Schnitt von zwei Ebenen

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03.01.2005, 18:39	OnkelStephan	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnitt von zwei Ebenen Hi, Ich kann ich berechnen ob sich zwei ebenen "schneiden", "Paralell und ineinander" oder oder paralell aber niicht ineinander liegen??? mfg OnkelStephan
03.01.2005, 19:08	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
du mußt überprüfen ob die richtungsvektoren komplanar sind oder nicht! sind u1,v1,u2,v2 komplanar dann sind die ebenen parallel, gilt noch zusätzlich (b-a) komplanar zu u1 und v1 sind die ebenen sogar identisch!
03.01.2005, 20:02	OnkelStephan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi erstmal danke für die antwort, aber was meinst du mit komplanar??? Ich habe als beispiel folgende zwei Ebenen 0 1 0 E1:x=4 +r1+s 1 1 -1 2 7 3 2 E2:x=17+r5+s5 6 1 4 Ich weis laut Lösungsbuch sind beide Ebenen gleich! E1=E2 aber woran erkenne ich das bei diesem beispiel das u1,v1,u2,v2 komplanar sind und danach das b-a komplanar zu u1 und v1 sind????? mfg OnkelStephan
03.01.2005, 20:26	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du das hier? $\begin{eqnarray} E1: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} +s* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E2: \vec{x}= \begin{pmatrix} 7 \\ 17 \\ 6 \end{pmatrix}+k* \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} +l* \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann hast du $\begin{eqnarray} \vec{u1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{u2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 5\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5\\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun mußt du schauen ob die richtungsvektoren von einander "abhängig" sind! zuerst nimmst du dir 3 vektoren vor dann muß die bedingung gelten: $\begin{eqnarray} u1= pv1+qu2 \end{eqnarray*}$ wenn u1,v1,u2 komplanar sind muß es für p und q einen wert geben, der die glleichung erfüllt; danach nimmst du dir dann den letzten vektor noch vor und stellst die gleiche bedingung auf. versuch es mal, wenn du nicht weiter kommst kannst dich noch mal melden und ich helfe dir dann weiter!
03.01.2005, 20:34	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
indem du sie z.b. auf koordinatenform bringst: für E1: $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix}0 \\ 4\\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix})\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow 3x-2y+z+7=0 \end{eqnarray}$ dasselbe ergebnis erhält man für E2 (sonst mußt du das lineare glsystem untersuchen) die letzte frage entzieht sich meinem verständnis(b-a komplanar...) werner
03.01.2005, 20:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kann man zunächst die (unnormierten) Normalenvektoren der Ebenen durch das Vektorprodukt der Richtungsvektoren ermitteln, z.B. bei E1 durch $\begin{eqnarray} \vec{u}_1\times\vec{v}_1 \end{eqnarray}$ . EDIT: wernerin war schneller...
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03.01.2005, 20:38	OnkelStephan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi also ich habe herausgefunden das für p -3/2 und für q 1/3 die gleichung aufgeht. aber wie meinst du das mit ich soll mir den letzten vektor vornehmen? mfg OnkelStephan
03.01.2005, 20:38	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
@ werner mit (b-a) meinte ich $\begin{eqnarray} ( \vec{b}- \vec{a}) \end{eqnarray}$ jetzt mußt du noch das hier überprüfen $\begin{eqnarray} u1= mv1+nv2 \end{eqnarray}$ falls es auch lösbar ist dann bedeutet das die vier richtungsvektoren komplanar sind! edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
03.01.2005, 20:47	OnkelStephan	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha Hi Ich habs glaube ich: ich prüfe zuerst ob u1 =pv1+qu2 und dann ob v2=pu1+qv1 und wenn beide lösbar sind, dann liegen die Ebenen Paralell! und wie kann ich nun errechen ob sie ineinander liegen? mfg OnkelStephan
03.01.2005, 20:53	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
du bildest den differenzvetor $\begin{eqnarray} ( \vec{b}- \vec{a}) \end{eqnarray}$ dann schaust du ob $\begin{eqnarray} u1= rv1 + s * ( \vec{b}- \vec{a}) \end{eqnarray*}$ auch erfüllt wird, falls ja dann sind die ebenen identisch! b und a sind die ORTSVEKTOREN der EBENE!
03.01.2005, 20:54	OnkelStephan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Also nochmal, jetzt glaube ich wirklich das ich es habe! zuerst prüfe ich ob ich die Gleichung u1= p * v1 + q * u2 mit werten für p und q auflösen kann! Wenn ja dann liegen die Ebenen paralell! und dann prüge ich noch ob die Gleichung u1= p * v1 + Q * v2 mit werten für P und q lösbar ist und wenn ja dann liegen beide Ebenen ineinander!! richtig? mfg Oneklstephan Danke derkoch! hast mir sehr geholfen!!! edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
04.01.2005, 00:59	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Danke da kämpften wir wohl alle parallel und kunterbunt durcheinander werner

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