichnung und genauer Winkelmessung feststellen.
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist nun aber völlig abwegig in Hinblick auf die ursprüngliche Problemstellung der Drittelung eines beliebigen vorgegebenen Winkels: Schließlich kann ich jeden Winkel verdreifachen, den dann hernehmen und solchermaßen natürlich diesen dreifachen Winkel dann dritteln - indem ich einfach den Ausgangswinkel präsentiere.


genau das hab ich vor
und mit dieser verdreifachung möchte ich dann das ganze auf den kleineren winkel projezieren
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bloodman
genau das hab ich vor
und mit dieser verdreifachung möchte ich dann das ganze auf den kleineren winkel projezieren


Da liegt also der Hund begraben:

Das klappt nicht mit einer "klassischen" Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Sowas wie einen "Strahlensatz für Winkel" gibt es eben leider nicht.
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich denke auch das es daran liegen wird aber ich wills mir halt mal graphisch darstellen
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst den winkel zwar nicht mit mit deiner methode dritteln, aber vielleicht willst du es so probieren
origami
werner
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@wernerrin

Kann man vermutlich in dieselbe Konstruktionsklasse wie die obige Methode von Leopold einordnen. Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

@artur dent,

ja vermutlich, aber einmal etwas aus einer ganz anderen ecke
werner
pimaniac Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kanns dir in Kurzfassung beweisen warums nicht geht:

Folgende Überlegung

1.) wenn mal alle Winkel dritteln kann dann auch den Winkel 60°

2.) Nimm nen Winkel mit Scheitellänge 1 und eben 60° (Winkel BAC)

3.) Mach ne Normale vom Endpunkt des ersten Scheitels (C) auf den zweiten.

4.) Du hast jetzt ein Rechtwinkeliges Dreieck mit Hypotenuse 1 und einer Kathede gleich sqrt(3)/2 und der zweiten gleich 1/2

5.) Könnte man nun den Winkel 60° Dritteln, d.h. man könnte die Länge der Seite a konstruiern. Die ist gleich (1/2)*tan(20°).

6.) Man kann zeigen (relativ leicht) dass man mit Zirkel und Lineal nur Lösungen von Gleichungen zweiten Grades konstruieren kann.

7.) Die Winkelfunktionen von allen Winkeln die nicht 90 oder 60 durch eine Zweierpotenz sind, sind transzendent (nicht Lösung einer polynomgleichung) d.h. fix nicht die Lösung einer quadratischen Gleichung. Das kann man schon schwieriger zeigen, das folgt im Prinzip aus der Transzendent von pi.

8.) Das man nur Lösungen Quadratischer Gleichungen konstruieren kann wird auch im Beweis verwendet dass man nicht die Seitenlänge eines Würfel mit halben Volumen konstruieren kann (ein anderes der klassischen Teilungsprobleme) da bräuchte man nämlich die Lösung einer gleichung dritten Grades.

9.) Wen wer mehr über das Thema wiisen mag, ich hab mal ne 50 Seiten Arbeit darüber geschrieben, kann ich gern weiterleiten
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pimaniac
7.) Die Winkelfunktionen von allen Winkeln die nicht 90 oder 60 durch eine Zweierpotenz sind, sind transzendent (nicht Lösung einer polynomgleichung) d.h. fix nicht die Lösung einer quadratischen Gleichung.


Du meinst wahrscheinlich, aller rationalen Winkel (p/q * 180 Grad) . Ist aber trotzdem falsch:



ist offensichtlich nicht transzendent.
pimaniac Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt da hab ich schwachsin geredet....

Ok ich werd nachschauen.... es sollt aber auf die Transzendnez von tan20 hinauslaufen


EDIT:

Ich hab mich grad weitergebildet und mußte zu meinem Entsezten feststellen dass tan(20) nicht transzendent ist

Es giblt nämlich folgende Formel :



d.h. da tan(60)=sqrt(3) ist gilt:



Das heißt tan(20) ist Lösung einer Gleichung mit algebraischen Koeffizienten ist also selbst wieder algebraisch... Da es sich aber um eine Gleichung Dritten Grades handelt man aber nur die Lösungen von quad´ratischen Gleichungen konstruieren kann folgt dennoch die nicht dirttelbarkeit des Winkels

Tut leid für den Schwchsinn den ich geredet hab... sollte das nächste mal zerst nachlasen un ddann reden und mich nicht auf meine Erinnerungen verlassen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hast heute einen schlechten Tag. Augenzwinkern

Alle, wirklich alle solche rationalen Winkel (p/q * 180) Grad besitzen algebraische Winkelfunktionswerte (sin, cos, tan).

