Rotationskörper - Kreis und Kugel

06.01.2005, 14:39

Millhouse

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Rotationskörper - Kreis und Kugel

hallo.
ich muss anhand eines rotationskörpers den flächeninhalt eines kreises und das volumen eine kugel herleiten traurig

traurig

bin da echt ein bisschen am verzweifeln.
diesen ansatz habe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int_{a}^{b}~f^2(x)~dx \end{eqnarray*}$

aber das bringt mich ja jezt noch nicht weiter.
bei dem kreis habe ich mir überlegt, die herleitung müsste doch genau so gehen wie bei einem kegel z.b., und dann halt den mantel subtrahieren, so dass nur noch die untere fläche übrigbleibt - ein kreis. aber ich nehme an, das ist nicht sehr geschickt, oder? für die kugel habe ich noch absolut keine ahnung wie ich das angehen soll. wir haben das thema in der letzten stunde vor den ferien kurz angeschnitten und noch die formel für einen kegel hergeleitet...

06.01.2005, 14:44

klarsoweit

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RE: Rotationskörper - Kreis und Kugel
kennst du die Funktionsgleichung für einen Halbkreis mit Radius R oberhalb der x-Achse? Wenn man nämlich einen Halbkreis um die x-Achse rotieren läßt, kommt eine Kugel raus.

06.01.2005, 15:25

Millhouse

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nein, leider nicht... meine formelsammlung ist da auch nicht sehr aufschlussreich.... unglücklich

unglücklich

06.01.2005, 15:34

klarsoweit

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na ja, mit etwas Überlegung und dem alten Pythagoras bekommt man das auch so hin. Nehmen wir einen Kreis um den Ursprung mit Radius R. Dann hat jeder Punkt (x; y) den Abstand R vom Ursprung. Also ist x² + y² = R². Das nach y auflösen und schon steht die (Halb-)kreisgleichung da.

06.01.2005, 15:34

grybl

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wie lautet denn die Kreisgleichung mit dem Ursprung als Mittelpunkt?

06.01.2005, 16:32

Millhouse

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ok, also:

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{R^2 - x^2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \end{eqnarray*}$

hab jetzt hin und her gerechnet, komme immer wieder auf das hier:

$\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot \int_{0}^{R}~(\sqrt{R^2-x^2})^2~dx \end{eqnarray*}$

(ich lasse das pi mal weg)

$\begin{eqnarray*} = [\frac{1}{3}(R2+x^2)^3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{R^2+x^2}{}}]_{0}^R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(R^2+x^2)^3}{6\sqrt{R^2+x^2}} \end{eqnarray*}$

die grenzen eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} = \frac{(2R^2)^3}{6\sqrt{2R^2}} - \frac{(R^2)^3}{6R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{4R^6}{3R\sqrt{2}} - \frac{R^6}{6R} \end{eqnarray*}$

da komm ich dann irgendwie nicht mehr weiter... aber die 4/3 sieht schon ganz richtig aus, oder? smile

smile

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06.01.2005, 16:53

grybl

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$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x})^2=x \end{eqnarray*}$

vielleicht hilft dir dieser Hinweis weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.01.2005, 17:02

Millhouse

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oh verdammt... habe grade den fehler gemerkt... die stammfunktion ist falsch!
die richtige müsste heißen:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{R^2+x^2}\cdot [\frac{1}{3}(R^2+x^2)^3]_0^R \end{eqnarray*}$

und dann die grenzen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{(R^2+R^2)^3\cdot 2\sqrt{R^2+R^2}}{3} - \frac{(R^2+0^2)^3\cdot 2\sqrt{R^2+0^2}}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2(2R^2)^3\cdot \sqrt{2R^2}}{3} - \frac{(R^2)^3\cdot 2\sqrt{R^2}}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac {16R^6 \cdot R\sqrt{2}}{3} - \frac{R^6\cdot 2R}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac {16R^7 \sqrt{2}}{3} - \frac{2R^7}{3} \end{eqnarray*}$

aber da komm ich jetzt auch nicht mehr weiter.... Hilfe

Hilfe

06.01.2005, 17:07

grybl

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schau mal
$\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot \int_{0}^{R}~(\sqrt{R^2-x^2})^2~dx=V = \pi \cdot \int_{0}^{R}~(R^2-x^2)~dx \end{eqnarray*}$

06.01.2005, 17:07

etzwane

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schau doch mal den Ausdruck unter dem Integral genauer an, da steht eine Wurzel, die quadriert wird ...

