Rang einer Matrix

02.01.2005, 19:47

Bier

Rang einer Matrix

So Leute hab grad beim Rechnen einer eigentlich einfachen Aufgabe ne andere Lösung als die angegebene Lösung rausbekommen. Ich denk schon, dass ich Recht hab würde es aber gerne bestätigt bekommen damit ich mir sicher sein kann. Es geht um den Rang der folgenden beiden Matrizen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich sag die hat den Rang 2, das Buch meint 3. Bitte bestätigt micht;-)

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 8 & 9 &0 \\ 10 & 11 & 12 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wieder mein ich 2 und das Buch 3.
Der Rang ist doch die Anzahl der unabhängigen Spalten, oder?

02.01.2005, 20:27

JochenX

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treppenform bringen und zahl der stufen zählen.....
was du da übrignes hinschreibst sind die determinanten von matrizen (also zahlen!).... bitte unterscheide runde klammern und striche!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \not= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=a*d-b*c \end{eqnarray*}$

mfg jochen

edit: 2 variablennamen verwechselt

02.01.2005, 21:42

quarague

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in der ersten Matrix ist die Differenz der ersten beiden Zeilen gleich (3,3,3) die der zweiten und dritten auch. Also hat die Matrix nicht vollen Rang, sondern höchsten Rang 2.
Die zweite Matrix hat auch nur Rang 2 da die Differenz der ersten beiden Spalten gleich der Differenz der zweiten und dritten Spalte ist.
Du hast also in beiden Fällen recht fröhlich

, musst ein schlechtes Buch erwischt haben.

02.01.2005, 23:38

Wodka

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Ich habe die Matizen mal durch GEGAUST und Sie haben beide den Rang 2 !!!

03.01.2005, 16:04

bier

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Ok. Danke an alle, werd an die runden Klammern denken. Ach so ja und das Buch ist eigentlich schon ziemlich gut, zumindest im Sinne von verständlich im Vergleich zu anderen Büchern. Die Fehler kommen wohl daher, dass es erst die zweite Auflage ist. So hab wieder ein Problem mit den Matrizen:

Es geht darum, das folgende LGS zu lösen:

-2x +3y +2z + 4w=0
x - y +2z + 3w =0
2x + y + 2z- 2w=0

Das hab ich in ne Matrix umgewandelt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wieso klappt das nicht mehr ?? Also ich hab halt ne Matrix gemacht mit 3 Zeilen und 5 Spalten. Dann hab ich rumgerechnet bis ich in den ersten 3 Spalten nur auf der Hauptdiagonalen (links oben nach rechts unten) noch Zahlen und sonst nur Nullen hatte. In der vierten Spalte standen beliebige Zahlen und in der fünften waren nur Nullen. Wie errecent man damit die Lösungen? Ich mein wenn man die Zahl der vierten Spalte durch die Zahl der gleichen Zeile teilt erhält man 3 Zahlen welche zusammen mit der 1 eine Lösungsmenge ergeben. Aber wenn ich das LGS nicht wie man es in der Schule lernt ausrechnet dann kann man doch nicht ahnen, dass man die 1 noch als Lösúng dazu nehmen muss. Oder angenommen ich hätte noch ein paar Variablen mehr. Was hätte ich dann gemacht? Lange rede kurzer Sinn, kann mir jemand den Gauß Algorithmus erklären oder einen Link auf eine Erklärung posten? Aber wenn ihr den GA erklärt dann bitte nicht den Spezielfall, dass man eine Spalte mehr hat als Zeilen. Hilfe

edit: latex verbessert (Mazze)

04.01.2005, 09:08

klarsoweit

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bitte korrigiere mal deinen Latexcode, dann sehen wir weiter.

04.01.2005, 11:23

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@bier

Betreffs LaTeX: Streich einfach das "\begin document", dann sollte es klappen.

