Unendliche diffbarkeit

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Templer Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche diffbarkeit
Moin Leute
ich habe da mal ne Frage, vielleicht ist die ja auch nur sprachlicher Natur, weil ich die Aufgabenstellung nicht verstehe.

ich soll zeigen, dass die Funktion f unendlich oft diffbar ist
f(x) = exp ( -1/x) für x > 0
und f(x) = 0 für x < 0 v x = 0

was soll das bedeuten? das exp unendlich oft diffbar ist ist ja wohl klar
was wollen die von mir?

Schonmal danke für die Mühen
Rock
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst zeigen, dass auch die n-te Ableitung noch differenzierbar ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche diffbarkeit
Zitat:
Original von Templer
was soll das bedeuten? das exp unendlich oft diffbar ist ist ja wohl klar
was wollen die von mir?


Spannend ist nur die Stelle x=0, dort ist die Differenzierbarkeit nicht unbedingt von vornherein klar!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

... und noch ein bißchen Klugscheißerei von mir:

Die Funktion ist ein Beispiel für eine Funktion, die unendlich oft differenzierbar, aber nicht analytisch ist. Sie kann nämlich in einer Umgebung von 0 nicht durch ihre Taylorreihe dargestellt werden.
djbarney Auf diesen Beitrag antworten »
hmm
Hab die Diskussion ein bisschen verfolgt, habe nämlich die gleiche Aufgabe.
Wenn f diff´bar sein soll, muss f auch stetig sein:
lim(x->0 ; x>0) exp(-1/x) = 0 = f(0). Es ist also auch an der Stelle x=0 stetig!
Kann ich nun y=(-1/x) setzen und sagen, dass exp(y) unendlich oft diff´bar ist?
Die Ableitung von 0 ist ja wieder 0...

Sorry, habe noch meine Schwierigkeiten mit Latex.

barney
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle ist offenbar beliebig oft differenzierbar mit Ableitung 0. Auch für ist beliebig oft differenzierbar, da die Differenzierbarkeit erhalten bleibt bei den rationalen Operationen und der Verkettung.

Und dann wird man wohl verwenden müssen, daß für



gilt, so daß man



erhält (von links ist dieser Grenzwert sowieso 0). Dann muß man den hier diskutierten Satz verwenden.


Das Ganze ist sorgfältig in eine Induktion einzubetten, etwa so:

Zu jedem existiert ein Polynom , so daß



und existiert bei mit
 
 
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