06.01.2005, 17:18

Millhouse

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huch... das habe ich vor lauter rechnerei total übersehen!! Hammer

Hammer

dann ist die aufleitung:

$\begin{eqnarray*} =\frac {1}{3}R^3-\frac {1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

die grenzen:

$\begin{eqnarray*} =\frac {1}{3}R^3-\frac {1}{3}R^3-(\frac {1}{3}R^3-\frac {1}{3}0^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{3}R^3 \end{eqnarray*}$

und davon wahrscheinlich dann der betrag... aber wo kommt dann noch die 4 her?

06.01.2005, 17:22

grybl

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du integrierst "nach" x

daher wird aus $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~R^2~dx =R^2\cdot x \end{eqnarray*}$

06.01.2005, 17:33

Millhouse

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hm... jetzt komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}R^3 \end{eqnarray*}$

das ist dann wahrscheinlich die halbkugel, oder?.... ich bin echt verzweifelt Buschmann

Buschmann

könntest du das mit dem "nach x integrieren" vielleicht genauer erklären? ich meine... warum ist die stammfunktion von R² plötzlich R²x?

06.01.2005, 17:55

grybl

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dein Ergebnis ist schonmal richtig und du hast auch richtig bemerkt, dass das das Volumen der Halbkugel ist, also mal 2 => Volumen Kugel

R ist ja hier der Radius, also eine Konstante (und somit auch R²) und x ist die Variable, daher wird "nach x" integriert, steht ja auch dx da.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~2^2~dx =2^2\cdot x \end{eqnarray*}$ und jetzt stell dir statt 2
R vor => $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~R^2~dx =R^2\cdot x \end{eqnarray*}$

06.01.2005, 18:25

Millhouse

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ok, dankeschön. was mich jedoch auch noch wundert: warum ist x²+y²=R² nur der halbkreis?

und was ist mit der fläche des kreises - ich bin da immer noch nicht wirklich weiter, abgesehen von der primitiven lösung...

06.01.2005, 18:36

grybl

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x²+y²=R² ist schon der volle Kreis

du integrierst aber von 0 bis R und hast somit nur die Hälfte des Kreises (Kugel), die du dann mal 2 nimmst, was bequemer geht, als wenn du von -R bis R integrierst, das wäre dann der ganze Kreis (Kugel)

Die Berechnung der Kreisfläche ist bedeutend schwieriger, wurde aber hier im board schon des öfteren abgehandelt, z.B. hier

06.01.2005, 20:18

Millhouse

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huch... das sieht ja richtig übel aus... wo kommt denn das phi plötzlich her...? ich glaube da werde ich mich mal richtig reinarbeiten müssen...

aber danke für die hilfe! Mit Zunge

Mit Zunge

06.01.2005, 21:50

grybl

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viel Spass dabei und wenn Fragen auftauchen einfach melden smile

smile

07.01.2005, 13:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Millhouse
und was ist mit der fläche des kreises - ich bin da immer noch nicht wirklich weiter, abgesehen von der primitiven lösung...

da ich komplett vorgerechnete Lösungen nicht so mag, schreibe ich nur mal den Ansatz hin:
die Formel für den Halbkreis mit -R <= x <= R ist:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} = R \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{R^2}} \end{eqnarray*}$
die Fläche von dem Halbkreis ist also:
$\begin{eqnarray*} \int_{-R}^{R}~f(x)~dx = R \cdot \int_{-R}^{R}~\sqrt{1 - \frac{x^2}{R^2}}~dx \end{eqnarray*}$
kannst du die Rechnung fortführen?