04.01.2005, 12:09

JochenX

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als nichtregistirierter user kann bier nicht editieren, arthur!
ich werde es deswegen mal verändern (zitat machts möglich Augenzwinkern

)

Zitat:

Original von bier (korrigiert)
Ok. Danke an alle, werd an die runden Klammern denken. Ach so ja und das Buch ist eigentlich schon ziemlich gut, zumindest im Sinne von verständlich im Vergleich zu anderen Büchern. Die Fehler kommen wohl daher, dass es erst die zweite Auflage ist. So hab wieder ein Problem mit den Matrizen:

Es geht darum, das folgende LGS zu lösen:

-2x +3y +2z + 4w=0
x - y +2z + 3w =0
2x + y + 2z- 2w=0

Das hab ich in ne Matrix umgewandelt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wieso klappt das nicht mehr ?? Also ich hab halt ne Matrix gemacht mit 3 Zeilen und 5 Spalten. Dann hab ich rumgerechnet bis ich in den ersten 3 Spalten nur auf der Hauptdiagonalen (links oben nach rechts unten) noch Zahlen und sonst nur Nullen hatte. In der vierten Spalte standen beliebige Zahlen und in der fünften waren nur Nullen. Wie errecent man damit die Lösungen? Ich mein wenn man die Zahl der vierten Spalte durch die Zahl der gleichen Zeile teilt erhält man 3 Zahlen welche zusammen mit der 1 eine Lösungsmenge ergeben. Aber wenn ich das LGS nicht wie man es in der Schule lernt ausrechnet dann kann man doch nicht ahnen, dass man die 1 noch als Lösúng dazu nehmen muss. Oder angenommen ich hätte noch ein paar Variablen mehr. Was hätte ich dann gemacht? Lange rede kurzer Sinn, kann mir jemand den Gauß Algorithmus erklären oder einen Link auf eine Erklärung posten? Aber wenn ihr den GA erklärt dann bitte nicht den Spezielfall, dass man eine Spalte mehr hat als Zeilen. Hilfe

könntest du auch mal deine ergebnismatrix präsentieren, bier?!

mfg jochen

04.01.2005, 13:29

klarsoweit

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ich forme mal die Matrix mit GA um und komme auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & 19 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen ist der Rang, also 3.
An der letzten Zeile (die entspricht der Gleichung 10z + 19w = 0) erkennt man, dass das GS keine eindeutige Lösung, sondern einen Unterraum als Lösung hat.
Wenn man das jetzt rückwärts auflöst, erhalten wir:
z = -(19/10)*w, y = (7/5)*w, x = (11/5)*w mit w beliebig

Oder in Vektorschreibweise ausgedrückt:
Die Lösungsmenge ist der Unterraum w * (11/5; 7/5; -19/10; 1)
alles klar? Augenzwinkern

04.01.2005, 15:08

Bier

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Zitat:

Original von klarsoweit
ich forme mal die Matrix mit GA um und komme auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & 19 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen ist der Rang, also 3.
An der letzten Zeile (die entspricht der Gleichung 10z + 19w = 0) erkennt man, dass das GS keine eindeutige Lösung, sondern einen Unterraum als Lösung hat.
Wenn man das jetzt rückwärts auflöst, erhalten wir:
z = -(19/10)*w, y = (7/5)*w, x = (11/5)*w mit w beliebig

Oder in Vektorschreibweise ausgedrückt:
Die Lösungsmenge ist der Unterraum w * (11/5; 7/5; -19/10; 1)
alles klar? Augenzwinkern

OK Danke. Aber bei mir im Buch steht mann muss, die Matrix auf folgende Form bringen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X & 0 & 0 & x & x \\ 0 & X & 0 & x & x \\ 0 & 0 & X & x & x\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du hast also die Zahlen über der Hauptdiagonalen nicht eliminiert.
Nach dieser Methode muss man dann halt die Gleichungen von unten angefangen nacheinander berechnen. Während man wenn man die Zahlen über der HD elimiert hat, jetzt auch mit der oberen Gleichung beginnen könnte. (korrigiert mich wenn das nicht stimmt)

Hätte ich nun noch mehr Variable so würde ich einfach aus der letzten Zeile eine Gleichung mit 3 oder mehr Variablen erhalten, oder? In diesem Fall z.B. 10z+19w+14u=0 oder??Wie würde man dann die Lösungsmenge angeben?

