Matrix nicht invertierbar

03.05.2007, 21:51

Cyraxx

Matrix nicht invertierbar

hallo zusammen!

ich habe ein problem mit folgeder aufgabe:

A ist eine 3x3 matrix

A*x=(1,0,1) hat keine lösung für x

mit diesen beiden kriterien soll ich nun beweisen, dass die Matrix A nicht invertierbar ist.

mein ansatz sieht so aus:

A*x=(1,0,1)
A*A^-1*x=(1,0,1)*A^-1
En*x=(1,0,1)*A^-1
A^-1=(1,0,1)^-1*x

(En= einheitsvektor)

da A*x=(1,0,1) keine lösung hat, hat folglich (1,0,1)^-1*x auch keine lösung.

reicht das als beweis? oder muss ich irgendwie zeigen, dass A*x=(1,0,1) irgendwo eine nullzeile hat?

danke für alle antworten

03.05.2007, 22:03

tigerbine

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RE: Matrix nicht invertierbar
$\begin{eqnarray*} A \in \mathbb K^{3x3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nexists ~x \in \mathbb K^3 \text{ mit } Ax = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Grob gesagt, zeige aus

$\begin{eqnarray*} \nexists ~x \Rightarrow \nexists A^{-1} \end{eqnarray*}$

Das kann man durch die Gültigkeit der Umkehrung beweisen, d.h. zeige:

$\begin{eqnarray*} \exists ~ x \Leftarrow \exists A^{-1} \end{eqnarray*}$

Nur würde ich die Matrix von links heran multiplizieren. Ich nenne den Bildvektor mal y. Ist kürzer zum schreiben.

$\begin{eqnarray*} Ax=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{-1}Ax=A^{-1}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_3x = A^{-1}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = A^{-1}y \end{eqnarray*}$

Was Du geschrieben hast geht so nicht, Du kannst nicht die Matrix hinschreiben, wo es Dir gerade "reinpasst. Und von rechts heranmulptiplizerit musst Du definieren was Vektor*Matrix sein soll.

03.05.2007, 22:12

Cyraxx

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mom so hab ich das doch quasi gemacht... ich versteh aus deiner antwort nich, was ich falsch gemacht habe...

danke für die schnelle antowort

03.05.2007, 22:17

tigerbine

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Du hälst Dich nicht an die Rechenregeln für Matrizen und Vektoren.

Was soll auf der rechten Seite z.B. $\begin{eqnarray*} xA^{-1} \end{eqnarray*}$ sein?

Und wenn Du schon von rechts multiplizierst, dann musst Du auf der anderen Seite auch schreiben

$\begin{eqnarray*} AxA^{-1} \end{eqnarray*}$

Und neben obigem ? darfst Du dann auch nicht einfach daraus

$\begin{eqnarray*} AA^{-1}x \end{eqnarray*}$

machen. Als Krönung führst Du dann noch den Inversen Vektor ein. Was soll denn das sein?

Also Du hast mit dem "multipliziere ich mal $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ ran" zwar die richtige Idee gehabt, bei der Umsetzung aber gegen verdammt viele Regeln verstoßen.

03.05.2007, 22:25

Cyraxx

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aso. glaub ich habe es verstanden. danke für deine hilfe!

mfg

cyraxx

03.05.2007, 22:28

tigerbine

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Man muss sich halt erst dran gewöhnen, dass man hier nicht einfach wie im Fall der reellen Zahlen rechnen darf. Wink

03.05.2007, 22:28

Ben Sisko

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Hi Cyraxx,

am besten schaust du dir die Definition der Matrizenmultiplikation nochmal an (Bedingung an Zeilen- und Spaltenanzahl).

Gruß vom Ben

03.05.2007, 22:30

tigerbine

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Dann werf ich gleich noch die Dyade (dyadisches Produkt) in die Runde. Denn $\begin{eqnarray*} xx^T \end{eqnarray*}$ kann dennoch definiert sein. Augenzwinkern

03.05.2007, 22:37

Cyraxx

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aaahh bitte nicht verwirren^^

die definition kenn ich. ich hab da jetzt bloß beim umformen nicht mehr dran gedacht. muss ich mir vielleicht mal angewöhen Augenzwinkern

03.05.2007, 22:41

tigerbine

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Sollst nicht verwirrt sein. Nur wenn Du dir die vom Ben angesprochene "Merkregel" vornimmst, fällt $\begin{eqnarray*} xx^T \end{eqnarray*}$ eben durch das Raster. Damit Du aber weißt, dass es für diesen (falsche Anzahl Fall) eine Definition gibt, habe ich dir den Link mal reingestellt.

03.05.2007, 22:52

Ben Sisko

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Zitat:

Original von tigerbine
Damit Du aber weißt, dass es für diesen (falsche Anzahl Fall) eine Definition gibt

Warum falsche Anzahl? Das entspricht doch der Matrizenmultiplikation. Die Frage ist nur, in welcher Reihenfolge man hier mutlipliziert, ob (n,1) mal (1,n)-Matrix oder (1,n) mal (n,1)-Matrix. verwirrt

04.05.2007, 07:03

tigerbine

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Also bei uns wurde gesagt, es geht nur AB, wenn

Spaltenzahl A = Zeilenzahl B

Und das ist ja bei $\begin{eqnarray*} xx^T \end{eqnarray*}$ im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} x^Tx \end{eqnarray*}$ nicht der Fall.

04.05.2007, 13:13

Ben Sisko

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Zitat:

Original von tigerbine
Und das ist ja bei $\begin{eqnarray*} xx^T \end{eqnarray*}$ im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} x^Tx \end{eqnarray*}$ nicht der Fall.

Doch ist es.

Einmal ist Spaltenzahl A = Zeilenzahl B = 1 und einmal ist Spaltenzahl A = Zeilenzahl B = n.
Um das den Fällen $\begin{eqnarray*} xx^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^Tx \end{eqnarray*}$ zuzuordnen, müsste ich wissen, ob x bei dir jetzt ein Zeilen- oder Spaltenvektor ist.

Gruß vom Ben

04.05.2007, 13:41

tigerbine

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Hallo Ben,

also bei mit ist

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ja, Du hast recht. Bei uns wurde das nur extra eingeführt,... da ist mir wohl entgangen, dass es "fast" nicht besonderes ist Augenzwinkern

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