07.01.2005, 17:39

Millhouse

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also danke erst mal für diesen ansatz... aber ehrlich gesagt kann ich dir da nicht ganz folgen:
warum ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{R^2 - x^2} = R \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{R^2}} \end{eqnarray*}$
und warum ist das der halbkreis? ich habe je oben schon gefragt, warum das nur ein halbkreis ist, aber grybl meinte, dass es "schon der volle Kreis" ist, nur dass man halt von 0 bis R und nicht von -R bis R integriert...

ja, demnach ist also die fläche des (halb?)kreises das integral über f(x)
$\begin{eqnarray*} \int_{-R}^{R}~f(x)~dx = R \cdot \int_{-R}^{R}~\sqrt{1 - \frac{x^2}{R^2}}~dx \end{eqnarray*}$

soweit kann ich folgen, und man muss jetzt auch nicht über f²(x) sondern über f(x) integrieren, weil man die fläche und nicht das volumen braucht, richtig?
allerdings bin ich jetzt etwas aufgeschmissen, was die berechnung der stammfunktion angeht... kannst du mir da einen kleinen tipp geben, zumindest nach welcher regel ich das machen soll/kann/muss...?

[edit:] bei dem anderen beispiel habe ich gesehen, dass man irgendwas substituieren kann - muss ich das hier auch?

07.01.2005, 18:01

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{R^2 - x^2} =\sqrt{R^2\left(1-\frac{x^2}{R^2}\right)}=\sqrt{R^2}\cdot \sqrt{\left(1-\frac{x^2}{R^2}\right)}=R \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{R^2}} \end{eqnarray*}$

Der volle Kreis wird beschrieben durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=R^2 \end{eqnarray*}$ oder anders:

$\begin{eqnarray*} y^2=R^2-x^2 \end{eqnarray*}$

Der obere Halbteil ist der Teil, wo y größer 0 is (einfach mal zeichnen). In der Gleichung

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{R^2-x^2} \end{eqnarray*}$

ist y aber immer größer 0, also ist das der obere Teil. Der untere entsprechend

$\begin{eqnarray*} y=-\sqrt{R^2-x^2} \end{eqnarray*}$

Hier mal ein Beispiel für R=4. Ich habe die Fläche markiert. Der Graph ist nur der obere Halbkreis und wird durch $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{16-x^2} \end{eqnarray*}$ beschrieben. Wie du siehst, muss man von -4 bis 4 integrieren.

07.01.2005, 19:04

Millhouse

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ok, habe das jetzt so gemacht:

$\begin{eqnarray*} R\cdot \int_{-R}^{R}~\sqrt{1-\frac {x^2}{R^2}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =R\cdot \frac{2R^4}{xR^2-x^2R}\cdot \int_{-R}^{R}~\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}\cdot \frac{xR^2-x^2R}{R^4}~dx \end{eqnarray*}$

habs also als verkettung gemacht... kann ich so weitermachen oder is das jetzt humbug?

07.01.2005, 19:18

Mathespezialschüler

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Was machst du denn da? verwirrt

verwirrt

Du darfst doch nicht einfach x vor das Integral ziehen, das ist doch keine Konstante! Das ist doch die Variable, von der die Funktion abhängt, die darf man nie davor ziehen!

07.01.2005, 19:22

Millhouse

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o.. ja stimmt... ja ich wollte das was nach der wurzel steht wegkürzen.. weiß auch nicht was ich da mache... wie gesagt, ich brauch ein bisschen hilfe bei dem integral, wie soll das denn gehen...?

07.01.2005, 19:28

Mathespezialschüler

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Vielleicht hilft das ja

09.01.2005, 14:11

Millhouse

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ok, habe es jetzt fast:

$\begin{eqnarray*} R\cdot \int_{-R}^{R}~\sqrt{1-\frac {x^2}{R^2}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =R\cdot [arcsin(\frac{x}{R})]_{-R}^R \end{eqnarray*}$

und dann die grenzen eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} =R\cdot (arcsin(\frac{R}{R})-(arcsin(\frac{-R}{R})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =R\cdot (arcsin(1)-(arcsin(-1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =R\cdot (\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =R\cdot \pi \end{eqnarray*}$

das kommt ja schon nah dran, aber irgendwo fehlt da ja noch ein R...

09.01.2005, 14:17

etzwane

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Zitat:

Original von Millhouse
das kommt ja schon nah dran, aber irgendwo fehlt da ja noch ein R...

Das hast du bestimmt beim Integrieren verloren, in dem dx steckt wohl auch ein R drinnen.

09.01.2005, 14:28

Millhouse

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Zitat:

Original von etzwane
Das hast du bestimmt beim Integrieren verloren, in dem dx steckt wohl auch ein R drinnen.

und was heißt das im klartext...? sorry... kenn mich da nicht so aus mit dem dx... traurig

traurig

Ich weiß nicht genau, was du substituiert hast.