So bei folgender Matrix hab ich auch ne Frage:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 5 \\ 5 & 4 & -5 & -1 \\ 3 & 2 & -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich komm dann auf folgende Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 & 14 \\ 0 & -3 & 15 & 27 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit erhält man das Ergebnis: 2a+6c=14 -3b+15c=27 c=c
daraus folgt: a=(14-6c)/2 b=(15c-27)/3 c=c stimmt das so? Kann man schneller von der Matrix auf das Ergebnis schließen?

So und noch ne Frage:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & -5 & -1 \\ 3 & 2 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann erhält man durch Rechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1,5 & -7,5 & -3,5 \\ 0 & 0 & 0 & -2,5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun hat diese Matrix so keine Lösung, aber wieso darf man nun die letzten beiden Spalten nicht vetauschen? Dann würde es doch gehn oder??

schön, dass das latex wieder geht Freude

05.01.2005, 09:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bier
Du hast also die Zahlen über der Hauptdiagonalen nicht eliminiert.
Nach dieser Methode muss man dann halt die Gleichungen von unten angefangen nacheinander berechnen. Während man wenn man die Zahlen über der HD elimiert hat, jetzt auch mit der oberen Gleichung beginnen könnte. (korrigiert mich wenn das nicht stimmt)

ist im Prinzip richtig. Die Matrixelemente über der Hauptdiagonale kann man eliminieren, muß man aber nicht.

Zitat:

Original von Bier
ich komm dann auf folgende Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 & 14 \\ 0 & -3 & 15 & 27 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt braucht man etwas Theorie für das Lösen von LGS. Bei einem GS der Form A * x = b (A ist eine Matrix, x und b sind Vektoren) sucht man erst eine spezielle Lösung x(b) (falls existent). Dann betrachtet man das GS A * x = 0 und sucht davon die Lösungsmenge X. Die Lösungsmenge von A * x = b ist dann x(b) + X.
Für deine Matrix kannst du also erstmal c = 1 setzen. Dann ist b = -4 und a = 4. Dann mußt du noch die Lösungsmenge von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & -3 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bestimmen.

Zitat:

Original von Bier
Nun hat diese Matrix so keine Lösung, aber wieso darf man nun die letzten beiden Spalten nicht vetauschen? Dann würde es doch gehn oder??

man macht doch grundsätzlich nur Zeilenumformungen. Bei deinem Vorschlag würde doch von dem GS A * x = b die letzte Spalte von A mit dem Vektor b ausgetauscht werden. Das gibt dann etwas völlig anderes.

05.01.2005, 18:33

Bier

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Zitat:

Also kommt dann raus: $\begin{eqnarray*} x_1=-3x_3 \ x_2=5x_3 \ x_3=x_3 \end{eqnarray*}$

und dann jeweils plus (4,-4,1). Stimmt das so? Wie schreibt man das richtig hin?

Meine 1.Lösung ist aber auch richtig oder?

Zitat:

Also grundsätzlich darf man doch Spalten vertauschen, das ist ja quasi nur ne Umnummerierung der Variablen, oder? Darf man also alle Spalten vertauschen bis auf die letzte?

06.01.2005, 10:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bier
Also kommt dann raus: $\begin{eqnarray*} x_1=-3x_3 \ x_2=5x_3 \ x_3=x_3 \end{eqnarray*}$
und dann jeweils plus (4,-4,1). Stimmt das so? Wie schreibt man das richtig hin?
Meine 1.Lösung ist aber auch richtig oder?

ich würde die Lösungsmenge so schreiben: L = (4; -4 ;1) + x * (-3; 5; 1) mit x aus R
die Schreibweise hängt auch von dem ab, wie ihr das vereinbart habt.
Deine 1. Lösung ist in dem Sinn nicht das gewünschte Ergebnis, da es letztlich wieder nur ein GS darstellt.

Zitat:

Original von Bier
Also grundsätzlich darf man doch Spalten vertauschen, das ist ja quasi nur ne Umnummerierung der Variablen, oder? Darf man also alle Spalten vertauschen bis auf die letzte?

Das mit der Umnummerierung der Variablen mag stimmen, ist aber lästig, da am Schluß die Lösung wieder zurücktransformiert werden muß. Es ist einfach ein Unterschied , ob da steht:
1) a + 2b = 0
2) a + 3b = 1
oder
1) 2a + b = 0
2) 3a + b = 1
Die Spaltenvertauschung bringt im Grunde daher gar nichts. Die letzte Spalte steht für die rechts Seite des GS. Die darf man erst recht nicht vertauschen.

