Nullstellen gesucht

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wurzelknirps Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen gesucht
Hallo zusammen: die besten Wünsche für das Neue Jahr,

ich versuche den Matheberg stetig zu bewältigen, stosse aber als Autodidakt immer wieder auf Fragen, die sich mir mit den Büchern nicht beantworten lassen .. oder ich find's einfach nicht.

Deswegen möchte ich hier mal etwas zum Verständnis fragen:

Wie erkenne ich Nullstellen im Bereich der positiv reellen Zahlen (ohne die Newton-Iteration zu bemühen) von Funktionen wie:



bzw.



Mit einem Funktionsplotter sehe ich das natürlich fix, aber wie denkt man so etwas, bzw. überschlägt es grob?

und noch eine Zusatzfrage Augenzwinkern

Wenn ich Monotonie für einen Funktion nachweisen soll, dann kann man das bei Funktionen mit Extrema ja nur für bestimmte Wertebereiche, ab diesen Punkten wechselt ja die Steigung.

Hiesse das, das man 1.) die Extrema über die Nullstellung der 1. Ableitung findet und dann einen Wert x in die Ableitung einsetzt, falls das Ergebnis negativ ist, fällt die Funktion, bei positivem Ergebnis ist die Funktion stetig steigend? Ist dann Monotonie bewiesen, weil es keine weiteren Extrema gibt?
Wäre also folgernd eine Funktion, deren 1.Ableitung keine Nullstelle aufweist, immer monoton.

Ich danke Euch schonmal ..

ein erwartungsvoller
knirps
Sigbert Auf diesen Beitrag antworten »

Du must durch probieren den ersten linarfaktor herausfinden, meist zw 1 und 5, und machst damit dann eine polynom division.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn du auf diese Weise kein Glück hast, also keine ganzzahligen Nullstellen findest, so doch vielleicht wenigstens Vorzeichenwechsel:

Bei ist z.B. f(-1)=-5, f(0)=2; f(1)=1, f(2)=-2; f(3)=-1, f(4)=10, also liegt nach Zwischenwertsatz je eine Nullstelle in den Intervallen (-1,0), (1,2) und (3,4) . Augenzwinkern
wurzelknirps Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sigbert,

Das Ergebnis der Polynomdivision ist doch aber wieder ein Polynom, was und welche Erkenntnis kann ich da für die Nullstellen gewinnen?

Durch Einsetzen der Werte für ganze Zahlen -5 .. +5 komme ich auf keine Nullstelle .. wie setze ich dann überhaupt die Polynomdivision ein?

eher verwirrt ..
knirps

Hallo Arthur,

ahh klar, ich hab ein bisschen gebraucht, das hiesse also, dass wenn innerhalb der probierten Reihe eine Nullstelle zu erwarten ist, dann wechselt das Ergebnis das Vorzeichen .. ja logisch, Danke smile

Wie würde ich denn den "Raum" des Probierens bei .. na sagen wir mal:



angehen um zeitsparend hier Werte für etwaige Nullstellen zu finden?

vielen Dank
knirps

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
Helfender Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstelle, wenn es sie ganz geben sollte, dann ist sie Teiler des absoluten Gliedes. Sonst musst du sie nummerisch bestimmen. d.h Newton oder Sekantenverfahren, oder Bisektionsverfahren. Bei ganzrationalen Funktionen ist Newton-Verfahren am einfachsten.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man allgemein leider nicht per Kochrezept ermitteln.

Bei "rechentechnischer Unterstützung" ist wirklich das Newton-Verfahren die bessere Wahl. Hat man damit dann eine Nullstelle hinreichend genau bestimmt, führt man die Polynom-Division durch und das ganze Spiel beginnt von neuem... bis irgendwann Polynomgrad 2 erreicht wird.

Natürlich können da diverse Probleme auftreten, die ich jetzt der Einfachheit halber nicht ansprechen wollte.
 
 
wurzelknirps Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helfender
Die Nullstelle, wenn es sie ganz geben sollte, dann ist sie Teiler des absoluten Gliedes. Sonst musst du sie nummerisch bestimmen. d.h Newton oder Sekantenverfahren, oder Bisektionsverfahren. Bei ganzrationalen Funktionen ist Newton-Verfahren am einfachsten.


kannst Du mir bitte den Ausdruck Teilender des absoluten Gliedes kurz erläutern? Ich habe schonmal sowas gelesen, aber nicht recht verstanden.

Das absolute Glied wäre 10 .. also ein Teiler davon, aber wie teilt er die 10?
Im Bereich der ganzen Zahlen?

Die Funktion hat ja Nullstellen .. mit dem Funktionsprogramm eben gesehen:

-0.13117 und 0,38118 .. aber wie kann ich sowas schnell erkennen?

Auch für die Abnwendung der Newton-Iteration bräuchte ich einen Anhaltspunkt und den zu erkennen will ich grad lernen.