Bei x/R = sin(t) folgt z.B. dx = R*cos(t)*dt, dieses R meinte ich.

ich habe garnichts substituiert.
habe den fehler grade gesehen, die stammfunktion ist falsch.

die stammfunktion, die da steht ist von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-\frac {x^2}{R^2}}} \end{eqnarray*}$ und nicht von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\frac {x^2}{R^2}} \end{eqnarray*}$

muss ich zwangsweise irgendwas substituieren? mein einziges problem besteht momentan einfach darin, an die stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\frac {x^2}{R^2}} \end{eqnarray*}$ zu kommen...

edit: Dreifachpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion (MSS)

09.01.2005, 15:25

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Vielleicht hilft das ja

Hast du da überhaupt mal nachgeguckt??

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{a^2-x^2}~dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C = \frac{xa}{2}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{eqnarray*}$

oder mit R ist dann eine Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{R^2-x^2}~dx = \frac{x}{2}\sqrt{R^2-x^2} + \frac{R^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{R}\right) \end{eqnarray*}$

Wenn du den Thread weiterliest, siehst du auch Tipps für einen Weg dahin.

09.01.2005, 16:04

Millhouse

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@MSS
doch habe ich, habs aber total vergessen, sorry. nur kann ich das mit dem substituieren nicht ganz nachvollziehen... ich glaube ich kapituliere einfach an dieser stelle... Klo

Klo

09.01.2005, 16:18

etzwane

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Zitat:

Original von Millhouse
ok, habe es jetzt fast:

$\begin{eqnarray*} R\cdot \int_{-R}^{R}~\sqrt{1-\frac {x^2}{R^2}}~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt substituierst x/R=sin(t) und setzt das unter der Wurzel ein und schaust, wie du das vereinfachen kannst.

Für das dx erhältst du durch Ableiten aus x=R*sin(t): dx=R*cos(t)*dt

Einfach mal anfangen.

09.01.2005, 19:30

Millhouse

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naja, einen versuch noch...
habe es jetzt so weit:

$\begin{eqnarray*} sin(t) = \frac{x}{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R\cdot \int_{-R}^{R}~\sqrt{1-sin^2(t)}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = R\cdot \int_{-R}^{R}~\sqrt{1-(1-cos^2(t))}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = R\cdot \int_{-R}^{R}~\sqrt{cos^2(t)}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = R\cdot \int_{-R}^{R}~cos(t)~dx \end{eqnarray*}$

aber ich verstehe immer noch nicht, wie du das mit dem dx meinst...? warum muss man es ableiten? und wo muss das überhaupt hin?? und wie kommt man auf die idee, dass sin(t) = x/R ist..?

09.01.2005, 19:47

etzwane

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Jetzt setzt du das dx=R*cos(t)*dt ein unter dem Integral und integrierst über t.

Dabei musst du bei den Integrationsgrenzen aufpassen, die verändern sich auch wegen t=arcsin(x/R).
Oder du errechnest das Integral ohne Grenzen, machst im Ergebnis die Substitution rückgängig und setzt dann die Grenzen für x wieder ein.

Zitat:

und wie kommt man auf die idee, dass sin(t) = x/R ist..?

Man sieht das/liest das/bekommt es gezeigt irgendwo irgendwann zum ersten Mal. Wenn man das einmal so gemacht hat und sieht, dass es so funktioniert, dann merkt man sich das eben.

10.01.2005, 08:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Millhouse
aber ich verstehe immer noch nicht, wie du das mit dem dx meinst...? warum muss man es ableiten? und wo muss das überhaupt hin??

das hat was mit der Substitutionsregel bei Integralen zu tun, schon mal gehört?
Hier wird gesetzt: x = R * sin(t) Dann ist dx/dt = R * cos(t) bzw. dx = R * cos(t) dt
Jetzt noch die Integrationsgrenzen: Die untere Grenze war -R. Das für x in die Substitutionsgleichung eingesetzt ergibt: -R = R * sin(t) ==> t = - pi/2 Analog erhält man pi/2 für die obere Integrationsgrenze.
Alles klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ok, das Integral ist dann:
$\begin{eqnarray*} = R\cdot \int_{-\pi/2}^{\pi/2}~R \cdot (cos(t))^2~dt \end{eqnarray*}$

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