06.01.2005, 23:36

Bier

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Ich wollte ja nur die Spalten umtauschen um für diese Matrix doch noch ne Lösung zu finden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1,5 & -7,5 & -3,5 \\ 0 & 0 & 0 & -2,5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber ich seh ein, dass man die letzte Spalte nicht vertauschen darf.

So aber nun hab ich noch ein paar Fragen.

In meinem Buch steht, dass ,man jede Matrix als lineare Abbildung von K^n nach K^m auffassen kann. (Ist die Matrix dann eine Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} /_BM_C(f) \end{eqnarray*}$ mit B Basis von K^n und C Basis von K^m?)
Dazu stellen wir die Vektoren von K^n bzw. K^m als Spaltenvektoren dar:

$\begin{eqnarray*} K^n=\{ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ ...\\ k_n \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Dann induziert jede mxn Matrix A=(aij) über folgende Vorschrift eine lieare Abbildung von K^n in K^m: Der Vektor

$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} k_1 \\ ... \\ k_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird abgebildet auf den Vektor

$\begin{eqnarray*} A*v:=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ ... \\ k_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}k_1+a_{12}k_2+...+a_{1n}k_n \\ a_{21}k_1+a_{22}k_2+...+ a_{2n}k_n\\ a_{m1}k_1+a_{m2}k_2+...+a_{mn}k_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir machen uns dies an einem Beispiel klar. Matrix**

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 7\\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Dann wird durch A eine lineare Abbildung von R^3 in sich definiert die wie folgt operiert:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \rightarrow A*\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3x-2y+7z \\ x+2y \\ -x+4y+8z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man hat also eine Abbildung die so erklärt ist:
f unglücklich

x,y,z) -->(3x-2y+7z ,x+2y ,-x+4y+8z )

So und wenn ich nun die Basis von R^3 mit den Einheitsvektoren verwende und damit die Darstellungsmatrix bezüglich, dieser Basis und der Funktion f bilde dann bekomme ich genau wieder die Matrix von oben raus.

Wenn ich als eine Funktion f unglücklich

x,y)--->(3x-2y,x+y) habe und die Basis aus den Vektoren (1,1) und (1,2) dann erhalte ich die Darstellungsmatrix durch folgende Rechnung: f(1,1)=(1,2) und
f(1,2)=(-1,3) Daraus ergibt sich die Matrix:***

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -5 \\ 1 & 4 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So und jetzt hab ich wieder Fragen:

Hätte ich als Basis die Einheitsvektoren genommen dann wäre die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ rausgekommen aus der man die Funktionsvorschrift paraktisch ablesen kann. Dies ist immer so wenn man als Basis die Einheitsvektoren wählt?

Matrix *** ist also auch eine Darstellungsmatrix für die Funktion
f unglücklich

x,y)--->(-5y,x+y) ??

Wählt man nicht díe Einheitsvektoren, so erhält man eine andere Darstellungsmatrix ??

Was passiert wenn man keine quadratische Matrix hat? Klappt das mit den Einheitsvektoren dann trotzdem??
Schon oder? Würde ich an Matrix** noch ne Spalte dranhängen dann würde azus dem K^n ein K^(n+1) werden? Wenn ich noch ne Zeile dranhängen würde dann K^m größer werden?

06.01.2005, 23:45

Bier

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A ist Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f von V nach W. B ist Basis von V welche zur Bildung der Matrix verwendet wurde. Also ist $\begin{eqnarray*} A=_BM_C(f) \end{eqnarray*}$ Nun wird behauptet, dass der von den Spalten der Matrix aufgespannte Raum isomorph zu dem Unterraum W', der von den Bildern f(v1),...f(vn) erzeugt wird. Warum??