Vielen Dank schonmal smile
knirps
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was Helfender gesagt hat, bezieht sich nur auf Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, wo der Koeffizient vor der höchsten Potenz zudem genau Eins sein muss.

Dein letztes Beispiel



betreffend, müsstest du vor Anwendung dieser Eigenschaft mit 100 erweitern:

DerEierMann Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wär EINE Nullstelle ein Teiler von 1000.... Also +/-(1000;100;10;5;2;1)

Muss aber nicht sein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerEierMann
Dann wär EINE Nullstelle ein Teiler von 1000.... Also +/-(1000;100;10;5;2;1)


Nein, das musst du so formulieren:

WENN es überhaupt eine rationale Nullstelle dieser Gleichung gibt, DANN ist diese sogar ganzzahlig und ein Teiler des Absolutgliedes (hier 1000).


In den meisten Fällen (wenn es nicht gerade konstruierte Schulbeispiele sind), gibt es nämlich überhaupt keine rationalen Lösungen!
wurzelknirps Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich richtig verstehe .. so verstehe ich nun garnix mehr verwirrt

Wenn die Funktion erweitert wird, ändert sich doch nicht die Funktion und damit auch nicht der Wertebereich .. meine Nullstelle von

ist doch immer noch 0,38118 (im Bereich der positiven "x".

Ich habe grad mal versucht, das am Taschenrechner schnell zu lösen, verzweifle aber fix, wenn ich mit 1000, 100, 10, 5, 2, 1 rechne, ich merke, dass man sich nähert .. mehr kann ich aber momentan nicht sagen.

Welchen Startwert würde man denn nehmen, wenn man die Nullstelle per Newton-Iteration lösen wollte?

vielen Dank schonmal
knirps
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich bleibt eine Nullstelle bei Multiplikation mit einer Konstanten auch noch Nullstelle.
DerEierMann sagte, dass eine Nullstelle ein Teiler von 1000 ist. Das stimmt aber nicht! Denn es kann sein, dass keiner der Teiler von 1000 Nullstelle ist und dass es nur irrationale Nullstellen gibt.
Die Teiler von 1000 sind übrigens .

Übrigens gibt es noch eine weitere Möglichkeit: Für Gleichungen 3. und 4. Grades gibt es ebenfalls Lösungsformeln, allerdings sehr sehr kompliziert! Für Gleichungen höheren Grades gibt es nur Lösungsformeln für Spezialfälle, aber keine allgemeinen.

Noch eine "schöne Sache": Wenn eine Nullstelle des Polynoms ist, dann gilt für die Abschätzung



Das heißt, alle x, die größer der rechten Seite sind, können nicht Nullstelle sein.
Beispiel:



Hier ist n=3, . Also ist für jede Nullstelle von f

wurzelknirps Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank für die Erklärung, die letzte Regel kannte ich nicht und habe sie mir aufgeschrieben, das grenzt die Suche ja schon beträchtlich ein.

Werde mich die nächsten Tage noch intensiv damit beschäftigen.

knirps
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss dich enttäuschen. Die Regel sagt nicht viel aus. Das kriegt man auch mit "Teiler des Absolutgliedes" hin, diese Abschätzung.
Sie ist eher schön, als nützlich.
wurzelknirps Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Ich muss dich enttäuschen. Die Regel sagt nicht viel aus. Das kriegt man auch mit "Teiler des Absolutgliedes" hin, diese Abschätzung.
Sie ist eher schön, als nützlich.


das ist aber schade. Darf ich deshalb ganz indiskret fragen, wie Du eine Nullstelle in der Funktion:



"schätzen" würdest?

Newton-Iteration kenne ich und kann sie auch anwenden, aber mir fehlt völlig das Verständnis (oder die Erfahrung), wie ich eine Nullstelle schonmal schätzen könnte .. und der Ausdruck Teiler irritierte mich, kannst Du mir die Definition mal kurz schreiben, ich kann sie in meinen Büchern nicht finden.

vielen lieben Dank
knirps
DerEierMann Auf diesen Beitrag antworten »

Vorzeichenwechsel suchen. (Wertetabelle). Bei Ganzrationalenfunktionen kannst eigentlich egal welchen Startwertwert nehmen. Das Verfahren konvergiert recht Schnell. Es gibt aber bestimmte Fälle wo du das Verfahren abbrechen musst bzw es nicht mehr konvergiert.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man Polynome kennt, sollte ma auch wissen, was ein Teiler ist. Aber egal.

Ich würde die Nullstellen zumindest mal betragsmäßig kleiner als 100 sehen, aber sie sind wahrscheinlich kleiner. Falls es rationale Nullstellen gibt, so sind diese ganzzahlig und ein Teiler von 100, also betragsmäßig sowieso kleiner.
wurzelknirps Auf diesen Beitrag antworten »

Grossen Dank Euch beiden .. das mit dem Teiler Hammer ja, das ist vollkommen klar.

ein kleiner
knirps
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