Beweis: 2 Stetige Fkt |
| 04.01.2005, 01:06 | QuInCeQuEnTo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis: 2 Stetige Fkt Habe Probleme bei folgender Aufgabe, vielleicht weiss jemand von euch nen Ansatz oder wies geht: Beweisen Sie: Wenn zwei stetige Funktionen R->R in allen rationalen Punkten übereinstimmen, dann stimmen sie überall überein. Wäre cool wenn jemand was dazu weiss. QuInCeQuEnTo |
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| 04.01.2005, 01:30 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Beweis: 2 Stetige Fkt vielleicht so wenn x = 0.k1k2k3k4 ... die Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl zw. 0 und 1 ist, dann ist mit an = k1k2k3...kn/10^n eine gegen x konvergente rationale Folge gegeben ... .... .... . |
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| 04.01.2005, 13:28 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, man muss ja die Folge gar nicht explizit angeben. Du weißt, dass beide Funktionen (ich nenne sie f und g) stetig sind in jedem Punkt. Sei eine irrationale Zahl. Da f stetig ist in , gilt für jede Folge mit , dass geht. Gleiches für g. Da es für jede Folge gilt, kannst du dir irgendeine raussuchen und auf beide Funktionen anwenden. Damit bist du dann schon fertig, denn für jedes reelle, also auch für jedes irrationale, gibt es ja eine Folge rationaler Zahlen mit dem Grenzwert . Das dürfte genug Hilfe sein 
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| 04.01.2005, 13:48 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
woher kommt diese Gewissheit, mir fällt dazu nämlich nichts anderes ein, als eine solche eben auch anzugeben .. . |
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| 04.01.2005, 14:16 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, siehe zum Beispiel Heuser. Da wird das als Satz formuliert. Und für den Beweis braucht man nur die Tatsache, dass nach oben unbeschränkt ist und dass zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen keine weitere liegt
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| 04.01.2005, 14:27 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab kein Heuser usw., ich hab nur mein Kopf .. . |
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| 04.01.2005, 15:03 | QuInCeQuEnTo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da die Funktionen ja folgestetig sind gilt: xn -> a dann f(xn) -> f(a) Also wenn es für jedes a eine Folge rationaler Zahlen gibt (woher weiss man das?) heisst das dann auch, dass wenn zwei Funktionen in allen rationalen Punkten gleich sind, auch alle irrationalen übereinstimmen??? |
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| 04.01.2005, 15:11 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das heißt es! Naja, der Beweis des Satzes ist relativ kurz, aber man braucht dafür natürlich noch andere Sätze. Wenn du ihn nicht kennst, dann ist es natürlich auch möglich, eine explizite Folge anzugeben. |
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| 04.01.2005, 15:40 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so könnte es gehen Unter der Voraussetzung dass R gegeben ist als 'Q + alle HP von Q', dann kannst einfach sagen gibt es eine Folge an aus Q mit lim(an) = x aus R\Q, eben wegen x ist HP nur hier steckt dann der Knackpunkt in R = Q + und der Frage ist das identisch mit dem R wie wir es sonst kennen. . |
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| 04.01.2005, 16:59 | QuInCeQuEnTo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"aber man braucht dafür natürlich noch andere Sätze" welche denn? "explizite Folge" gilt das dann als Beweis für die Allgemeinheit? |
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| 04.01.2005, 22:18 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
weiss es jemand??? |
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| 04.01.2005, 22:41 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man braucht dafür folgenden Satz: Satz 1: Sei p eine reelle Zahl, Dann gibt es zu jedem eine rationale Zahl r, die zwischen und liegt: . Für den Beweis dieses Satzes braucht man folgende Sätze: Satz 2: Die Menge der natürlichen Zahlen ist nach oben unbeschränkt. Satz 3: Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element. Für den Beweis von Satz 2 braucht man den Satz 4: Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum. Für den Beweis von Satz 4 braucht man nur das Schnittaxiom. Für den Beweis von Satz 3 braucht man den Satz 5: Zwischen den natürlichen Zahlen n und n+1 liegt keine weitere natürliche Zahl. Und für Beweise von mehreren dieser Sätze braucht man den Satz 6: Jede induktive Menge natürlicher Zahlen stimmt mit überein. Und für den Beweis von Satz 6 braucht man nur triviale Mengenbeziehungen.
Ja, natürlich! Das habe ich oben aber schon einmal gesagt. |
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| 04.01.2005, 22:51 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine kurze Antwort wäre, dass die rationalen Zahlen in der Menge der reellen Zahlen dicht liegen. Aber das ist QuInCeQuEnTo möglicherweise zu abstrakt.
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| 04.01.2005, 23:15 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso nehmt ihr nicht einfach Poffs einfache Idee? Jede reelle Zahl kann als Dezimalbruch geschrieben werden: Jetzt betrachte man die Partialsummen, also die Folge der rationalen Zahlen Und mit dieser Folge läßt sich der Beweis sofort führen. |
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| 04.01.2005, 23:32 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Als ich das schrieb, dachte ich eigentlich auch an Poffs Idee und dass man diese Folge nehmen kann, habs aber dann wieder vergessen, es in meinem letzten Post zu schreiben. Ich frage mich jetzt aber grad auch, warum Poff von seiner Idee abgewichen ist. Ich denke nicht, dass ich je gesagt habe, sie sei falsch. |
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| 04.01.2005, 23:37 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sicher ist es gar nicht nötig, die rationale Folge explizit anzugeben, und sicher könnte man auch viel "einfachere" Beweise mit Hilfe der Topologie führen. Aber man sollte auch auf die Vorkenntnisse des Fragestellers Rücksicht nehmen. |
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| 04.01.2005, 23:53 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Fragesteller ist 22 Jahre alt, ich vermutete deshalb, er würde studieren und hätte genug Vorwissen. Ich kann ja leider nicht hellsehen und mir aus dem Hut zaubern, wie viel der Fragesteller weiß. PS: Was ist Topologie? |
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| 05.01.2005, 00:01 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Topologie gehören Begriffe wie innerer Punkt, offene Menge, abgeschlossene Menge, Rand, Stetigkeit, Zusammenhang, Trennungseigenschaften usw. |
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| 05.01.2005, 00:02 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein kleiner Überblick: http://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_%28Mathematik%29 |
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| 05.01.2005, 14:51 | QuInCeQuEnTo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja ich studiere, aber kein Mathe :-D Aber danke das was gesagt wurde hat mir bereits weitergeholfen und ich konnte die AUfgabe lösen, vielen dank :-D |
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