07.01.2005, 11:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bier
Wählt man nicht die Einheitsvektoren, so erhält man eine andere Darstellungsmatrix ??

ja, die Darstellungsmatrix A hängt eben auch von den Basen der Ausgangs- bzw. Zielräumen der Abbildung ab.
Das sagt ja auch die Schreibweise
$\begin{eqnarray*} A=_BM_C(f) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Bier
Was passiert wenn man keine quadratische Matrix hat? Klappt das mit den Einheitsvektoren dann trotzdem??
Schon oder? Würde ich an Matrix** noch ne Spalte dranhängen dann würde azus dem K^n ein K^(n+1) werden? Wenn ich noch ne Zeile dranhängen würde dann K^m größer werden?

ja

Bei der anderen Sache mit dem Isomorphismus bin ich noch am Grübeln. Irgendwie scheint die Sache klar zu sein, aber es klemmt noch. Algebra ist halt schon einige Jahre her.

07.01.2005, 17:42

Bier

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So ein SCH... grad hatte ich ganz viel geschrieben und dann ist der Rechner abgestürzt. Egal noch mal ne Kurzfassung zu dem isomporh. Ich hab mir überlegt, dass wenn die Bilder lin abh. sind dann gibt es eine nicht triviale Lösung für:

a,b,c,d sind Bilder der Basis. k,l,m,n, sind Körpelemente

ka+lb+mc+nd=0

Jedes Bild ist auch Element von K^m. Und kann also durch eine Linearkombination von Basisvektoren aus K^m dargstellt werden. Die Koeffizienten dieser LK sollen jeweils eine Spalte ergeben.
Ist nun ein Bild lin.abh von den anderen so kann man ka+lb+mc+nd=0 nach dem lin abh. Element auflösen z.B. a=lb+fc+nd (da l usw. ohnehin Vorfaktoren sind muss man sie jetzt nicht umbennen)

Nun weiß man aber, dass jedes Bild der Basis in der Form z.B.

$\begin{eqnarray*} b=q_1c_1+---q_mc_m \end{eqnarray*}$ dargstellt werden kann.

Da a lin. abh. ist kann man also a darstellen als:

$\begin{eqnarray*} a=lb+mc+nd =l(q_1c_1+---q_mc_m)+f(w_1c_1+---w_mc_m)...=(lq_1+fw_1+...)c_1+....+(lq_m+fw_m+....)c_m \end{eqnarray*}$

Also ist auch die Spalte, die aus a kreiert wird lin. abh.

12.01.2005, 15:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bier
A ist Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f von V nach W. B ist Basis von V welche zur Bildung der Matrix verwendet wurde. Also ist $\begin{eqnarray*} A=_BM_C(f) \end{eqnarray*}$ Nun wird behauptet, dass der von den Spalten der Matrix aufgespannte Raum isomorph zu dem Unterraum W', der von den Bildern f(v1),...f(vn) erzeugt wird. Warum??

Ich hätte einen Beweisvorschlag, aber ohne Garantie:

Ich nehme mal an, dass v1, ..., vn die Basis B von V und w1, ..., w_m die Basis C von W ist.
s1, ..., sn seien die Spalten der Matrix A. Sie sind die Koordinatenvektoren der Bilder
f(v1), ..., f(vn) bezüglich der Basis C von W. Es gibt also einen Isomorphismus K mit:
$\begin{eqnarray*} f(v_i) = K(s_i) = \sum_{k=1}^m~{s_{ik} * w_k} \end{eqnarray*}$
Behauptet wird:
span(s1, ..., sn) ist isomorph zu span(f(v1), ..., f(vn))
Meines Wissens (Algebra habe ich vor 20 Jahren mal gemacht) ist zu zeigen,
dass es eine lineare bijektive Abbildung von span(s1, ..., sn) nach span(f(v1), ..., f(vn)) gibt.

Zunächst gibt es ein j mit 1 <= j <= n und eine Indexmenge I = (i1, ..., i_j),
so dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} f(v_{i_1}), ..., f(v_{i_{j}}) \end{eqnarray*}$ eine Basis T von span(f(v1), ..., f(vn))
bilden.

Man kann nun zeigen, dass die Familie S der zugehörigen Koordinaten-Vektoren
$\begin{eqnarray*} (s_{i_1}, ..., s_{i_{j}}) \end{eqnarray*}$
eine Basis von span(s1, ..., sn) bilden.
Dann zeigt man, dass der Koordinaten-Isomorphismus K auch Isomorphismus von Unterraum(S) nach Unterraum(T) = W' ist.

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