Jordan vs. Schur / Stabilität |
| 06.05.2007, 15:48 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Jordan vs. Schur / Stabilität bekanntlich reagiert die Jordan-Normalform empfindlich auf kleine Störungen. Klassisches Beispiel dafür ist etwa die 2x2-Matrix (1 1) (0 1). Diese ist bereits in JNF, bei beliebig kleiner Störung eines der Diagonalelemente sind die EW jedoch verschieden und die Matrix (in JNF) diagonalisierbar, s. d. sich das Element a12 in beiden Formen immer schon um 1 unterscheidet. Erste Frage dazu: Wieso ergibt das praktisch das Problem? Solange mich nur die EW interessieren, ist doch auch die JNF diesbezüglich stabil, denn die Diagonalelemente reagieren auch bei der JNF nicht besonders empfindlich auf Störungen. Kann mir denn die Unstetigkeit in der Nebendiagonale nicht egal sein? (Oder wird das Problem erst relevant, wenn ich auch die EV berechnen will? Das könnte ich ja immer noch aus der EV-EW-Gleichung.) Demgegenüber soll die Schur-Normalform (unitäre Trafo auf Dreiecksmatrix) stabiler sein. Wie kann man das beweisen bzw. argumentieren? Führt das Argument allein über die Konditionsszahl, die sich bei der unitären Trafo bekanntlich nicht ändert?) Ich habe inzwischen zahlreiche Literatur durchsucht, überall den Hinweis auf die Instabilität der JNF, aber nirgends ein klares Argument für die höhere Stabilität der SNF. Muss also echt trivial sein. |
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