Beweis für Untervektorraum

07.05.2007, 22:58

Xeal

Beweis für Untervektorraum

Hallo !
Ich habe folgende aufgabe:

Ist die folgende Menge ein Untervektorraum (UVR) ? Beweisen sie ihre Aussagen.

$\begin{eqnarray*} V:=\{ (a,b) \in \mathbb R² : 2a + 3b = 0\} \end{eqnarray*}$

Ich muss ja folgendes zeigen:
a) (0,0) ist aus V (was ja mit a=b=0 der Fall wäre)
b) $\begin{eqnarray*} \lambda * (a1,b1) + (a2,b2) \in V \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \lambda \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a1,b1), (a2,b2) \in V \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich b ?

07.05.2007, 23:15

Mazze

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Ihr habt ja eine sehr merkwürdige Art das Unterraumkriterium zu definieren, aber wie ich das sehe ist das Konsistent, nun wie Du b angehst? Ganz einfach Definition einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \lambda\cdot(a_1,b_1) + (a_2,b_2) = (\lambda a_1 + a_2,\lambda b_1 + b_2) \end{eqnarray*}$

Und jetzt überlegst Du Dir nur noch ob

$\begin{eqnarray*} 2\cdot(\lambda a_1 + a_2) + 3\cdot(\lambda b_1 + b_2) = 0 \end{eqnarray*}$

ist.

08.05.2007, 06:25

Xeal

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öhm blöde frage... also ncith nur eine *g*
Musst du das lambda nicht nur auf (a1,b1) anwenden.. ?!
Habe gerade erst dieses Semester mit mathe angefangen, kann überlege ich mir, ob jetzt der von dir geschriebene term in 2. 0 werden kann ?

08.05.2007, 07:52

Mazze

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Zitat:

Musst du das lambda nicht nur auf (a1,b1) anwenden.. ?!

Das hab ich doch, schau Dir die Formel doch mal an, das lambda steht nur vor a1 und b1.

08.05.2007, 14:33

Xeal

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oh ok... jetzt Augenzwinkern

hatte mich in der eile heute morgen verschaut Augenzwinkern

wenn $\begin{eqnarray*} (\lambda a1+a2)=-3 \end{eqnarray*}$ wäre und
$\begin{eqnarray*} (\lambda b1+b2)=2 \end{eqnarray*}$
dann würde die Gleichung ja zutreffen.
Würde also sagen das auch das zweite Kriterium für einen Untervektorraum erfüllt ist

08.05.2007, 15:40

Mazze

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Das ist kein Beweis, ich geb Dir mal noch einen Tip. Multipliziere aus und ordne um.

08.05.2007, 16:20

Xeal

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hm, also wenn ich ausmultipliziere bekomme ich ja
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \lambda a1+2a2 + 3\cdot \lambda b1+3b2 = 0 \end{eqnarray*}$
Ich könnte das ganze so umordnen:
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (2a1+3b1) + 2a2+3b2 = 0 \end{eqnarray*}$

Aber was bringt mir das ?!

EDIT: hm, eben ist mir ein gedanke gekommen.
wegen der Einschränkung

$\begin{eqnarray*} 2a + 3b = 0 \end{eqnarray*}$

gilt doch

$\begin{eqnarray*} b=(-2/3)a \end{eqnarray*}$

Das jetzt in $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (2a1+3b1) + 2a2+3b2 = 0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt 0 + 0 = 0
Reicht das als Beweis ?
Falls das stimmen sollte(woran ich noch nicht so recht glauben kann... unglücklich

), kannst du mir dann noch erklären, wieso damit gezeigt ist, das
$\begin{eqnarray*} \lambda (a1,b1) +(a2,b2) \in V \end{eqnarray*}$ ?

08.05.2007, 21:34

Mazze

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Zitat:

Aber was bringt mir das ?!

Das bringt Dir den Beweis du weisst nämlich das

$\begin{eqnarray*} 2a1+3b1 = 0 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \in V \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 2a2+3b2 = 0 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} (a_2,b_2) \in V \end{eqnarray*}$

Damit ist also das ganze gleich Null und es ist

$\begin{eqnarray*} \lambda(a_1,b_1) + (a_1,b_1) \in V \Leftrightarrow ??? \end{eqnarray*}$

Und jetzt überleg Dir nur noch was die ??? sein müssen Augenzwinkern

08.05.2007, 22:24

Xeal

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Jetzt leuchtet mir das ein ^^
Also die Folgerung ist dann, dass V ein Untervektorraum ist, oder ?
Ist ja gar nicht so schwer... Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Mühen !

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