Wert einer unendl. Reihe bestimmen

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01.01.2005, 05:02	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Wert einer unendl. Reihe bestimmen Hallo! Sorry wenn es das Thema schon mal gab, aber weiß zufällig jemand, wie man so etwas hier berechnen kann?: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray}$ Mir geht es darum, wie man darauf kommt, dass die Summe gerade dieses Ergebnis besitzt. Wenn ich es einfach durchrechnen würde, käme ja eine krumme Zahl dabei heraus. Also wie kommt man auf die Idee, das es eben genau das sein muss? Und gibt es eine andere Möglichkeit den Wert zu bestimmen, als einzeln zu summieren? Wenn man nicht gerade eine geometrische oder arithmetische Reihe hat, mein' ich. Danke im voraus!
01.01.2005, 14:35	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich keine Formel für diese Reihe parat hab , kann ich nur den Weg über die Partialsummenfolge nennen. Dabei stellst Du die Folge auf die genau die Reihe wiederspiegelt überlege zunächst: s(1) = 1 s(2) = 1 + 1/4 s(3) = 1 + 1/4 + 1/9 s(4) = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ... s(n) = ? Wenn Du dann die Partialsummenfolge aufgestellt hast, musst Du per Vollstäniger Induktion zeigen das $\begin{eqnarray} s(n) = \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ gilt. Danach berechnest Du den Grenzwert der Folge, denn der ist dann gleich dem der Reihe.
01.01.2005, 15:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt sehr viele verschiedenartige Herleitungen dieser Beziehung, allerdings keine einfache Antwort auf diese Frage. Manche Herleitungen benutzen Eigenschaften der Zeta-Funktion, andere gehen über die Partialbruchzerlegung der Cotangens-Funktion. Euler, von dem der Reihenwert stammt, ist den Weg über die Produktdarstellung der Sinus-Funktion gegangen. Konvergenzfragen, die uns heute vor allem beschäftigen, hat er mit feinem Gespür für das Richtige umgangen.
26.03.2005, 13:25	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Gast und alle die sich auch mit dieser Frage beschäftigen, Hier habe ich etwas dazu gefunden: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...aussage931/..., und hab´ dazu eine Frage: Wenn man in $\begin{eqnarray} \frac{\pi^2 }{sin^2(\pi z)}= \sum_{n=-\infty}^\infty~ \frac{1}{(z-n)^2} \end{eqnarray}$ z=0 einsetzt, was passiert genau mit dem Anfangsindex der Summe, so dass man von n = minus unendlich nach n=1 kommt, und somit auf $\begin{eqnarray} \frac{ \pi ^2}{6} = \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ kommt?
26.03.2005, 14:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beide Seiten der Gleichung enthalten das Glied $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^2} \end{eqnarray}$ , das somit wegfällt. Man sieht das am leichtesten mit der Potenzreihenentwicklung. In der Sinusreihe wird $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \pi z \end{eqnarray}$ substituiert, und es wird quadriert: $\begin{eqnarray} \sin^2{(\pi z)} = \left( \pi z - \frac{\pi^3 z^3}{6} \pm \ldots \right)^2 = \pi^2 z^2 - 2 \cdot \pi z \cdot \frac{\pi^3 z^3}{6} + O(z^6) \end{eqnarray}$ Übergang zum Kehrwert: $\begin{eqnarray} \frac{\pi^2}{\sin^2{(\pi z)}} = \frac{1}{z^2 - \frac{\pi^2 z^4}{3} + O(z^6)} = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{\pi^2 z^2}{3} + O(z^4)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{z^2} \left( 1 + \frac{\pi^2 z^2}{3} +O(z^4) \right) = \frac{1}{z^2} + \frac{\pi^2}{3} + O(z^2) \end{eqnarray}$ Und wenn du dies in die von dir gefundene Formel einsetzt, heben sich die Glieder $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^2} \end{eqnarray}$ weg. Auf der rechten Seite fassen wir die Glieder mit dem Index $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -n \end{eqnarray}$ zusammen, so daß sich das Folgende ergibt: $\begin{eqnarray} \frac{\pi^2}{3} + O(z^2) = \sum_{n=1}^{\infty}~\left( \frac{1}{(z-n)^2} + \frac{1}{(z+n)^2} \right) \end{eqnarray}$ Und jetzt setze $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ .
