Vektorielle Darstellung von Geraden

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Mathematikus Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorielle Darstellung von Geraden
Hallo liebe Mathe-Board Community!

Ich habe zwei Fragen bezüglich der gegenseitigen Lage von Geraden. Die Fragen sind recht dringend (und für meine Verhältnisse sehr schwierig zu lösen!), da bald eine Prüfung im Fach Mathematik ansteht.

Aufgabe 1)

Geben Sie eine Gleichung für eine Gerade h, die die Gerade g schneidet, eine Gerade i, die zur Geraden g parallel ist, und eine Gerade j, die zur Geraden g windschief ist.

Parametergleichung: g:x = (2|2|1) + t*(1|2|0)

Anmerkung: Ich kenne alle Gesetze, anhand deren man die Lage der Geraden berechnen kann. Aber hier scheint mir ein entscheidender Anhaltspunkt zu fehlen. Ich komm einfach nicht darauf, wie ich mir die gesuchten Gleichungen herleiten kann.

Aufgabe 2)

In der Figur sind die Punkte A, B und C die Diagonalenschnittpunkte der jeweiligen Seitenflächen des Quaders. Schneiden sich die Geraden g und h?

Edit (mY+): Link zu externer Uploadseite entfernt

Auch hier bin ich mir unsicher. Muss ich hier die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit/Abhängigkeit überprüfen? Oder kann man eine sinnvolle Begründung auch durch Sätze, statt durch Rechnungen, erzielen?

Aufgabe 3)

Wie muss t € R gewählt werden, damit sich gt und ht schneiden/ windschief sind?

gt: x = (-t|1|-2) + r*(-1|4|2) und
ht: x = (2|6|4*t) + s*(1|-1|-2)

-> Muss man hierbei einfach die Geradengleichungen gleichsetzen und dann stur nach t auflösen? Da auch nach Windschiefe gefragt ist, vermute ich, dass es nicht so einfach sein kann. Muss man also auch die Lin.ab und Lin.unab der Vektoren u,v und q-p ermitteln?

Sorry, dass es so viele Fragen sind - aber bei den meisten ist nur ein Denkanstoß erforderlich. Ich könnte die Aufgaben bestimmt auch nach einiger Zeit selbst lösen, allerdings habe ich noch andere Schulfächer und dadurch keine Zeit, nach "Versuch-Irrtum" Prinzip zu arbeiten.

Hoffe ihr könnt mir teilweise helfen, ich bedanke mich jetzt schon für eure Aufmerksamkeit !!
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

Im Klausurenforum hat's jetzt nich sooo viel zu suchen!Augenzwinkern
=> verschoben!


Zu Aufg. 1: Wenn du weißt, welche Bedingungen gelten müssen, sollte das doch eigentlich nicht sooo schwer werden...
Erzähl' doch mal, was für die beiden richtungsvektoren der geraden gelten muss, wenn sie sich schneiden sollen.
Mathematikus Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, also die Richtungsvektoren müssten dann linear unabhängig sein, oder?
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

fast richtig!
Wenn sie l.u. sind schneiden sich die Geraden ODER sie sind windschief
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

Genau dadrauf wollte ich erstmal hinaus.
Also überlegst du dir irgendeinen Richtungsvektor, der zu dem gegebenen l.u. ist.
Wie Dunkit nun schon richtig ergänzt hat, kann es jetzt aber immer noch sein, dass die Gerade windschief ist statt die andere zu schneiden.
Jetzt musst du dir also den Ortsvektor so wählen, dass eine der beiden Varianten zutrifft.

Simultan gehst du dann für den Fall "echt parallel" vor, nur dass der Richtungsvektor hier eben l.a. sein muss und du aufpassen musst, dass die beiden Geraden dann nicht zufällig identisch sind...

Alles klar bei Aufgabe 1?
Mathematikus Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ja - von der Vergehensweise!

Bis auf zwei Sachen:

Zitat:
Also überlegst du dir irgendeinen Richtungsvektor, der zu dem gegebenen l.u. ist.


Kommt's da einfach drauf an, dass ich mir andere Koordinaten erfinde, oder muss ich dabei noch was spezielles beachten? Z.B. könnte ich mir vorstellen, dass man, ohne groß zu überlegen, die Basisvektoren des Raumes (also z.B. 0|0|1) als l.u. Vektoren nehmen könnte - stimmt der Gedankengang?

Zitat:
Jetzt musst du dir also den Ortsvektor so wählen, dass eine der beiden Varianten zutrifft.


Das verstehe ich nicht ganz, beim Schneiden gilt ja "u und v linear unabhängig" und "u; v und q-p linear abhängig". Hier geht es ja jetzt um das umsetzen letzterer Bedingung. Wie kann ich dass denn anstellen? ^^

Danke für die Hilfe!
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Überlegen geht gar nichts.

Du musst schon sicherstellen, dass dein willkürlich gewählter Vektor und der Richtungsvektor der Geraden nicht zufällig linear abhängig sind!

Kannst du nun verifizieren, dass (0|0|1) und (1|2|0) l. u. sind und wenn ja, wie?

OK, sie sind's. Dennoch sollst du das noch zeigen bzw. überprüfen.

Nun die zwei Fälle: h soll g schneiden, dann nimmst du als Anfangspunkt von h einfach einen Punkt von g, am einfachsten doch gleich deren Aufpunkt, oder?
Im anderen Fall, (g und h kreuzen) musst du nur sicherstellen, dass ein willkürlich gewählter Anfangspunkt von h nicht zufällig auf g liegt. Wie stellst du dies an?

Wie weit bist du bei den anderen zwei Beispielen gekommen?

mY+
m3mss12 Auf diesen Beitrag antworten »
antwort zu aufgabe 2
Hi
Zu aufgabe 2:

A (0|4|1) B(2|8|1) C(4|4|1)

g:x = (0/8/2) + t (4/-4/-1)
h:x = (0/4/1 + s (2/4/0)

4t -2s = 0
-4t -4s= -4
-t =-1

--> 4 =\= 0 und daher windschief.


Lehrer
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist unklar, was Dein Beitrag bezwecken soll. verwirrt

Wolltest Du einen uralten Thread ausgraben und einfach eine Lösung schreiben? Bitte unterlassen.
Möchtest Du wissen, ob Deine Lösung richtig ist? Die Geradengleichungen stimmen, windschief ist auch richtig. Du hast aber bei der Angabe der Punkte A und C vertauscht.
marcofarris Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort zu aufgabe 2
Hallo ich hab gerade genau die gleiche aufgabe 2

aber bei mir komm ich nicht auf den punkt C (dein Punkt A)


Der liegt irgendwie dazwischen

C = (0|X|1)

Was ist X ?? 3 oder 4 ???







MfG Marco
opi Auf diesen Beitrag antworten »

@marcofarris:
Du hast gestern zu Deiner Aufgabe bereits hier einen eigenen Thread eröffnet. Es gibt keinen Grund, heute in diesem alten Thread (aus dem Du den Link zum Bild kopiert hast) weiterzumachen, m3mss12 ward seit Wochen nicht mehr im Board gesehen.
Hier schließe ich.

Edit (mY+):
Den Link zu der externen Uploadseite habe ich jetzt entfernt. Die Grafik ist - zur Vollständigkeit - hier:


[attach]29467[/attach]
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