Wurzel ziehen!

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timmi Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel ziehen!
hi @ all,

bin neu hier, und hab gleich mal 'ne frage an euch!!!!

Wie kann ich die Wurzel aus z.b. 49 (ohne Taschenrechner) ziehen, da muss es doch eine bestimmt Formel geben!!!!!

cya.
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel ziehen!!!
Was verstehst du unter einer "bestimmten Formel" - nur unter Verwendung der vier Grundrechenarten, oder was ???
timmi Auf diesen Beitrag antworten »

arg,...

...ich mein das es "bestimmt" eine formel geben muss
PK Auf diesen Beitrag antworten »

nein, da gibt es keine Formel. Verschiebt das ma nach Algebra. Das läuft alles über Näherung und die einfachen Sachen gehen auch im Kopf.
timmi Auf diesen Beitrag antworten »

@ PK

wenn 'de meinßt
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt z.b. das Heron-Verfahren (hab ich mal ein vortrag dazu gemacht).

dabei nimmst du den wert des radianten x und eine startwert a und nach kurzer zeit wirst du schon einen sehr guten näherungswert erhalten. die formel dazu hat der gute herr Heron gefunden:



also z.b. für . guck mal hier, ich hab dazu ein kleines script geschrieben.
 
 
PK Auf diesen Beitrag antworten »

hey, Heron hab ich in der Middelstufe auch mal gehört

schließt mal diesen Fred, der hat den gleichen nochmal in Algebra aufgemacht
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte immer nur einen Thread aufmachen, da hier mehr los is, lass ich den.

Verschoben
PK Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, MSS, jetzt können wir weiter über Wurzeln reden.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens konvergiert die Folge sehr schön schnell! Da is man schon nach dem 10. Folgenglied auf mehrere Stellen (ca.10) hinterm Komma genau dran, wenn man für z.B. a=5 nich grad wählt.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Eine möglichkeit die Wurzel approximatisch zu berechnen ist es die Taylorformel bis zum zweiten Glied zu benutzen (man kann auch beliebig weit bei Wurzeln gehn). Dabei entwickelt man die Funktion



an der Stelle die berechnet werde soll, bzw in der Nähe dieser Stelle. Sinn macht dies Verfahren aber nur wenn man Werte ermitteln will die man sowieso nur approximatisch als Dezimalbruch darstellen kann.

Beispiel



Ich stelle die Taylorformel für wurzel(x) auf, ich entwickle nach 49. Ich nehme allerdings nur eine Taylorformel mit 2 Gleidern.



also



Ich will jetzt die Wurzel von 50 errechnen also



=



So, man sieht schon das mein Beispiel recht unglücklich gewählt ist weil 1/7 berechnet sich genauso schlecht. Allerdings können wir 1/6 und 1/8 schnell berechnen.

1/6 = 0,166..
1/8 = 0,125

So 1/7 liegt jetzt genau dazwischen, also ungefähr 0,145. So das wird nochmal halbiert, etwa 0,0725. also insgesamt

7 + 0,0725 = 7,0725

Die Wurzel aus 50 ist ungefähr 7,0710678 ...
Also haben wir schon eine approximation auf 2 Kommastellen. Es hängt normal immer davon ab, wie die Werte aussehen die wir approximieren wollen. Etwa kann man (1,02)² sehr gut approximieren mittels Taylor, Wurzel(50) wohl eher nicht.

edit

wenn ich

f(x) = tayllorformel schreibe dann ist das immer als ungefähr zu interpretieren. ICh approximiere ja nur.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

So, wie man schriftlich zwei beliebige Zahlen dividieren kann, und mit jedem Schritt eine Dezimalstelle dazugewinnt, kann man auch nur mit den Grundrechenarten aus einer beliebigen Zahl die 2., 3, usw. Wurzel ziehen. Nur kann das heute in den Zeiten von Taschenrechner und Computer fast keiner mehr.

Es geht nach der Methode z² = (a+b)² = a²+2ab+b², wobei z die Ausgangszahl ist, a eine ganze Zahl mit a²<z. Mit b<(z²-a²)/2a erhält man somit aus der bisher bekannten
Lösung a eine weitere Dezimalstelle.

Beispiel: Aus z²=98,7654321 soll die Wurzel gezogen werden.

w(98,7654321000000000000) = 9,93807
_-81_______________minus a²=9*9, Ziffer vor dem Komma
__17_______________teilen durch 2a=2*9 ergibt b=0,9...
__177______________nächste Ziffer von oben dazu
_-162______________minus 2ab=2*9*0,9
___15
___156_____________nächste Ziffer von oben
___-81_____________minus b²=0,9²=0,81
____75_____________Differenz, Ergebnis bisher 9,9
____755____________nächste Ziffer von oben
____755____________teilen durch 2a=2*99=198 ergibt b=3,...
___-594____________minus 2ab=2*99*3=596
____161
____1614___________nächste Ziffer von oben
______-9___________minus b²=3²=9
____1605___________Differenz, Ergebnis bisher 9,93
____16053__________nächste Ziffer von oben
____16053__________geteilt durch 2a=2*993=1986 ergibt b=8,...
___-15888__________minus 2ab=2*993*8
______165
______1652_________nächste Ziffer von oben
_______-64_________minus b²=8²=64
______1588_________Differenz, Ergebnis bisher 9,938
______15881________nächste Ziffer von oben
______15881________geteilt durch 2a=2*9938=0,...
_________-0________minus 2ab=2*9938*0
______15881
______158810_______nächste Ziffer von oben
__________-0_______minus b²=0
______158810_______Differenz, Ergebnis bisher 9,9380
______1588100______nächste Ziffer von oben
______1588100______geteilt durch 2a=2*99380=7,...
_____-1391320______minus 2ab=2*99380*7
_______196780
_______1967800_____nächste Ziffer von oben
___________-49_____minus b²=7²
_______1967751_____Differenz, Ergebnis bisher 9,93807
_______19677510____nächste Ziffer von oben
_______19677519____geteilt durch 2a=2*993807=9,9...


Hier aufgehört, da das Rechenschema gut erkennbar ist. Außerdem ist es doch eine elende Rechnerei, und die Zahlen werden dabei immer größer, und man gewinnt mit jedem Rechenschritt nur eine Dezimale. Andrerseits beschränkt sich die Rechnerei hauptsächlich auf Multiplikationen und Subtraktionen, die bei jedem Rechenschritt auftretenden Division kann man im Kopf abschätzen.

Ergebnis: Wurzel(98,7654321)=9,9380799...
Schüler Auf diesen Beitrag antworten »
49 ohne Taschenrechner
Eigentlich ganz einfach, aber ich verstehe es auch nicht so richtig, da muss man ein Intervallhalbierungsverfahren anwenden....wie das geht weis ich auch nicht mehr richtig^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 49 ohne Taschenrechner
Und wem nutzt diese Antwort nun? unglücklich Zumal der thread auch ein älterer Jahrgang ist. Augenzwinkern
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