Größtes ähnliches Dreieck im Rechteck

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Größtes ähnliches Dreieck im Rechteck
Hallo zusammen,

wie kann man zu einem gegebenen Rechteck das größte Dreieck (einer bestimmten geg.Form) bestimmen, das noch innerhalb des Rechtecks liegt?

Danke,
tigerbine Wink
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Größtes ähnliches Dreieck im Rechteck
ansatz einer idee:
umschreibe dem gegebenen dreieck das kleinste rechteck - also eines, dessen seite eine dreieckseite enthält, und dieses rechteck (oder die 3rechtecke) passe dann in dein gegebenes ein, damit sollte der streckungsfaktor zu ermitteln sein.

aber keine ahnung, ob das das ist, was du suchst, und ob das der richtige weg ist
riwe
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Größtes ähnliches Dreieck im Rechteck
Also das ganze hängt wieder mit dem Kugelthread zusammen. Dabei ist das folgende Teilproblem aufgetreten:

*****************************************************
Die Produktionsmaschinen haben eine mögliche Matrizen-Grundfläche von:

210 x 110 (cm²), 170 x 130 (cm²), 150 x 140 (cm²)

In der Höhe ist dann ein Spielraum von ca. 2m, das sollte genügen. Da die Kosten der Matrizenherstellung von der Anzahl der Objekte auf ihr abhängen, soll das Ziel sein 1 möglichst großes Kugelbauteil je Matrize zu erstellen.

Eine mögliche Kugelparkettierung wäre z.B. die Projektion des Iskosaeders auf die Umkugel. Nun sollen die Bauteile am eine Einen "Mantel" der dicke 40cm ergeben.

Nun war meine Idee (da kann ich mich aber auch irren, wäre nett wenn Du mich dann korrigierst), dass man sich die Umkugel und eine mit einem 40cm größeren Radius denkt, und den Isosaeder auf beide Oberflächen projeziert. Verbinde ich nun die entstehenden Eckpunkte aus der Außenkugel durch Geraden, so erhalte ich einen größeren Ikosaeder.

Nun der heikle Teil. Die Projektion seiner sphärischen Flächen auf die Matrizenplatte müßte dann der Größe der Dreiecke des großen Ikosaeders entsprechen. Mit den ja schon bekannten Formeln über den Zusammenhang Kantenlänge - Umkugelradius kann ich dann berechnen, welche maximale Kugelgröße mit diesen Bauteilen produzierbar ist.

Bislang habe ich nur die platonischen Körper und den Fußball betrachten und bin mit dem Umkreis der 3/4/5/6-Ecke auf Nummer sicher gegangen, um erstmal eine Größenvorstellung zu bekommen.

Das Endziel heißt 20m Radius der Innenkugel.

*********************************************************
Somit war jetzt ein Teilproblem, wie kann man eine gegebene "Schattenform" des sphärischen Bauteils (3/4/5/6-Eck) größtmöglich in eins der obigen Rechtecke legen. Gibt es dazu einen Vorschrift oder wäre am Ende eine Lösung durch Probieren am "effizientesten"?



Anmerkung:
Man kann die Bauteile nicht beliebig auf die Matrizenfläche legen. Die Höhe kann also nicht zur Optimierung genutzt werden.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Größtes ähnliches Dreieck im Rechteck
Ich vermute das lässt sich nur programmieren (wegen diverser Fallunterscheidungen)

Der Streckfaktor ist berechenbar (modulo Fallunterscheidungen)

Dreieck mit u,v,w u>v>w, Winkel(u,w)=alpha und Rechteck a,b a>b

ergibt als Streckfaktor

sqrt( a^2+( (b*u-sin(alpha)*w*a)/(w*cos(alpha)) )^2 )*1/u

Wobei dann zu prüfen ist ob die Gesamtlänge u kleiner sqrt(a^2+b^2) bleibt und

alpha + arctan( (b*u-sin(alpha)*w*a)/(a*w*cos(alpha)) ) kleiner 90° ist.

Zudem wäre zu prüfen, ob mit vertauschten Rollen von v und w, sowie alpha, beta ein besseres Resultat zu erzielen wäre.


Im Ablauf und Darstellung kann sich das noch optimieren lassen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Größtes ähnliches Dreieck im Rechteck
Ich versuche das mal mit latex zu schreiben. Korrigier mich dann bitte.

Streckfaktor:



Tests:



Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Größtes ähnliches Dreieck im Rechteck
Zitat:
Original von tigerbine
Ich versuche das mal mit latex zu schreiben. Korrigier mich dann bitte.

Streckfaktor:



Tests:






,so dürfts hinkommen. Probiers mal aus.
Wenn eines dieser Limite überschritten wird, bestimmt eines der
Limite (als maximaler Randwert) die maximale Streckung.

Wie gesagt, ich denke das lässt sich bestimmt noch verbessern.

Das Dreieck würde mit einer Ecke in einer Rechteckecke liegen.
Sollte dieser Ansatz für bestimmte Fälle nicht richtig sein,
dann kannst den Weg vergessen.


Wenn du als gemeinsame Ecke A annimmst, dann ist der
Winkel 'unter dem Dreieck'



hoffe mal dass das nu stimmt.
(Formeln editiert)


Werner versuch mal ein Gegenbeispiel zu basteln, ich hab gerade
keine Lust dazu.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Größtes ähnliches Dreieck im Rechteck
Zitat:
Original von Poff
Ich vermute das lässt sich nur programmieren (wegen diverser Fallunterscheidungen)


Ok, dass ist dann ja schon mal eine Aussage. Dann sollte ich am besten zuerst meine Theorie

Zitat:
[i]tigerbine[i]
Nun war meine Idee (da kann ich mich aber auch irren, wäre nett wenn Du mich dann korrigierst), dass man sich die Umkugel und eine mit einem 40cm größeren Radius denkt, und den Isosaeder auf beide Oberflächen projeziert. Verbinde ich nun die entstehenden Eckpunkte aus der Außenkugel durch Geraden, so erhalte ich einen größeren Ikosaeder.

Nun der heikle Teil. Die Projektion seiner sphärischen Flächen auf die Matrizenplatte müßte dann der Größe der Dreiecke des großen Ikosaeders entsprechen. Mit den ja schon bekannten Formeln über den Zusammenhang Kantenlänge - Umkugelradius kann ich dann berechnen, welche maximale Kugelgröße mit diesen Bauteilen produzierbar ist.


prüfen. Meinungen dazu? Daraus würden sich durch zunächst probieren die benötigten Teile ergeben. Für die könnte man dann die maximal produzierbare größe berechnen.

Danke bislang für die Mühe Wink
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Größtes ähnliches Dreieck im Rechteck
Fehler,

bei den Formeln scheint mir ein Fehler reingerutscht, ich korrigier's später ....


habs editiert.



Nachschieb bevor ichs wieder vergesse.

Über den Winkel kannst sortieren



Streckfaktor = b/(w*sin(alpha)) (u liegt auf a)







1.Fall
a*cot(alpha) > b

Streckfaktor = sqrt(a^2+b^2)/u (u liegt auf der Diagonalen)

2.Fall
a*cot(alpha) <= b




Das sollte alle Varianten erfassen, wenns denn stimmt und kein Fehler reingerutscht ist. Den Rollentausch brauchst vermutlich nicht durchchecken. Wenn die kleinste Dreieckseite (w) zu b und die Größte (u) zu a liegen kommt, eben so wie oben auch deklariert, dann scheint mir das die größte Lösung zu liefern.
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