26.03.2005, 15:55	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort Leopold! Eleganter Zusammenhang... Ich verstehe nur diese eine Umformung nicht ganz: $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-\frac{\pi^2z^2}{3}+O(z^4)}= 1+\frac{\pi^2z^2}{3}+O(z^4) \end{eqnarray}$
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26.03.2005, 19:31	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wird mit $\begin{eqnarray} 1+\frac{\pi^2z^2}{3} \end{eqnarray}$ erweitert der Term im Nenner ist dann auch von der Ordnung z^4
26.03.2005, 23:09	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Aja, 3. Binomische Formel; dann steht im Nenner nur noch 1-O(z^4), und da man O(...) vernachlässigen kann nur noch 1. Danke. Ich hab übrigens versucht diese Methode auf $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^3}= \frac{\pi^3 }{25} \end{eqnarray}$ anzuwenden, leider kürzen sich nicht alle z´s so sauber raus: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{2}{k^3}= \frac{\pi^2 }{4z}-\frac{\pi^3 }{24} \end{eqnarray}$ ...ab da weiß ich grad´ nicht weiter. Ich hab mir als kleines Projekt nämlich vorgenommen das allgemeine Muster solcher Reihen erkennbar zu machen. Intressanterweise kommt bei allen graden Potenzen zwischen 2 bis 10 ein glatter Stammbruch mal die entsprechende Potenz von Pi als geschlossene Form raus : $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^2}= \frac{\pi^2 }{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^3}= \frac{\pi^3 }{24,988...} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^4}= \frac{\pi^4 }{90} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^5}= \frac{\pi^5 }{295,121...} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^6}= \frac{\pi^6 }{945} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^7}= \frac{\pi^7 }{2995,284...} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^8}= \frac{\pi^8 }{9450} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^9}= \frac{\pi^9 }{29749.35...} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^{10}}= \frac{\pi^{10 }}{93555} \end{eqnarray}$ (folgende Aussagen wurden gemacht bevor ich die Abbruchfehler bei den ungeraden Potenzen bemerkt habe, manche stimmen deswegen nur näherungsweise, bzw. wenn man Gaußklammern (floor oder ceiling) einsetzt, vielleicht sind sie schlicht falsch ) ...und alle (bis 2) sind durch 5 teilbar und lassen sich als Summe von Quadrate ausdrücken, z.B. ceiling[24.988...] = 3^2+4^2 (Pythagoras), 90=4^2+5^2+7^2, $\begin{eqnarray} 945=(4^2+5^2+7^2)+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2 \end{eqnarray}$ , ...das reinste Paradies für Zahlentheoretiker! Witzig und seltsam auch das sich die 9 aus 90 sich zwischen die 2 und 5 von der 25 "schiebt" und dann 295 "ergibt" bzw. sich eine 9 in die 295 "schiebt" und dann 2995 ergibt, und ausserdem die Differenz 2995-945=2050 genau 10mal so groß ist wie 295-90=205 bzw. die Differenz 945-295=650 genau 10mal so groß ist wie 90-25=65... . Ziemlich abgefahren, hier schimmert ein grösserer Zusammenhang durch. Die Zahlen im Nenner streben bei immer größer werdenden Potenzen genau zu der jeweiligen Potenz von Pi zu, welche sich mit der Pi-Potenz im Zähler zu 1 kürzen. Konkretes Beispiel: Die 10. te Wurzel aus 93555 ist gleich 3.1413... Hat sich Euler oder jemand anders über einzelne Grenzwerte hinaus schonmal damit beschäftigt? vielen Dank nochmal an Leopold und Egal, frohe Ostern!
26.03.2005, 23:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir sicher, daß deine Reihenwerte richtig sind? Meines Wissens sind die Werte der Reihen $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^k} \end{eqnarray}$ für ungerades $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ bis heute unbekannt.
27.03.2005, 01:27	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht, ich hab´ gerade genauer nachgerechnet das die Summe für 1/k^3 der Kehrwert von 24,988...mal pi^3 ist, die 25 war also ein Abbruchfehler. Bei den anderen Ungeraden Potenzen werde ich demnächst mal mit nem Computerprogramm nachrechnen, statt mit Taschenrechner. Bei den Geraden Potenzen bin ich mir ziemlich sicher, da waren lauter Nuller bis auf ein paar Milliardstel...aber auch da werd ich nochmal genauer prüfen. Ist mir peinlich zu verfrüht Schlüsse gezogen zu haben! Ist trotzdem ein spannendes Thema.

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