Das erkennt man am besten daran, dass cos(nx) als Polynom T_n mit rationalen Koeffizienten des Arguments cos(x) dargestellt werden kann (Tschebyscheff-Polynome).

Und dann haben wir halt durch



die Begründung, dass der Kosinus dieses rationalen Winkels algebraisch ist. Die anderen Winkelfunktionen folgen dann unmittelbar.

---------------------

Transzendenz ist hinreichend, aber nicht notwendig für Nichtkonstruierbarkeit:

Auch (Volumenverdopplung des Würfels) lässt sich nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren.
pimaniac Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit 3-ter Wurzel aus 2 war mir bekannt.... (siehe 6.) bzw. (8.) da hab ich genau das verwendet :-))

Meinen Artikel hab ich geeditet bevor ich deines gesehen hab, ich schätz mal das läuft eh genau auf dasselbe hinaus :-))

aber danke fürs genaue durchlesen meines Schwachsinnes Hammer


Falls du jeztt zufrieden bist dann sags bitte... dann gehts mir schon wieder viel besser Rock
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

böse
das ganze das ich dachte es ist möglich nen winkel zu dritteln kam daher das mir in der schule was falschen beigebracht wurde Hammer
Dont trust your teachers
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@pimaniac

Ich kann deine Aussagen leider nicht in der Gesamtheit bewerten - dazu verstehe ich zuwenig von Nichtkonstruierbarkeit. Du hast allerdings manches sehr ungenau formuliert (obwohl du das richtige meinst), z.B. müsstest du Punkt 6 irgendwie "rekursiv" erweitern:

Z.B. ist keine Lösung einer algebraischen Gleichung zweiten, sondern erst vierten Grades. Trotzdem ist dieser Wert konstruierbar.
pimaniac Auf diesen Beitrag antworten »

2 mal zweiten Grades ist vierter Grad...

Ich formuliers heut abend genau aus.... dann sollts klar sein :-))
---- Auf diesen Beitrag antworten »

einfach noch mal zusammenfassen: warum drittelt man einen beliebigen winkel nicht, wenn man in den scheitelpunkt A (winkel BAC) einsticht einen radius darumzieht, die beiden schnittpunkte mit den schenkeln verbindet und diese verbindungsstrecke drittelt??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Darum nicht:



ist der an Strecke gespiegelte Punkt. Wenn die drei Winkel bei gleich groß wären, müsste auf der Geraden durch liegen - was er aber offensichtlich nicht tut.
Bert Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ----
einfach noch mal zusammenfassen: warum drittelt man einen beliebigen winkel nicht, wenn man in den scheitelpunkt A (winkel BAC) einsticht einen radius darumzieht, die beiden schnittpunkte mit den schenkeln verbindet und diese verbindungsstrecke drittelt??


Die Winkelteiler teilen den Bogen (also die Bogenlänge). Die Bogenlänge hängt von dem Winkel und der Länge der beiden Schenkel ab, also vom Radius; der dritte Parameter ist konstant (PI). Die Länge der Schenkel, also der Radius, verändert sich durch die Teilung nicht, deshalb wird die Bogenlänge (b0) durch die Teilung gedrittelt (b1, b2, b3).

Die Sekante, die die Winkelteiler schneidet, verändert die Länge der Schenkel des mittleren Winkels (beta2). Weil die Länge der Teilsekanten von dem Winkel und dem LÄNGENVERHÄLTNIS der beiden Schenkel abhängt, diese aber für die Teilwinkel unterschiedlich lang sind, sind auch die Telsekanten über den Teilwinkeln unterschiedlich lang, obwohl beta1=beta2=beta3=alpha/3.

Vergleich im Bild die Längen:
M_S1=M_S2
r0=r1
M_R0 zu M_S1 ist NICHT gleich wie M_S1 zu M_S2.
und darum ist s1 ungleich s2
aber
M_S1 zu r0 ist gleich wie M_S2 zu r1
und darum ist s1=s3
alexruedi Auf diesen Beitrag antworten »

also es ist möglich bei einem 90° Winkel ihn zu dritteln. siehe anhang...

lg alexruedi Gott
Das Genie Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist möglich einen Winkel zu dritteln.
Ich habe heute eine Lösung gefunden.
Wie es aber geht bleibt noch mein geheimnis ich muss es erst noch bei mehr Winkeln prüfen.BIs jetz hab ich es nur bei 35°, 87° und einem 65° WInkel versucht und geschafft.
Aber einen 90° Winkel bzw. einen Überstumpfen Winkel hab ich noch nich versucht.
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